1
Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Trong phần này của tài liệu bạn đọc làm quen hoặc nhớ lại những điểm chính của quá trình ngẫu
nhiên. Các công thức trình bày tại chương này sẽ được dùng tại phần bàn về sóng biển, gió trên biển,
chòng chành tàu, momen uốn, lực cắt tàu, công trình nổi trên sóng.
1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Đại lượng ngẫu nhiên, ví dụ độ dâng mặt sóng biển, xuất hiện trong tự nhiên, tại một vị trí nhất
định, có thể mang giá trị lớn hay nhỏ, trên mặt trung bình (dương) hay dưới mực trung bình (âm
) và có
thể nói không sai, khó xác định trước. Tập họp các đại lượng ngẫu nhiên theo diễn tiến thời gian đưa
đến hình ảnh của một biểu đồ diễn tiến sự kiện, ví dụ diễn tiến của độ dâng sóng tại vị trí đo.
Với sóng biển, độ dâng mặt sóng tại mỗi vị trí được xét như quá trình ngẫu nhiên, có thể diễn đạt
bằng hàm ζ = f(t), và hàm
này trong thực tế là hàm liên tục. Từ băng ghi liên tục đo trong thời gian
τ

= t – t
0
, nếu chúng ta chỉ ghi nhận những kết quả đo sau mỗi khoảng thời gian vô cùng ngắn, ví dụ
Δ
t =
( t – t
0
)/ N, với N số khoảng thời gian được chọn trước, sẽ thu được kết quả không phải dạng hàm liên
tục như vừa tả, mà ở dạng hàm rời rạc theo khoảnh khắc thời gian ζ
i

i
, i=1,2,…. Dữ liệu
vừa thu nhận, ngoài cách sắp xếp theo thời gian t vừa đề cập, còn có thể tập họp dưới dạng hàm phân
bố theo tần suất xuất hiện của đại lượng ngẫu nhiên. Một trong các cách làm là sắp xếp các dữ liệu theo
tần suất xuất hiện độ lớn. Giả sử độ dâng mặt sóng đo được từ thực tế mang giá trị nhỏ nhất ζ = –ζ
A

đến giá trị lớn nhất ζ = +ζ
B
. Nếu chia đều đoạn từ –ζ
A
đến +ζ
B
ra một số phân đoạn, ví dụ m phân
đoạn, trong mỗi phân đoạn có thể xác định tổng số lần xuất hiện của ζ.
Bảng 1.2
-ζ
A
<ζ< Z
0
Z
0
<ζ<Z
1
Z
1
<ζ<Z
2

…

2
=n
2
/N … P
n
=n
n
/N …
…
Trường hợp chung nhất có thể diễn đạt cách làm trên bằng cách sau. Giả sử rằng trong quá
trình thực hiện sự kiện trong toàn miền đã thu nhận được N giá trị mang tính ngẫu nhiên. Các giá trị đó
trải dài trên toàn bộ miền, ví dụ (-ζ
A
, ζ
B
). Sau khi chia toàn bộ miền giá trị (-ζ
A
, ζ
B
) thành các phân
đoạn, tiến hành tính kiểm lượng giá trị m
i
trong phạm vi mỗi phân đoạn.
Bảng 1.3
i x
1
– x
2
x
2

2
p
3
… p
n

2
Tỷ lệ giữa m
i
/N, ký hiệu bằng p
i
được gọi là tần suất. Biểu đồ tần suất sắp xếp trên suốt chiều
dài của miền đang xét gọi là biểu đồ chuỗi thống kê. Cách lập biểu đồ tiến hành theo bảng 1.3.
Ví dụ 1: Kết quả đo độ lắc của vật thể nằm trên sóng, sau 500 lần ghi nhận, được tập họp lại dưới dạng
bảng dưới đây. Trong bảng, dòng đầu trình bày các khoảng biên độ, tính theo đơn vị 10°, dòng thứ hai
số lần mà góc lắc đạt giá trị ghi trong phân đoạn, dòng cuối là tần suất p
i
= m
i
/500.
Bảng 1.4
Δϕ
i

-4;-3 -3;-2 -2;-1 -1;0 0;1 1;2 2;3 3;4
m
i
6 25 72 133 120 88 46 10
p
i


F(x
n+1
) = 1
1
=
∑
=
n
i
i
p
Hàm phân bố tích lũy tính từ ví dụ trên đây có dạng như hình 1.1 phía dưới:
F(-4) = 0;
F(-3) = 0,012;
F(-2) =0,012 + 0,050 =0,062;
F(-1) = 0,206;
F(0) = 0,472;
…
F(3) = 0,980;
F(4) = 1,000

3
2 MẬT ĐỘ CỦA ĐAI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Từ ví dụ trên có thể tổng quát hóa cách tính các giá trị đặc trưng liên quan xác suất xuất hiện giá
trị ngẫu nhiên như sau. Nếu tiến hành xác định tần suất cho đại lượng ngẫu nhiên trong trường hợp
khoảng cách phân đoạn tiến đến gía trị vô cùng nhỏ chúng ta nhận được mật độ xác suất. Định nghĩa
mật độ xác suất được hiểu theo giới hạn của quan hệ xác suất:
p(x) =
x

i
i
p có thể mở rộng khái niệm sang hàm liên tục, trong phạm vị - ∞ < ζ <
+∞ hàm
p(x) thỏa mãn điều kiện:
∫
+∞
∞−
= 1)( dxxp

Quan hệ giữa hàm Prob(.) và p(.) thường gặp khi tính xác suất xuất hiện đại lượng ngẫu nhiên trong
phạm vi nhất định, ví dụ trong miền hạn chế [a, b):
Prob( a
≤

ζ
< b ) =
∫∫
−
−
→
−
−
=
ε
ε
ε
b
a
b

2
(1.6)
Tính chất hàm phân bố
Hàm F(x) là hàm không giảm theo x,
F(-
∞ ) =
;0)(lim =
−∞→
xF
x
(1.7)
F(+∞ ) =
;1)(lim =
∞→
xF
x
(1.8)
F(x) = F( x – 0) (1.9)
Ví dụ: Đại lượng ngẫu nhiên ζ tuân thủ luật phân bố với mật độ sau:
f(x) = a.cosx trong miền -π / 2
 x  π /2;

4
f(x) = 0 ở miền ngoài.
Cần xác định giá trị hằng số a, lập hàm phân bố và xác định xác suất 0 ≤ ζ ≤ π/4.
Để xác định hằng số a cần thiết sử dụng tính chất
∫
+∞
∞−
= 1)( dxxp , theo đó:

≤ ζ < b ) = F(b) - F(a) (1.10)
Thay giá trị b trong công thức cuối b = a +
ε, ε > 0 và ε → 0, công thức này trở thành:
Prob(
ζ = a ) = F( a + 0) – F( a) (1.11)
3 GIÁ TRỊ ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Trước tiên chúng ta xét quá trình ngẫu nhiên bố trí dưới dạng hàm rời rạc. Với ví dụ độ dâng
mặt sóng, từ dữ liệu đo đạc chúng ta có thể xác lập mật độ phân bố của sóng dưới dạng hàm:
ζ
1
ζ
2
ζ
3
ζ
4
ζ
5

p
1
p
2
p
3
p
4
p
5


(1.12)
Vì rằng
∑p
i
= 1 như đã giải thích trong phần bàn về các tính chất hàm mật độ, giá trị trung
bình m được viết gọn:
∑
=
=
n
i
iix
pxm
1
(1.13)
Với quá trình liên tục công thức cuối có dạng:
∫
+∞
∞−
= dxxxpm
x
)(
(1.14)
Kỳ vọng toán ký hiệu E(X) trong toán chính là giá trị trung bình đang đề cập:

5
E(X) = m
x

Momen bậc 2.

1
2
)(
∑
=
−=
σ
(1.17)
với trường hợp hàm liên tục:
∫
+∞
∞−
−= dxxpmx
x
)()(
22
σ
(1.18)
Ý nghĩa cơ học của đại lượng này gần giống như momen quán tính của khối lượng phân bố so
với trọng tâm, với nghĩa trọng tâm ở đây do kỳ vọng toán m thủ vai.
222
)(
x
mXE −=
σ

Thứ nguyên của phương sai là bình phương của thứ nguyên đại lượng ngẫu nhiên. Trong khi
dùng thỉnh thoảng người ta sử dụng đến đại lượng xuất xứ từ phương sai song mang thứ nguyên của đại
lượng ngẫu nhiên. Đại lượng này bằng khai căn bậc hai của phương sai và mang tên gọi không chính
thức, “độ lệch bình phương trung bình hay độ lệch chuẩn”, tính theo công thức:

Từ đó
0)2/1()(
||
===
∫∫
+∞
∞−
−
+∞
∞−
dxxedxxxpm
x
x

và 2)()2/1(2)()(
222
==−=
∫∫
+∞
∞−
−
+∞
∞−
dxxPexdxxPmx
x
x
σ

Độ lệch trung bình:
2=

⎪
⎨
⎧
>
−
−
<
= .
.;1
.;0
)(
(1.24)
Các đại lượng đặc trưng:
m
x
=
∫
+
=
−
b
a
ba
dx
ab
x
2
(1.25)
12
)(

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−=
2
2
2
)(
exp
2
1
)(
σ
πσ
mx
xf
(1.27)

Hình 1.3 Phân bố tự nhiên
Hàm f(x) đối xứng qua trục đứng đi qua m. Điểm cực đại của f(x) nằm tại trục đối xứng với
chiều cao
πσ
2
1
. Hai đại lượng m và σ trong công thức cũng chính là kỳ vọng toán và khai căn
phương sai của chính nó, được giải thích sau đây.
∫∫

dtt
m
dtttdttmtXE )exp()exp(
2
)exp()2(
1
)(
222
−+−=−+=
∫∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
ππ
σ
σ
π
(1.29)

Hình 1.2 Phân bố đều

7
Có thể nhận ngay rằng, biểu thức thứ nhất thuộc vế phải của phương trình bằng 0, còn biểu thức
thứ hai chính là tích phân Euler-Poisson, theo đó tích phân vô hạn này bằng căn bậc hai của π. Kết quả
chỉ lưu lại m sau khi tính.
Momen thứ k của phân bố tự nhiên được định nghĩa như sau.
∫

1
)()(
σ
πσ
(1.31)
Sau khi thay biến
2
σ
mx −
= t có thể viết biểu thức tính momen bậc 2 hay là phương sai:
dtttm )exp(
)2(
22
2
2
−=
∫
+∞
∞−
π
σ
(1.32)
Sau tích phân biểu thức cuối có thể thấy:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩

2

Hàm F (x) theo cách diễn đạt
[]
∫
∞−
=≤=
ζ
ξξζζζ
dftobF )()(Pr)( được viết lại như sau:
dx
mx
dfxF
x
∫∫
∞−∞−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−==
2
2
2
)(
exp
2

/2). Các tích phân
vừa nêu gọi là tích phân xác suất hoặc còn gọi hàm sai số, dễ dàng lập thành bảng trợ giúp tính toán
hoặc tích phân số. Có thể chọn hàm sai số sau làm hàm phụ trợ:
∫
∞−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
x
dt
t
xF
2
exp
2
1
)(
2
π
(1.36)
Đặc tính của hàm được chọn là, bản thân nó cũng chính là hàm F(x) với tham số m = 0 và
σ = 1.
Hàm F(x) giờ có thể thay bằng hàm mới, theo quan hệ:
⎟

Hình 1.4
Prob( a <
ζ < b ) = F(b) - F(a) =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
σσ
ma
F
mb
F
(1.38)
Ví dụ 3: Xác lập phân bố tự nhiên dạng f(x) =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

22
)(
σ
=2,098
Hàm phân bố giờ đây có dạng:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−=
098,2.2
)168,0(
exp
2448,1
1
)(
2
x
xf
π

Một số giá trị đặc trưng được trình bày tại bảng 1.5. Bảng 1. 5
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
p(x) 0,004 0,025 0,090 0,199 0,274 0,234 0,124 0,041 0,008

⎢
⎣
⎡
−=−−=
∞
∞
∫
0
2
0
2
2
exp]2/exp[)(
m
x
mxdxxf
x
x
(1.40)
Trong phần nghiên cứu sóng biển như quá trình ngẫu nhiên chúng ta thường gặp khái niệm
chiều cao của 1/n sóng cao nhất. Trong chương bàn về sóng biển sẽ đề cập chi tiết sóng này. Tại đây
chúng ta tìm hiểu cách xác định bằng toán. Giả sử chiều cao sóng chọn bằng giá trị trung bình từ n
sóng cao nhất ký hiệu
ζ
1/n
, công thức xác định sóng này xuất phát từ luật phân bố Rayleight có dạng:
Prob(
ζ > x ) =
∫∫
∞∞

= 2m
0
log
e
n. Giá trị trung bình của 1/n sóng cao nhất sẽ là:
{}
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−==
∫∫
∞∞
2/1
0
0
2
0
2
/1

−=
t
dterf
0
2
2
exp
2
1
)(
ξ
ξ
π
(1.43)
5 PHÂN TÍCH PHỔ
Hàm mang tính chu kỳ, giả sử chu kỳ T, miêu tả hiện tượng thiên nhiên có thể viết dưới dạng
chuỗi Fourier:
w(t) =
()
∑
∞
=
++
1
0
sincos
2
i
iiii
tbta

10
;
0
2
coscossinsin
2/
2/
2/
2/
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≠
=
==
∫∫
−−
ik
ik
T
dtttdttt
T
T
ki
T
T
ki
ωωωω

ii
T
T
ii
tdttw
T
b
tdttw
T
a
ω
ω
(1.48)
biểu thức a
0
tính bằng:
∫
−
=
2/
2/
0
;)(
1
T
T
dttw
T
a
(1.49)

(1.50)

Hình 1.5
Ví dụ: phân tích chuỗi Fourier cho hàm f(t) = |t| trong chu kỳ T = 2τ. Hàm f(t) trong ví dụ là hàm chẵn,
các hệ số được xác định theo cách sau:
A
0
= ;0;
2
0
==
∫
τ
τ
τ
n
Btdt
∫∫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−−
−
===
πτ
π
τ
π

6
cos
1
2
cos
2
4
222
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+++−= p
p
T
tp
T
t

T
dttw
T
dttw
T
T
TT
T
T
T
8
3
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
02/
02/
∫∫ ∫∫
−−
=++=dt
tnT
T

∫∫∫
∫∫∫
+=
++==
−−
2/02/
2/
0
0
2
cos
2
1
2
cos
1
2
cos)(
1
2
cos)(
1
2
cos)(
1
2
cos)(
1
πππ
πππ

dt
tn
T
dt
tn
t
T
)1(
2
1
2
sin
1
2
sin
1
2
sin
1
22
2/
0
2/
0
−−=+
∫∫
π
π
π
ππ

⎢
⎣
⎡
=
L
T
t
T
t
T
t
T
t
T
t
T
t
Ttw
π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π

π
2
lim
∞→
, trong khi đó i.ω
1
từ trạng thái rời rạc cũng biến chất trở thành đại lượng liên tục ω. Và như vậy
công thức cuối trở thành:
w(t) =
∫
∞
+
0
)sincos(
ωωω
dtbta
(1.51)
trong điều kiện:
∞<
∫
+∞
∞−
dttw )( (1.52)
trong đó:

12
∫
∫
∞
∞−

Thường gặp trong công việc phân tích hàm ngẫu nhiên, hàm w(t) và các đại lượng liên quan
được viết dưới dạng số phức. Từ định nghĩa các hàm
phức thường gặp, rất quen với người đọc:
e
zi
= cos z + i. sin z
e
-iz
= cos z – i.sin z
và
2
sin;
2
cos
zizizizi
ee
z
ee
z
−−
−
=
+
= ;

2
sin;
2
cos
nzinzinzinzi

Nếu dùng hệ số C
n
thay cho cụm A
n
, B
n
theo công thức:
2
;
2
nn
n
nn
n
iBA
C
iBA
C
+
=
−
=
−
(1.56)
Công thức xác định hàm f(t) trong trường hợp tổng quát, chu kỳ 2π, trở thành:
()
∑∑
∑
∞
=

+
+=
1
intint
0
1
intint
0
1
intintintint
0
222
222
)(
n
nn
n
nnnn
n
nn
eCeCCe
iBA
e
iBAA
ee
iB
ee
A
A
xf

)(
2
1
;)(
2
1
(1.59)
Nếu thay f(t) bằng hàm w(t) chu kỳ T, chuỗi của w(t) có dạng:

13
∑
∞
−∞=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n
n
T
tin
Ctw
π
2
exp)( (1.60)
còn hệ số C
n

n
, B
n
vào công thức xác định w(τ), theo đó:
∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
1
0
2
sin
2
cos
2
)(
n
nn
T
n
B
T
n
A

2/
2/
2
sin)(
2
;
2
cos)(
2
ππ
(1.63)
sẽ nhận được:
∑
∫∫
∞
=
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+=
1
2/
2/

∑
∫∫
∞
=
−−
Δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+=
1
2/
2/
2/
2/
)(cos)(
2
)(
1
)(
n
n
T
T
n

Phương trình cuối nếu viết dưới dạng số phức sẽ có dạng:
ωτω
π
τ
ddttitww
∫∫
∞∞
∞−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
0
)](exp[)(
2
1
)(
(1.67)
Hàm phức trên đây được gọi là tích phân Fourier trong dạng số phức. Tiếp tục khai triển có thể
viết tích phân Fourier theo cách thường dùng sau.
ωωτω
π
τ
didttitww )exp(]exp[)(
2

∞
τωττ
π
ω
ωωτωτ
diwS
diSw
)exp()(
2
1
)(
;)exp()()(
(1.69)
Cặp tích phân trên đây còn được viết dưới nhiều dạng khác nhau, một trong các cách viết đó là:

14
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
−=
∫
∫
∞
∞
∞

dttw
T
m
(1.71)
Phương sai:
σ
2
=
∫
+
−
2/
2/
2
)]([
1
T
T
dttw
T
(1.72)
Với các hàm rời rạc công thức tính m và σ được viết thành:
m = ½A
0
= C
0
. (1.73)
σ
2
= ¼A

2
+ B
n
2
), n =0,1,2,… (1.75)
Với các quá trình có tính chu kỳ, giả sử chu kỳ T, giá trị trung bình của w(t).w(t+ τ ), với τ bất
kỳ được gọi là hàm tự liên quan, phụ thuộc vào τ = t’ – t, trong đó t‘ thời điểm bất kỳ, bằng t hoặc khác
t.
Hàm R(τ) được định nghĩa:

∫
−
+=
2/
2/
;)()(
1
)(
T
T
dttwtw
T
R
ττ
(1.76)
hoặc mở rộng cho trường hợp các quá trình không liên tục:
∫
∑
−
∞=

])[exp()(
T
T
n
n
n
dttintw
T
tinCR
τωτωτ
(1.78)
Hàm R(τ) cung cấp thông tin về giá trị tín hiệu tại thời điểm t + τ, khi đã rõ giá trị hàm tại t. Có
thể để ý rằng với τ = 0 giá trị hàm R(0) = σ
2
. Khi τ tăng hàm R(.) giảm.
Hình 1.6

15
Ví dụ: Tính hàm tự liên quan của w(t) = asin
ω
t, với T biến thiên từ 0 đến ∞.
{}
∫
∫∫
=+
=+=+=
∞→
∞→∞→
T
T

⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∞→
t
T
T
t
t
T
T
ta
T
ω
ω
ω
ω
ω

2
)(
π
π
(1.79)
∫
∞
∞−
= dfftjfStw )2exp()()(
π
(1.80)
Khi xử lý dữ liệu đo đạc hoặc tín hiệu ghi nhận từ những quá trình thực tế trong tự nhiên, hàm
w(t) theo thông lệ được thể hiện dưới dạng hàm rời rạc:
∑
∞
−∞=
−=
n
s
nTttxtw )()()(
δ
(1.81)
hoặc viết dưới dạng:
∑
∞
−∞=
Δ−Δ=
n
s
TntTnxtw )()()(

s
)2exp()()(
2/1
2/1
ΔΔ=Δ
∫
Δ
Δ−
π
(1.84)
Trường hợp đã xác định hàm liên quan của quá trình ngẫu nhiên R(τ), từ công thức (1.78), nhờ
phép biến Fourier mối quan hệ giữa hàm R với phổ có thể viết như sau:
tin
n
n
tin
n
n
eSeCR
11
2
)(
ωω
τ
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
== , (1.85)

∞=
∞
∞=
===
(1.86)
và
S
n
=
∫
−
−
2/
2/
1
)exp()(
1
T
T
dtinR
T
τωτ
(1.87)
Từ đó có thể viết:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬

τ
= k
Δ
t với k = 0, 1,2, …,
∑
−
=
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
kn
i
kii
knn
Tk
R
1
.
1.
ςς
, với k = 0,1,2, … (1.89)
Công thức tính phổ cho trường hợp này trở thành:
⎥
⎦

ω
i
= iΔω = iπ/Δt.m (1.91)
Trong kỹ thuật chúng ta còn sử dụng đại lượng tiêu chuẩn hóa của hàm R(.), gọi là hàm quan
hệ tiêu chuẩn, ký hiệu như sau:
r(τ = t’ - t) =
)'()(
)'(
tt
ttR
σσ
τ
−=
(1.92)
trường hợp t = t’, có nghĩa τ = 0, hàm r(t’-t) tính bằng:
1
)(
)(
)(
)0(
)(
22
===
t
tV
t
R
r
σσ
τ


Nếu coi biểu đồ lực tác động trên đây thuộc quá trình ngẫu nhiên, các giá trị đặc trưng của quá
trình được tính như sau.
m =
98,0
100
)(
100
1
≈
∑
=n
i
tN18
Phương sai được tính cho trường hợp các giá trị N(t) đã chuyển về trục tọa độ mới, qua m vừa
tính.
1045,0
100
])([
100
1
2
2
≈
−
=
∑

ωπ
ωωπ
ττ
π
τ
π
ω
ωττωττωτ
τ
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
+
−
=
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+==
−

=S
Tần số (frequency) được hiểu
π
ω
2
=f , tính bằng đơn vị Hertz. Trong các công thức phổ nếu
chúng ta thay ω = 2πf kết quả sẽ được hàm phổ tính theo tần số f:
G(f) = 2π.S(2
π
f) (1.94)
và
R(τ) =
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
= dfiffGdfiffS )2exp()()2exp()2(2
τπτπππ
(1.95)
Hàm G(f) cũng gọi là phổ, xác định theo tích phân:

19
∫
∞
∞−
−=
ττπτ
difRfG )2exp()()( (1.96)
Phương pháp phân tích phổ Fourier

−= dftjSth )exp()()(
ωω
(1.100)
Hai dạng phổ S(ω) chúng ta có thể gặp khi tính tốn là phổ băng hẹp, hình hía trái, và phổ băng
rộng hay còn gọi tiếng ồn trắng, hình phía phải của hình.

Hình 1.8
Thuật tốn FFT
Thuật tóan FFT, viết tắt từ Fast Fourier Transform ra đời theo nhu cầu phân tích phổ khi phân
tích các tín hiệu vơ tuyến điện. Phương pháp ra đời từ giữa những năm 60, đầu tiên được J.W. Cooley và
J.W. Tukey cơng bố và sau đó được trung tâm nghiên cứu của IBM chuyển thành chương trình tính.
Ngày nay FFT đã được cải tiến, hồn thiện thêm, nâng lên thành nghệ thuật
1

)/2exp()2exp()2exp()()(
1
0
1
0
NjknhtjfhdttjfthfH
N
k
kkn
N
k
knn
πππ
∑∑
∫
−

nk
π
−=
∑
−
=
(1.102)

1
Xem các tài liệu chuyên đề. Brigham,E. Oran. “The Fast Fourier Transform”, Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1974;
Elliott, D.F., Rao,K.R. “Fast Transforms: Algorithms, Analysis, Applications”, Academic Press, 1982.

20
Nếu định nghĩa: W = e
2πj/N

∑
−
=
=
1
0
N
k
k
nk
n
hWH (1.103)
Chương trình bằng ngôn ngữ C dưới đây cung cấp cho bạn đọc công cụ phân tích dữ liệu ngẫu
nhiên theo phương pháp FFT, hoàn chỉnh sau những năm bảy mươi.

wr=1.0;
wi=0.0;
for ( m =1; m < mmax; m+=2) {
j = i+ mmax;
tempr = wr*data[j] - wi*data[j+1];
temp1 = wr* data[j+1] + wi*data[j+1];
data[j] = data[i] -tempr;
data[j+1] = data[i+1] - temp1;
data[i] += tempr;
data[i+1] += temp1;
}
wr = (wtem*wr)*wpr - wi*wpi + wr;
wi = wi*wpr + wtemp*wpi + wi;
}
mmax = istep;
}
}
6 PHỔ SÓNG BIỂN
Phổ sóng biển được xác định sau phân tích phổ của sóng biển như quá trình ngẫu nhiên, đo tại
vùng nhất định. Phổ sóng biển được xác định theo một trong những công thức giành cho S(ω) đã trình
bày trên. Những đại lượng đặc trưng cho phổ sóng có thể nêu:

21
Momen bậc n của phổ:
∫
∞
=
0
)(
ωωω

(1.106)
Chu kỳ sóng tính cho trường hợp chiều dài sóng xác định từ đỉnh sóng đến đỉnh gần nhất, gọi là
chu kỳ max.
4
2
max
2
~
m
m
T
π
=
(1.107)
Tần suất sóng tương ứng trường hợp chu kỳ sóng tại mức 0:
0
2
m
m
=
ϖ
(1.108)
Chiều dài sóng tính trên trục Ox ( mức 0):
4
0
2
~
m
m
g

nks
s
∫
∞
−−
−=
0
exp.
(1.111)
Nếu sử dụng biến t = Bω
-n
cho công thức trên, các biến khác thay đổi theo:
ω = t
-1/n
B
1/n
; ω
s – k
= t
(k-s)/n
B
(s-k)/n
(1.112)
dω = -(1/n). B
1/n
t
-(1+n)/n
(1.113)
và khi đó:
dtteBA

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
Γ
+−
n
sk
BA
n
nks
1
.
1
/)1(
(1.115)
Tính cụ thể cho trường hợp momen bậc s = 0, 2, 4 công thức tính m
s
có dạng:
m
0
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

3
.
1
/)3(
(1.117)
m
5
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Γ
−
n
k
BA
n
nk
5
.
1
/)5(
(1.118)
Các hằng số A, B khá đa dạng, tính riêng cho từng trường hợp cụ thể. Có thể hình dung dạng
chung của hai hằng số này như sau.
nknk

⎝
⎛
−
Γ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Γ
= (1.119)
2/
0
2
3
1

⎞
⎜
⎝
⎛
−
Γ
= (1.120)
Những ví dụ cụ thể về A và B đọc theo bảng 1.8:
Bảng 1.8
Tên gọi phổ A B k n
Neumann
3,05π/2
2(g/v
wind
)
2
6 2
Pierson-Moskowitz 16,2.10
-3
g
2
0,74(g/v
wind
)
4
5 4
ISSC lần II
0,28h
m
2

return -tmp+log(2.50662827465*ser);
}

24
Chương 2 SÓNG NƯỚC

1 SÓNG NỨƠC
Sóng mặt nước thuộc nhóm sóng trọng trường, thường do gió gây ra trên sông, biển, đại dương.
Biểu hiện dễ nhận thấy của sóng nước là sóng biển do gió gây, mực nước lên xuống của thủy triều, dao
động mức nước trong vịnh, lụt lội trên sông vv…
Hai phương pháp xem xét sóng nước đang dùng thuộc hai lĩnh vực toán khác nhau song đều mang
lại hiệu quả. Phương pháp tất định xem xét sóng trong không gian và thời gian xác định bằng các phép
tính giải tích hoặc phương pháp số. Phương pháp dựa vào các cơ sở lý th
uyết sóng biên độ thấp cổ điển
hoặc sóng biên độ hữu hạn (sóng phi tuyến) để diển tả có tính định hình sóng có mặt trên các biển, đại
dương. Phương pháp xác suất tìm hiểu qui luật phát triển sóng, truyền sóng vác tác động của sóng lên
công trình bằng phép tính xác suất - thống kê, từ dữ liệu thu thập trong thời gian đủ dài. Với phép phân
tích phổ chúng ta có thể xác định đặc trưng hình học, cơ học của sóng tại vùng quan tâm
.
Sóng biên độ thấp
Sóng nước biên độ thấp được tạo ra trong môi trường chịu ảnh hưởng trực tiếp của lực hút trái đất,
được xét trong phạm vi lý thuyết sóng tuyến tính. Lý thuyết sóng trọng trường được G.B.Airy phát
triển từ giữa thế kỷ XIX. Những giả thuyết của sóng Airy được tóm tắt như sau:
1.

2
1
2
2
tCpy
yxt
=++
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−−=
2
2
2
1
yxt
gy
p
φφφ

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−−=
2
2
2
1
yxt
g
p
S

p
φη
ρ
(2.6)
trong đó, phép đạo hàm mở đầu bằng D được hiểu là:
dy
d
v
dx
d
u
dt
d
Dt
D
η
η
η
η
++=
Bỏ qua độ căng mặt thoáng có thể coi áp lực trên bề mặt nước bằng áp suất khí quyển, tại vị trí đang
xét p
s
= p
a
. Từ đó:
0=
∂
∂
=

2
0
=
∂
∂
+
∂
∂
== yy
t
y
g
φφ
(2.9)
Trong phạm vi lý thuyết tuyến tính, hàm φ được hiểu như hàm điều hòa, có thể viết dưới dạng:
)(
).(
tkxi
ey
ω
φ
−−
Φ= (2.10)
Sau khi thay điều kiện biên vào hàm vừa nêu, sau biến đổi hàm φ được viết lại dưới dạng chung:
)](exp[)(cosh tkxidyk
k
C
ωφ
−−+= (2.11)
trong đó C là hằng số được xác định tiếp.