Chương 3
Phân tích quá trình quá độ trong
mạch điện tuyến tính
Tóm tắt lý thuyết
Quá trình quá độ trong mạch điện là quá trình chuyển từ một trạng thái
xác lập này của mạch sang một trạng thái xác lập khác. Quá trình quá độ trong
mạch điện được bắt đầu từ thời điểm “đóng-mở mạch”, thường coi là từ t
0
=0.
Nguyên nhân của quá trình quá độ là sự có mặt của các thông số quán tính L và
C trong mạch. Ta biết rằng các thông số quán tính L, C tích luỹ năng lượng W
M
và W
E
nên khi quá trình quá độ diễn ra sẽ có sự phân bố lại năng lượng trong
mạch. Tốc độ biến thiên của năng lượng chính là công suất: p(t)=




∆
∆
≈
.
Như vậy thì tốc độ biến thiên của năng lượng p(t) phải ≠∞, tức không thể tồn tại
∆W≠0 khi ∆t=0. Từ đó ta có điện áp trên điện dung u
C
(t) và dòng điện qua điện
cảm i
L
(t) phải biến thiên liên tục. Giá trị của điện áp trên C và dòng điện qua L




0
00
(Hình 3.1a) (3.1)
-Nguồn xung vuông





<τ
τ≤≤
<
=




0
0
00
(Hình 3.1b) (3.2)
-Nguồn xung Dirac δ(t)=



≠
=∞

machcuaungphan
)t(g =
(3.6)
Phân tích trình quá độ của mạch điện là lập và giải hệ phương trình trạng
thái đặc trưng cho mạch bằng công cụ toán thích hợp. Hệ phương trình trạng thái
của mạch điện tuyến tính thường gặp là một hệ phương trình vi phân tuyến tính
hệ số hằng không thuần nhất. Nghiệm của hệ gồm hai thành phần:
- Nghiệm của hệ phương trình vi phân thuần nhất - đây chính là dao động
tự do trong mạch điện. Là dao động tự do nên khi t→∞ thì thành phần tự
do phải tiến tới 0.
- Thành phần thứ hai là 1 nghiệm riêng - đó chính là dao động cưỡng bức
trong mạch điện.
Nghiệm tổng quát của hệ là là tổng (tức xếp chồng) của dao động tự do và
dao động cưỡng bức.
Việc phân tích quá trình quá độ có thể thực hiện bằng một công cụ toán
học nào đó để tìm các nghiệm tự do và nghiệm cưỡng bức. Ví dụ: chương trứơc
ta đã tìm thành phần cưỡng bức hình sin của mạch điện thông qua công cụ biểu
diễn phức.
Có hai phương pháp thông dụng phân tích quá trình quá độ: phương pháp
kinh điển và phương pháp toán tử Laplas.
1. Phương pháp kinh điển là lập và giải hệ phương trình vi phân của mạch điện.
Phương pháp này chỉ thực hiện tiện lợi với các mạch giản đơn vì với mạch phức
tạp việc giải hệ phương trình vi phân là một công việc nan giải. Như vậy phương
pháp này chỉ ứng dụng khi mạch được đặc trưng bởi một phương trình vi phân;
thậm chí là một phương trình vi phân bậc nhất. Khi có 1 phương trình vi phân
bậc 2 thì giải bằng toán tử cũng tỏ ra thuận tiện hơn. Đặc biệt nếu mạch có một
nguồn tác động là bậc thang hoặc hình sin với mạch chỉ có 1 loại thông số quán
tính ta có thể xác định ngay được các dòng điện và điện áp trong mạch thông qua
việc phân tích trực tiếp tiếp trên mạch tại thời điểm t=0 và t→∞. ở đây ta chỉ xét
trường hợp mạch có 1 điện dung C hoặc 1 điện cảm L mắc với nguồn bậc thang

- Hệ số α: xác định theo đường phóng-nạp của C hoặc L. Ae
-
α
t

là
thành phần dao động tự do có hệ số tắt dần α.







=α







1
(3.8)
- Trong công thức trên thì R
tđ
là điện trở tương đương “nhìn” từ 2
đầu của C hoặc L vào mạch khi cho nguồn tác động bằng 0.
(đường phóng-nạp của C hoặc L)
R

(0)=
!
"#

 +=
→ 0
- Giá trị f
K
(0) xác định theo điều kiện ban
đầu. Từ đó xác định A
K
, tức đã tính được f
K
(t).
Các điện áp và dòng điện khác cũng xác định tương tự hoặc nên sử dụng
các định luật Ôm và Kieckhop để xác định chúng từ f
K
(t) cho tiện.
Như vậy bài toán phải được bắt đầu từ xác định điều kiện ban đầu. Từ đó
xác định A
K
tại thời điểm t=0. Khi đó có 4 điều cần chú ý như sau:
Thứ nhất: Tại thời điểm t=0 mà u
C
(0)=0 thì C được thay bằng dây dẫn
trong sơ đồ tương đương để tính A
K
.
Thứ hai: Tại thời điểm t=0 mà u
C

(3.9)

Trong đó
!
"

 =
∞→
(t) được xác định ở chế độ hình sin xác lập của
mạch. Chế độ này dùng biểu diễn phức như đã xét trong chương 2. Tiếp theo là
A
K
cũng xác định theo điều kiện ban đầu.
2. Phương pháp toán tử Laplas:
Phương pháp này phải biến đổi hệ phương trình vi phân về hệ phương
trình đại số với các hàm ảnh. Phương pháp này được tiến hành trong 5 bước:
Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu - xác định các điện áp trên các điện
dung và dòng điện qua các điện cảm tại thời điểm bắt đầu “đóng- mở” mạch.
Bước 2: Biến đổi mạch điện về dạng toán tử tương đương.
Bước3: Lập hệ phương trình cho mạch ở dạng hàm ảnh.
Bước 4: Giải hệ phương trình tìm hàm ảnh.
Bước 5: Biến đổi hàm ảnh về dạng bảng để tra bảng 3.1, tìm hàm gốc.
Chú ý:+ Bước 2:
-Biến đổi các nguồn tác động mẫu về dạng ảnh dùng bảng 3.1
-Biến đổi thông số R về dạng toán tử - vẫn giữ nguyên R như một giá trị
hằng.
-Biến đổi điện cảm L được thực hiện như ở hình 3.2. Trong đó mạch ở
dạng hàm gốc hình 3.2.a) có quan hệ
∫
+=

L0
=0; sẽ có mạch tương đương hình 3.2c) khi điều kiện ban đầu khác
không, tức I
L0
≠0. Từ mạch hình 3.2c) có thể chuyển sang mạch nguồn dòng
tương đương hình 3.2d). Chú ý: chiều của nguồn sđđ dạng ảnh hình 3.2c) có
chiều như chiều của dòng điện ở mạch gốc hình 3.2.a) và có trị số là L.I
L0
với L
có thứ nguyên Henri, I
L0
-Ampe; nguồn dòng hình 3.2d) cũng có chiều như vậy và
có trị số là LI
L0
/pL=I
L0
/p.

a)
i(t)
L
u(t)
b)
i(p)
Lp
u(p)
c)
i(p)
Lp
u(p)

%
#
A
4

%
#
At
5

%
#


)
#
−
−
6
α+%
#
Ae
-
α
t
7

%
#
α+

#
ω
ω
+
ω+#
11

%
#%
ω+
Acosωt
12

'

%%
#
ωα ++
+*
#

1
1
ω
ω
α−
13

'




ω
ω
α
ω
α
−
+
−
15
%%
#

ω+
,+
#

ω
ω
−
16
%%%
#

'

ωα ++
+,+*-
#

%
%
%&
%

%
%
% −=+=
(3.13)

a)
i(t)C
u(t)
b)
i(p)
u(p)
c)
i(p)
u(p)
d)
i(p)
u(p)
+
_
%

0
−
%
1

được ứng dụng rất thuận tiện khi đa thức mẫu số có các
nghiệm thực. Giả sử N(p) là đa thức bậc n, có 1 nghiệm thực bội bậc q là p
b
và có
r=n-q nghiệm thực đơn thì:

1

1

2
2
!
%%


%%

%%

%%
#

%%
#
%%
#
%
%/
%0

143
=
−=


%%
%3
%/
#


153
=
=
các hệ số C
K
xác định theo công thức (3.16) hoặc:

1

41-
41-

1
1

1
1
%%
4%%

−
−
1
1
1
1
1
1
(3.16)
6
3. Phương pháp tích phân Duhamel và tích phân Green: Nếu tác động không
thuộc dạng mẫu ta áp dụng các công thức tích phân để tính phản ứng f
2
(t) khi tác
động là f
1
(t). Tính được thực hiện qua đặc tính quá độ h(t) và đặc tính xung g(t)
với nhánh tương ứng của mạch.
Công thức tích phân Duhamen:

∫∫
−+=−+=

3

3
777777
0
11
0

nguồn một chiều E=50V. Tại thời điểm t=0 khoá K được
đóng lại. Tìm u
L
(t), u
R
(t), i(t) và vẽ đồ thị của chúng.
3.3. Mạch điện gồm hai cuộn cảm mắc nối tiếp có điện trở và điện cảm tương
ứng là R
1
, L
1
và R
2
, L
2
, được đóng vào nguồn một chiều U=300V tại thời điểm
t
0
=0. Biết: hằng số thời gian củat mạch τ=0,01s, điện áp trên 2 cực của cuộn thứ
nhất tại thời điểm t
0
=0 là U
1
(0)=200V, điện áp trên 2 cực của cuộn thứ hai tại
thời điểm t
1
=0,02s là U
2
(t
1

3
1
C
L
K
E
R
R
2
R
1
i
i
1
i
2
:
:
3.4. Mạch điện hình 3.6 có R
1
=20Ω, R
2
=18 Ω, R
3
=30Ω, C ≈ 66,67 µF. Tại thời
điểm t =0 người ta đóng khoá K. Tìm i
1
(t), i
2
(t), i

=R
2
=10 Ω, L=100 mH, nguồn một chiều E=100V.
Tại thời điểm t=0 khoá K được đóng lại, sau đó1s khoá K được hở ra. Tìm biểu
thức của các dòng điện i
1
(t), i
2
(t), i
K
(t) và vẽ đồ thị của chúng.
3.8. Mạch điện hình 3.10 có các nguồn một chiều một chiều E
1
=30V, E
2
=12V,
C
1
=500µF, C
2
=200µF, R
1
=10Ω, R
2
=15Ω, R
3
=9 Ω. Tại thời điểm t=0 người ta hở
khóa K. Tìm các dòng điện i
1
(t), i

(t)=120 sin314t [V] và R=X
L
=10Ω. Hãy xác định i(t) và u
R
(t).
3.11. Mạch điện hình 3.12. có nguồn hình sin biên độ E
m
=100V, tần số góc
ω=314rad/s, biết R
1
=4Ω; R
2
=2Ω, L
1
=9,57mH, L
2
=15,9 mH. Tại thời điểm nguồn
đạt giá trị dương cực đại thì khoá K được đóng lại. Xác định các dòng điện và vẽ
đồ thị thời gian của chúng.
3.12. Người ta đóng điện dung C vào nguồn 1 chiều E=200V qua điện trở R. Biết
hằng số thời gian của mạch là τ=0,25s, dòng điện tại thời điểm đóng mạch
i(0)=0,04A.
a) Tìm biểu thức của u
C
(t)
b) Tìm giá trị của R và C.
3.13. Mạch điện hình 3.13 có C=1000µF, R=50Ω. Tại thời điểm t=0 khoá K
được chuyển từ vị trí tiếp điểm 1 sang 2. Biết năng lượng C nạp được tại thời
điểm t=0 là W
E

C
(t) và i
1
(t) và vẽ đồ thị thời gian của chúng.
3.17. Mạch điện hình 3.16 có R=10Ω, C=100µF, khoá K được đóng tại thời điểm
t=0 vào nguồn 1 chiều E. Bíêt tốc độ biến biến thiên cực đại của năng lượng điện
trường là p
C
(t)
max
=250 [VA] (Von-Ampe). Hãy xác định:
a) i(t), u
C
(t)
b) Năng lượng và điện tích điện dung được nạp.
c) Năng lương tiêu hao trong quá trình nạp.
3.18. Mạch điện hình 3.17. có E=150V, L=20mH, C=133,3µF, hằng số thời gian
của các nhánh τ
1
=1 ms; τ
2
=2ms. Xác định các dòng điện sau khi đóng K.
3.19. Mạch điện hình 3.18 có e(t)=60
2
sin(1000t+α
e
)[V], R=R
1
=20Ω,
L=40mH, C=50µF. Tại thời điểm nguồn chuyển qua giá trị không thì khoá K hở

(t), i
2
(t) và u
C
(t).
;'
3.22. Các mạch điện hình 2.21 có các điện trở và điện dung có trị số giống nhau,
trong đó mạch hình 2.21a có hằng số thời gian τ=1ms. Hãy xác định hằng số thời
gian của các mạch còn lại.
3.23. Mạch điện hình 3.22. có nguồn một chiều E=80V, R=R
2
=10Ω, R
1
=5Ω,
L=0,2H. Tại thời điểm t=0 khoá K được đóng lại. Tìm các dòng điện trong mạch
bằng cả hai phương pháp kinh điển và toán tử Laplas, biết i
L
(0)=0.
3.24. Mạch điện hình 2.23 có khoá K được đóng lại tại thời điểm t=0. Tìm các
dòng điện trong mạch bằng phương pháp toán tử; biết e(t)=100sin314t[V] và
u
C
(0)=0.
3.25. Mạch điện đã được nạp với i(0)=2A, u
C
(0)=5V có chiều như trên hình 3.24.
Tìm biểu thức u
MN
(t) và u
C

2
=200V
1
Bài tập trên lớp ngày 09/3/2007
;
3.29. Cho mạch hình 3.28.
1. Lập phương trình vi phân đặc trưng cho mạch với các biến số là i, i
1
, i
2
và u
C
.
2. a) Cho tác động là nguồn e(t)=



≤
<
α
*9
''
<
'
0
,
cho quan hệ L=4R
2
C. Tìm biểu
thức tức thời của i(t).

1
=240V, E
2
=120V, R=60Ω, L
1
=L
2
=0,2H,
M=0,1H. Xác định các dòng điện sau khi đóng khoá K tại thời điểm t=0, biết
rằng trước đó mạch đã xác lập.
3.35. Cho mạch điện hình 3.34. Hãy xác định phương trình đặc trưng của mạch.
Phương trình này có bao nhiêu nghiệm ? Các nghiệm này có thể nằm ở đâu trên
mặt phẳng phức khi ta thay đổi các thông số mạch.
3.36. Hãy lập phương trình vi phân cho mạch hình 3.35 với biến số là biến là i
2
(t)
và xác định các giá trị i
1
(t), i
2
(t), i
3
(t) tại thời điểm t=(+0)
3.37. Cho một xung vuông điện áp hình 3.36 tác động lên mạch mạch RC nối
tiếp có R=500Ω, C=10µF. Xác định i(t),u
C
(t), u
R
(t) và vẽ đồ thị của chúng.
3.38. Xung vuông hình 3.36. tác động lên mạch RL nối tiếp với R=50Ω;

00
100
Tìm i(t), u
C
(t).
;
3.41. Mạch điện có R=100Ω mắc nối tiếp với C=100µF chịu tác động của một
xung vuông điện áp u(t) có 2 cực tính hình 3.39. Tìm
a) i(t), u
C
(t) và vẽ đồ thị của chúng.
b) Năng lượng tiêu tán trong khoảng thời gian tồn tại của xung.
c) Quy luật biến thiên của điện tích q(t) tích trong C.
3.42. Mạch điện có R=10Ω, L=100mH mắc nối tiếp, chịu tác động của dãy xung
vuông dài vô hạn có độ cao E=50V, độ rộng và độ rỗng của xung như nhau:
t
R
=t
X
=5mS (tức chu kỳ T=2t
X
) - Hình 3.40. Tìm quy luật biến thiên của dòng điện
i(t) và vẽ đồ thị của nó.

3.43. Mạch điện có R=100Ω, C=100µF mắc nối tiếp, chịu tác của dãy xung
răng cưa dài vô hạn tuần hoàn có độ cao E=200V, t
X
=0,01s -Hình 3.41. Tìm quy
luật biến thiên của điện áp u
C

?
5@=4#-,+
!

30
283260102
00
6
0
Xác định i
L
(t) và u
C
(t), biết R=10KΩ, L=0,1mH, C=10nF, T=2t
X
.

3.47. Trong mạch điện hình 3.45 biết E=24V. Sau khi đóng khoá K dòng điện
nhánh chính là i(t)= 16 - 4e
-1,5
t
[A].
a) Hãy xác định biểu thức tổng trở toán tử của mạch.
b) Các thông số của mạch.
3.48. Cũng trong mạch điện hình 3.45 biết E=12V, i
2
(t)=4+2e
-15t
. Hãy xác định
các thông số của mạch.

3.51. Mạch điện hình 3.47 có R
1
=R
2
=20Ω; R
3
=30Ω, C≈83,33µF được đóng vào
nguồn e(t)=128te
-100t
[V] tại thời điểm t=0. Hãy tìm dòng điện i
2
(t) trong mạch
bằng:
a) Phương pháp tích phân Duhamel.
b) Phương pháp toán tử.
Lời Giải - đáp số - chỉ dẫn
3.1. Hình 3.48.
1. a) Phương trình định luật Kiêckhop 2:
u
R
+u
C
=E. Chọn biến số là u
C
thì i=

.

[1/s]
Nghiệm là:





*94*9 -*
4*9 -*4*9 -*
α−αα−
α
α−
αα−
+=+=
α+=
∫
α+
∫
=
∫∫
.
Vì u
C
(0)=E+C=0 (đây là điều kiện ban đầu) nên C=-E→ u
C
(t)=E(1-e
-
α
t
)=100(1-e

9



α−
=
=0,02e
-10t
[A]
Đồ thị các đại lượng hình 3.49.
b) Theo công thức 3.7. thì u
C
(t)=Ae
-
α
t
+B
Hệ số α theo (3.8) thì α=1/R
tđ
C=1/RC=10[1/s] vì R
tđ
=R (khi đã đóng khoá K
và cho nguồn tác động bằng 0). Khi t→∞ thì u
C
(∞)=B=E vì lúc đó mạch ở chế độ
một chiều khi C nạp đầy đến điện áp bằng E. Khi t=0 thì u
C
(0)=A+B=A+E=0 nên
A=-E và u
C

=0,1H
3.4. Từ mạch hình 3.50 a) ngắt bỏ C, nhìn từ 2 điểm vừa cắt vào mạch khi
cho nguồn tác động bằng 0 sẽ có mạch hình 3.50b).Từ đó có:

Ω=
+
+=+= 30
3020
3020
18
312

AA

;
500
10676630
11
6
≈==α
−
=


[1/s]
Đầu tiên tính dòng i
1
(t)=Ae
-500t
+B;

0,95E
0,05E
;:

61
251120
50
0
0
321
11
=
=AA
9
"#

 =
+
=
+
=+==
=
, vì khi t=0
thì u
C
(0)=0 nên C thay bằng dây dẫn (hình 3.50c).
A=1,6-B=0,6 nên i
1
(t)=0,6e
-500t

3
3
3
+−==
−
; i
R2
(t)=i
R1
(t)-i
R3
(t)=e
-500t
.[A]
4B-**


500500
223
1303030
−−
−=−=−=
Có thể kiểm tra giá trị u
C
(t) theo công thức:

*

=
*

∫∫
[V]
3.5. Hình 3.51
5460
40
=*=

+−=
−
;
.'

!


9


1
2
3




2
3
1
C


40
2
181
2172
−
−
−=
+=
*=


40
846
−
=
[V]
3.6. L=0,5H
3.7. Hình 3.52.
Chưa đóng K: Mạch xác lập với dòng một chiều:
#

9
$ 5
20
100
00
21
210
==
+

5#*




100
2
2
22
100
10
10
−α−
====α==
Vì i
2
(0)=5 nên A=5 → i
2
(t) =5e
-100t
. Khi t=1s thì i
2
(1)≈0;
i
K
(t)=i
1
(t)-i
2
(t)=10-5e

−−
−=−=⇒====
Đồ thị hình 3.53b)
3.8.Mạch đã cho trên hình 3.54a):
Tìm điều kiện ban đầu, tức tìm U
C1
(0) và U
C2
(0): Trước khi hở khoá K
mạch ở chế độ một chiều xác lập, không có dòng qua C
1
và C
2
nên sơ đồ tương
đương có dạng hình 3.54.b).
5
t
1
i
1
(t)
i
2
(t)
[s]
10
i
1
(t)=i
2

C1
(0)=U
C2
(0)=U
R2
(0)=1,05.15 =15,6V.
Sau khi hở khoá K: Mạch tách là hai phần độc lập nhau (hình 3.54.c):
Phần mạch bên trái:
121
6
25
1510
α=== 5

AA

=
333
105006
1
6
≈
−

[1/s]
i
1
(t)=A
1
e

E9
"#




+===
−
=+==
=
−

[A]
u
R1
(t)=R
1
i
1
(t)=2,4e
-333t
+12[V]; u
R2
(t)=u
C1
(t)=E
1
-u
R1
(t)=18-2,4e


==α==
; i
3
(t)=A
2
e
-555t
+B
2
.
0
233
==∞=
∞⇒
"


vì dòng 1 chiều không qua đươc C
2
.


*=5=

9E
#


555

5*
9
*
F
9
=F
*9
G
9
$
=F

F

F




00
0
436390
90
510
10201010020
=
+
=
+
==

Cb
4#-+*=
==5+=5+*
#**
+5***
FF>
9
$








FFF



 

0100
00100
100
045459090
451001041
41
2
2

314120
−
−=

4B-4+*45B-,+*


0314
453142120314120120 −=−=
−
3.11. Hình 3.56.
=

*
7125
2
6
−
=
,+**

,+*
=
!

07125418
21
0418
1
3731420610

3.14.
H=
*
*5*
*
%5*
5H=5BE5*








9 %


10
0
80
888
5000
200
200
10
2
200
1052001200
80

1
là i
1
(t)=E/R
1
=2[A]
< C được nạp qua R
2
theo quy luật hàm mũ

**9




500
1
11501
2
−
−
−=−=
[V]

*



1
150
−−
+
−
=
[V] ;
4#-*=





1125
21
1
51
−−
=
+
=
;

4#-*=


&*=






%
5*
9




9



9
α−α−α−α−
α−α−
α−
−=−=
−α==
−==
2
22
2
2
2
2
1
1
1
22

**
9
%
10001000
2
2690690
2
101100
10025050
1010
250
−−
−−
==−=
=⇒−≈−==
b)
H=
9

9
50
2
2
==
c)
H=
*




Trước khi hở khoá K:
'
00
1
0
0
0
1
562645
45
45
45
2456330102
2
230
260
2301303030
30103110
2020
402020
2040
=FF

 
F
F


F



209010002
272805626100024563
241421
4020
24563
0
0
9090
5626
00
0
1
−=−=
−=−=
==
+
==
−−
−
5+
B=5=+=
**=
F
*=
G

E

$

045
1
4510005151
4040
260
0
−=⇒=
+
=
++
=
−
Từ đó



1000
1
=
+
=α
; i
L
(t)=Ae
-1000t
+1,5sin(1000t-45
0
).
Khi t=0 thì i
L

+A2

1000
1
0
==ω
=ω nên mạch ở trạng thái
cộng hưởng:

=
ω
+ω+
+=
F
F

G
11
1
2R=100 Ω

45#-+5*
F
*
G

E

$
5

200
045
45
4545
45
0
0
00
0
−=−====
======
−

4B-+

250
2
2
100451000
0
===
Sau khi hở khoá K:Mạch tách làm 2 phần:
Mạch bên phải:




**
1000
250250

0
45
=
=
+
=
ω+
=
4#-+*#+#"#
+#*




1000222202200
100022
1000
1000
+−=→−==+=+=
+=
−
−
3.21.Hình 3.62
a) +Biến là u
C
:
==3&3

444
10537107501503104 =+=+