1

2


quý báu trong suốt 4 năm học vừa qua. Xin chân thành cảm
ơn Thư viện Khoa Sư Phạm, Trung tâm học liệu Đại học Cần
Thơ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em thực hiện tốt đề
tài.
Em xin chân thành cảm ơn cô Trần Thị Thanh Thúy đã
tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành đề tài.
Xin cảm ơn tập thể lớp SP Toán K 30 đã đóng góp ý
kiến để luận văn được hoàn thành.
Tuy nhiên, do kiến thức có hạn nên luận văn còn nhiều
hạn chế và không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các
bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Sinh viên thực hiện

Phan Trần Diễm
3
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

4

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

4. Phạm vi nghiên cứu.........................................................................2
5. Phương pháp nghiên cứu.................................................................2
PHẦN NỘI DUNG..................................................................................3
PHẦN I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.........................................................3
1. Độ đo trên một đại số tập hợp..........................................................3
1.1. Định nghĩa độ đo........................................................................3
1.2. Một số tính chất của độ đo.........................................................4
2. Độ đo Lebesgue trên R....................................................................5
3. Hàm số đo được…..…..……………………………….……….……5
3.1. Định nghĩa.................................................................................5
3.2. Một số tính chất.........................................................................6
3.3. Các phép toán trên hàm số đo được............................................6
3.4. Khái niệm hầu khắp nơi.............................................................6
3.5. Cấu trúc của hàm đo được..........................................................7
3.6. Sự hội tụ theo độ đo...................................................................8
PHẦN II: TÍCH PHÂN LEBESGUE.......................................................9
1. Các định nghĩa tích phân.................................................................9
1.1. Tích phân của hàm đơn giản, không âm.....................................9
1.2. Tích phân của hàm đo được, không âm......................................11
1.3. Tích phân của hàm đo được bất kỳ.............................................12
2. Các tính chất....................................................................................12
3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân......................................................19
4. Tính liên tục tuyệt đối của tích phân................................................25

5. Mối quan hệ giữa tích phân Lebesgue và tích phân Riemann...........26
6. Điều kiện khả tích Lebesgue đối với tích phân trên khoảng vô hạn..27
6
7. Điều kiện khả tích Lebesgue của hàm không bị chặn.......................28
PHẦN III: BÀI TẬP................................................................................29
PHẦN KẾT LUẬN..................................................................................57

các điểm thì làm thế nào để có thể lấy tích phân theo một nghĩa nào đó? Đây là một
câu hỏi đã được đặt ra trong suy nghĩ của em suốt thời phổ thông. Khi bước vào đại
học, em đã có cơ hội để trả lời câu hỏi đó qua việc tìm hiểu về tích phân Lebesgue.
Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một môn học, em không có điều kiện để nghiên
cứu sâu về các tính chất cũng như các điều kiện khả tích của loại tích phân này
trong những trường hợp khác nhau. Do đó, em luôn có mong muốn đào sâu hơn về
vấn đề này để bổ sung và hoàn thiện thêm kiến thức của mình. Với những lý do
trên, cùng với sự gợi ý của cô em đã mạnh dạn chọn đề tài này để hoàn thành luận
văn tốt nghiệp của mình.
2. Lịch sử vấn đề
Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng
vào đầu thế kỷ XX. Sau đó, nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn.
Lý thuyết này đã khắc phục được những khiếm khuyết của tích phân Riemann.
Ngoài ra, lý thuyết tích phân của Lebesgue còn đáp ứng được các yêu cầu phát triển
trong các lĩnh vực: Xác suất, Phương trình đạo hàm riêng, Cơ học lượng tử…
3. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống các tính chất của tích phân Lebesgue, tìm hiểu các điều kiện khả
tích (L), xét tính khả tích (L) của các hàm đo được. Nghiên cứu sâu hơn các tính
chất liên quan đến tính khả tích (L).
- Giải một số bài toán về tích phân Lebesgue. Chẳng hạn:
• Tính tích phân (L) bằng cách sử dụng các hàm đơn giản, hàm tương
đương, tính σ_cộng tính, tính chất của độ đo, định lý hội tụ đơn điệu, định lý hội tụ
bị chặn.
• Giải một số bài toán liên quan đến qua giới hạn dưới dấu tích phân.
8
• Giải các bài toán liên quan đến điều kiện khả tích của các hàm đo được.
4. Phạm vi nghiên cứu
Tích phân Lebesgue: các tính chất, các dạng toán liên quan đến tích phân
Lebesgue.
5. Phương pháp nghiên cứu

Cho C là một đại số trên X. Hàm tập µ : C " R được gọi là một độ đo trên
C nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
a) µ(A) ≥ 0 , ∀A ∈ C
b) µ(∅) = 0
c) A
n
∈ C,
( )
∈≠∅=∩
∞
=
U
1
,
n
nmn
AmnAA C
( )
∑
∞
=
∞
=
=







n
) < + ∞, ∀n ∈ N.
Ví dụ:
• X ≠ ∅, C = P (X)
µ(A) = 0 , ∀A ∈ C
và
( )
0,
,
A
A
A
µ
=∅

=

+∞≠∅


là hai độ đo trên C.
• Hàm µ: C " R

( )
AA µa
(trong đó
( )
Aµ bằng card(A) nếu A hữu hạn và bằng ∞+ nếu A vô hạn)
Khi đó µ là độ đo và được gọi là độ đo đếm.
* Độ đo đủ:

n
n
Aµ
∞
=
∑
.
c) Nếu A
n
∈ C , ∀n, A
1
⊂ A
2
⊂ …,
1
n
n
A
∞
=
∈
U
C thì
( )
n
n
n
n
AA µµ
∞→

I
∈ C
thì
( )
n
n
n
n
AA µµ
∞→
∞
=
=








lim
1
I
.
Tính chất 2: Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó:
i) µ(A
i
) = 0,
1

i
AA
∞
=
⊂
U
và A
i
∩ A
j
= ∅ (i ≠ j) ⇒
1
()()
i
i
AAµµ
∞
=
≤
∑

iii) {A
i
}
i∈ N
⊂ C, A ∈ C,
1
1
()()
ii

()lim()
nn
n
n
AAµµ
∞
→∞
=
=
U

ii) A
n
∈ C , ∀n, A
1
⊃ A
2
⊃…,
1
n
n
A
∞
=
I
= ∅ ⇒ lim()0
n
n
Aµ
→∞

PmP
=
=∆
∑
a
Khi đó m là độ đo trên C.
∀A ⊂ R, đặt: µ
*
(A) = inf {
1
1
(),,
iii
i
i
mPPAP
∞
∞
=
=
⊃∈
∑ U
C }.
Gọi L là tập tất cả các tập con A của R sao cho:
µ
*
(E) = µ
*
(E ∩ A) + µ
*

b) Nếu f đo được trên A, B ⊂ A và B ∈ F thì f cũng đo được trên B.
c) Nếu f đo được trên A thì ∀a ∈ R: { x ∈ A | f(x) = a } ∈ F.
d) Nếu f đo được trên A thì kf (k ∈ R) cũng đo được trên A.
e) Nếu f đo được trên dãy
{ }
1
n
n
A
∞
=
thì f đo được trên
1
n
n
A
∞
=
U
.
f) Nếu f xác định trên A, µ(A) = 0 và µ là độ đo đủ thì f đo được trên A.
3.3. Các phép toán trên hàm số đo được
• Nếu f đo được trên A thì f
α
(α > 0) cũng đo được trên A.
• Nếu f, g đo được và hữu hạn trên A thì ,.,max{,},min{,}fgfgfgfg± cũng
đo được và nếu g(x) ≠ 0, ∀x ∈ A thì
f
g
cũng đo được trên A.

nếu ∃B ⊂ A: µ(B) = 0 và α (x) được thỏa ∀x ∈ A\B.
* Ví dụ:
• f : A → R hữu hạn h.k.n trên A nếu ∃B ⊂ A: µ(B) = 0 và f(x) ∈ R,
∀x ∈ A\B.
• Dãy {f
n
(x)} hội tụ h.k.n trên A về f nếu ∃B ⊂ A: µ(B) = 0 và
13
lim()(),\
n
n
fxfxxAB
→∞
=∀∈ .
• f, g bằng nhau h.k.n trên A nếu ∃B ⊂ A: µ(B) = 0 và
{ x ∈ A | f(x) ≠ g(x) } ⊂ B
Hai hàm bằng nhau h.k.n trên A được gọi là tương đương trên A.
Ký hiệu: f ∼ g .
* Nhận xét:
• Nếu f liên tục h.k.n trên A và µ là độ đo đủ thì f đo được trên A.
• Nếu f đo được, µ là độ đo đủ và g ∼ f thì g cũng đo được.
3.5. Cấu trúc của hàm đo được
* Hàm đặc trưng:
Hàm đặc trưng của tập A, kí hiệu
( )
x
A
χ , là hàm số xác định như sau:

()

i
}, 1,in=
Khi đó: A
i
∩ A
j
= ∅ (i ≠ j) và
1
n
i
i
AA
=
=
U

Ta có:
1
i
n
iA
i
faχ
=
=
∑
(*)
Mọi hàm f có dạng (*) với các A
i
rời nhau đôi một và

≤ …..
• f
n
(x) " f(x) khi n " ∞, ∀x ∈ A
3.6. Sự hội tụ theo độ đo
Định nghĩa: Cho dãy {f
n
}
n ∈ N
, f đo được trên A. {f
n
}
n ∈ N
được gọi là hội tụ
theo độ đo µ về f trên A nếu:

{ }
( )
0:lim()()0
n
n
xAfxfxεε
→∞
∀>∈−≥=.
Kí hiệu:
n
ff
µ
→ .
Tính chất: Cho µ là độ đo.

∈
hội tụ
h.k.n về hàm f.
iv) Cho dãy {f
n
(x)} đo được, hữu hạn và hội tụ h.k.n trên tập A đo được, có
độ đo µ(A) < +∞. Với mỗi
0ε >
tồn tại một tập đo được B ⊂ A sao cho µ(A\B) < ε
và {f
n
(x)} hội tụ đều trên B. (định lý Egorov)

15
PHẦN II: TÍCH PHÂN LEBESGUE
1. Các định nghĩa tích phân
1.1. Tích phân của hàm đơn giản, không âm
Cho không gian (X, F, µ), A ∈ F.
Nếu f là một hàm đơn giản, không âm trên A có dạng
1
i
n
iE
i
faχ
=
=
∑

(E

X
fdµ
là
∫
µfd
* Một số tính chất
1) Tích phân của hàm đơn giản, không âm được xác định một cách duy nhất.
2) Nếu f và g là các hàm đo được, đơn giản, không âm, ,0αβ≥ thì:
()fgdfdgdαβµαµβµ+=+
∫∫∫

Chứng minh:
Giả sử f và g có biểu diễn tiêu chuẩn là:
1
i
n
iE
i
faχ
=
=
∑
,
1
j
m
jF
j
gbχ
=

∩
= =
∑∑
+=+=+ χβαβαβα
1 1

Khi đó:
11
1111
1111
11
()()()
()()
(())(())
()()
nm
ijij
ij
nmnm
iijjij
ijij
nmmn
iijjij
ijji
nm
iijj
ij
fgdabEF
aEFbEF
aEFbEF

XA
∞
=
=
U
. Khi đó:
n
A
fdfdµµ→
∫∫
khi ∞→n .
Chứng minh:
Giả sử f có biểu diễn tiêu chuẩn là:
i
E
m
i
i
af χ
∑
=
=
1

Do đó:
( )
ni
m
i
iA

1
khi ∞→n
5) Nếu {f
n
} là dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng, lim
n
n
ff
→∞
= và f là hàm
đơn giản thì lim
n
n
fdfdµµ
→∞
=
∫∫
.
Chứng minh:
f
n
≤ f
n + 1
, ∀n ⇒
1nn
ff
+
≤
∫∫
, ∀n

A
csdµ
→∞
∫

Cho c → 1: α ≥ µds
∫
(với mọi hàm đơn giản s, 0 ≤ s ≤ f).
Do đó:
∫
≥ fα (2)
Từ (1) và (2) ta được: .lim µα dff
n
n
∫∫
∞→
==
17
6) Cho {f
n
} là dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng, f là hàm đơn giản không
âm.
i) Nếu lim
n
n
ff
→∞
≤ trên X thì lim
n
n

n
fdfdµµ≤
∫∫

Cho ∞→n , ta được: lim
n
n
fdfdµµ
→∞
≤
∫∫
.
ii) Lấy α ∈ [0, 1), đặt A
n
= { x ∈ X | α f(x) ≤ f
n
(x) }.
Ta có: A
n
∈ F,{A
n
} là dãy tăng và
1
n
n
XA
∞
=
=
U

}, {g
n
} là hai dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng trên X. Nếu
limlim
nn
nn
fg
→∞→∞
= trên X thì limlim
nn
nn
fdgdµµ
→∞→∞
=
∫∫
.
Chứng minh:
∀k = 1, n , ta có: lim
kn
n
gf
→∞
≤ trên X ⇒ lim
kn
n
gdfdµµ
→∞
≤
∫∫
.

fdµ
= sup {
ϕϕµϕ ,0| fd
A
≤≤
∫
là hàm đơn giản}

18
Tính chất:
i) 0, ≥∀=
∫∫
cfccf
ii)
∫∫
≤⇒≤≤ gfgf0
Thật vậy:
Vì gf ≤ nên nếu ϕ là hàm đơn giản sao cho f≤ϕ thì ta cũng có g≤ϕ .
Do đó:
{ } { }
∫∫∫∫
=≤≤≤= ggff ϕϕϕϕ supsup
iii) Nếu BAf ⊂≥ ,0 , A, B là hai tập đo được thì
∫∫
≤
BA
fdfd µµ
.
Thật vậy:
Nếu BA ⊂ thì với ϕ là hàm đơn giản thỏa f≤≤ ϕ0 thì

Nếu µdf
A
∫
hữu hạn thì ta nói hàm f khả tích trên A.
Khi X = R, F = L thì tích phân định nghĩa như trên được gọi là tích phân
Lebesgue. Ký hiệu: µdfL
A
∫
)( .
2. Các tính chất
2.1. Nếu f đo được trên A và µ(A) = 0 thì 0
A
fdµ=
∫
.
2.2. Nếu f đo được, giới nội trên A và µ(A) < +∞ thì f khả tích trên A.
2.3. Tính cộng tính
Nếu A ∩ B = ∅ thì
ABAB
fff
∪
=+
∫∫∫19
Hệ quả:
i) Nếu tồn tại
A
f

f ≥
∫
.
Hệ quả: Nếu f khả tích trên tập A thì f hữu hạn h.k.n trên A.
2.5. Tuyến tính
•
( )
Rcfccf
AA
∈=
∫∫

• ()
AAA
fgfg+=+
∫∫∫
(vế phải phải có nghĩa).
2.6. Khả tích
• Nếu
A
f
∫
có nghĩa thì
AA
ff≤
∫∫
.
• f khả tích trên A ⇔ f khả tích trên A.
• Nếu f ≤ g h.k.n trên A và g khả tích thì f cũng khả tích trên A.
• Nếu f, g khả tích thì f ± g cũng khả tích.

AAA
fddfdµεϕµµ−<≤
∫∫∫

20
⇒ ()
nn
AA
fdfdϕµϕµε−=−<
∫∫

• Nếu f khả tích thì :
A
fdµ
+
<+∞
∫
và
A
fdµ
−
<+∞
∫

⇒ ∃ϕ
1
, ϕ
2
sao cho:
1

∫∫12
AA
fdfdϕµϕµε
+−
≤−+−<
∫∫

2.8. Tính σ_cộng tính
Cho một không gian độ đo (X, F, µ), f là một hàm đo được trên X.
∀A ∈ F ta định nghĩa: ()
A
Afdφµ=
∫
. Khi đó: φ là σ_cộng tính trên F.
Tức là: Nếu ∈=
∞
=
n
n
n
AAA ,
1
U
F,
( )
mnAA
mn

( )
AE ∩µ
Vì µ là σ_cộng tính nên φ là σ_cộng tính.
* Trường hợp f là hàm đơn giản, không âm:
Giả sử:
() ()
XExaxf
n
k
kE
n
k
k
k
==
=
=
∑ U
1
1
,χ .
Khi đó:
() ( )
AEafA
k
n
k
k
A
∩==



∩=
∞
=
=
∑ U
1
1
i
ik
n
k
k
AEa µ( )








∩=
∞
=
=

( )
∑
∑
∫
∑∑
∞
=
∞
=
∞
= =
=
=
∩=
1
1
1 1
i
i
i
A
ik
i
n
k
k
A
fd
AEa
i

k
φµµϕ
Mà sup{0
AA
fddfµϕµϕ=≤≤
∫∫
, ϕ là hàm đơn giản}
Nên
( )
∑
∫
∞
=
≤
1k
k
A
Afd φµ
hay
1
()()
k
k
AAφφ
∞
=
≤
∑
(1)
• Nếu ∃k

bằng phương pháp quy nạp.
ü Với k = 2,vớiε > 0, chọn hàm đơn giản ϕ sao cho: ϕ ≤ f
và
11
AA
dfdϕµµε≥−
∫∫
,
22
AA
dfdϕµµε≥−
∫∫

Ta có: φ(A
1
∪ A
2
) =
121212
12
()()2
AAAAAA
fddddAAµϕµϕµϕµφφε
∪∪
≥=+≥+−
∫∫∫∫

⇒ φ(A
1
∪ A

nn
kknknknk
kk
kkk
AAAAAAAAφφφφφφφ
+
+
+++
==
===
=∪≥+≥+=
∑∑UUU

Vậy
1
1
()()
n
n
kk
k
k
AAφφ
=
=
≥
∑U
, ∀n
Vì
1

k
Aφ
∞
=
∑
.
* Trường hợp f là hàm đo được, có dấu tùy ý, ta phân tích fff
+−
=−, sau
đó áp dụng kết quả trên cho hai hàm không âm ,ff
+−
.
• Từ tính chất trên ta suy ra: nếu f là hàm đo được, không âm thì
()
A
Afdφµ=
∫
là một độ đo. Hàm
( )
Aφ được gọi là tích phân bất định của f.
Áp dụng tính chất của độ đo, ta có thêm một số tính chất cho tích phân.
Chẳng hạn như: Nếu A
n
↑, A
n
đo được,
U
∞
=
=


Do đó:
() ()
µµ dxf
c
B
A
∫
≤
1
.
23
2.10. Sau đây là một vài tính chất của tích phân các hàm đo được không âm
j Cho f không âm, khả tích trên A,
( )
0>Aµ . Khi đó:

⇔=
∫
0
A
f
f = 0 h.k.n trên A.
Chứng minh:
( )
⇒
• Nếu f là hàm đơn giản, không âm:
i
E
n

A
n
A
n
n
A
∀=⇔=⇔=
∫∫∫
∞→
,00lim0µ
.
nAtrênnkhf
n
∀=⇔ ,..0
Vậy Atrênnkhf ..0= .
( )
⇐ Giả sử: f = 0 h.k.n trên A.
Khi đó với mọi hàm đơn giản f≤≤ ϕϕ 0, thì nkh ..0=ϕ trên A.

⇒
Atrênnkha
i
E
n
i
i
..0
1
=
∑

0µϕ

Theo định nghĩa tích phân của hàm không âm,
ta có: 00sup =










≤≤=
∫∫
ff
AA
ϕϕ
Vậy
⇔=
∫
0
A
f
f = 0 h.k.n trên A.
Có thể chứng minh các chiều
( ) ( )
⇐⇒ và của tính chất trên theo cách khác
như sau:

=
xfAxBB
n
n
U

Giả sử
( )
0>Bµ . Khi đó:
( )
0:0 >>∃
N
BN µ .
Ta có:
( )
0
1
>≥
∫
N
B
B
N
fd
N
µµ
Điều này mâu thuẫn với: ≤
∫
N
B

∀= ,0µ
Mặt khác: { x ∈ A | f(x) ≠ 0 } =
1
n
n
A
∞
=
U

Vì vậy: µ({ x ∈ A | f(x) ≠ 0 } = 0 .
Điều này chứng tỏ f = 0 h.k.n trên A.
( )
⇐ Xét {f
n
} là một dãy bất kỳ các hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng
và lim
n
n
ff
→∞
= trên A.
Ta có: f
n
= 0 h.k.n trên A, ∀n ∈ N ⇒ 0,
n
fdnµ =∀
∫

Do đó: 0lim ==

) = 0
Ta có: f > 0 trên A
1
và
1
0
AA
fdfdµµ==
∫∫
nên f = 0 h.k.n trên A
1

⇒ µ(A
1
) = 0.
Vậy: µ(A) = µ(A
1
) + µ(A
2
) = 0.
l f đo được trên A và 0
E
fdµ=
∫
, ∀E ⊂ A, E đo được. Khi đó f = 0 h.k.n trên A.
Chứng minh:
Đặt: A
1
= { x ∈ A | f(x) > 0 } ∈ F
A

2
) = 0.
Vậy µ{ x ∈ A | f(x) ≠ 0} = µ(A
1
) + µ(A
2
) = 0.
Do đó, f = 0 h.k.n trên A.
3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân
Cho dãy hàm đo được {f
n
}. Nếu
( ) ( )
∞→→ nkhixfxf
n
thì có thể
() ()
∞→→
∫∫
nkhixfxf
n
hoặc
() ()
∞→→
/
∫∫
nkhixfxf
n
.
Xét ví dụ sau: