Chương 6
XỬ LÝ CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

§6.1. MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT
6.1.1. Vấn đề nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên trong miền tần số
(☼)

Trong trường hợp tất định, biến đổi Fourier của tín hiệu cho ta biết tần số
có mặt trong tín hiệu. Ví dụ, với các tín hiệu

( )
( )
10
st cos t
ω
= ,

() ()
2
1
s t rect t
0
⎧
==
⎨
⎩86
các biến đổi Fourier tương ứng là:

Các hàm
( )
1
S , ω
( )
2
S ω chẵn, đồ thị của chúng ứng với thể hiện ở
Hình 6.1.
0ω>
Hình 6.1.
Tần số của hai tín hiệu
Với trường hợp thứ nhất, tín hiệu có một tần số
0
ω , với trường hợp thứ hai,
tín hiệu có vô hạn tần số.
Bên cạnh việc nghiên cứu tín hiệu trong miền thời gian (theo biến t), việc
nghiên cứu tín hiệu trong miền tần số - tức là nghiên cứu phổ của tín hiệu - là
mảng nghiên cứu hết sức hiệu quả để xử lý tín hiệu tất định. Về vấn đề phổ (biến
đổi Fuorier của tín hiệu tất định), chúng ta có thể tham kh
ảo ở [5], [9], [7]. Khi
tín hiệu là ngẫu nhiên, từ chỗ mỗi quỹ đạo
( )
Xt, ( Sζζ∈ cố định) của một
QTNN là một tín hiệu tất định, một nghiên cứu hứa hẹn là biểu diễn các quỹ đạo
này trên miền tần số. Như vậy, một cách tự nhiên, chúng ta xét biến đổi Fourier

của quỹ đạo X(t, )ζ

X, Xt,e dt
∞
−ω
−∞
ωζ = ζ
∫
. (6.1.1)
Hàm phổ tính theo (6.1.1) xác định với từng quỹ đạo của quá trình, nó được
gọi là phổ biên độ. Thường thì X(t) là điện áp của một đoạn mạch nào đó với
kháng 1
Ω
nên nó cũng được gọi là phổ điện áp.
Tuy nhiên, hai nguyên nhân sau là những cản trở nặng nề mà hầu như
chúng ta không thể vượt qua:
Thứ nhất, đối với hầu hết các QTNN, với xác suất dương hoặc thậm chí
bằng 1, điều kiện hội tụ tuyệt đối của tích phân
()
Xt, dt
∞
−∞
ζ
∫

không thoả mãn. Từ đó, về mặt lý thuyết, dường như tích phân (6.1.1) không bao
giờ tồn tại.
Thứ hai, về mặt thực tiễn, gần như không bao giờ chúng ta biết hết các quỹ
đạo của QTNN đã cho, thậm chí là một quỹ đạo của QT Poisson hay QT Wiener.
Hơn nữa, dù quỹ đạo có thể biết được, nhiều khó khăn khác cũng không khắc
phục nổi.
Một trong những hướng xử lý v

[]
T
Xt, khit T;T,
Xt,
0tT
⎧
ζ∈−
⎪
ζ=
⎨
∈−
⎪
⎩
;T.

Nói chung, chúng ta có thể giả thiết
()
T
i
T
Xt, dt
−
ζ <∞
∫
, i = 1,2 (ví dụ, với
QT có quỹ đạo liên tục hay bước nhảy).

87

Với Sζ∈ , năng lượng của quỹ đạo tất định

=ζ= ζ
∫∫
.
Mặt khác, do
()
T
Xt, dt
+∞
−∞
ζ <∞
∫
nên có thể xác định được biến đổi Fourier
của
( )
{ }
T
Xt,ζ :
ℱ
T
[X (t, )]=ζ

() ()
T
jt jt
T
T
Xt,e dt Xt,e dt
∞
−ω −ω
−∞ −

∫
∫∫ ∫
⎥
⎦

Như vậy có thể coi

() () ()
TT
jt js
T
TT
1
X , X t, e dt X s, e ds
2T
−ω ω
−−
⎡⎤⎡
ωζ = ζ ζ
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
∫∫
⎤
⎥
⎦
(6.1.2)
là công suất trung bình của tín hiệu
( )
{ }
Xt,ζ trên đoạn

ω= ω (6.1.3)
làm hàm mật độ phổ công suất (trung bình) của QT
( )
{ }
Xt .
Lấy kì vọng hai vế (6.1.2), bằng tính toán giống như ở Định lý 5.8 ta đi đến
() ()
2T
j
T
X
2T
EX , 1 R e d.
2T
−ωτ
−
⎛⎞τ
⎡⎤
ω
ζ =− τ
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
∫
τ

88

Khi , với những điều kiện nhất định, ví dụ
T →∞

R τ .
Đó là nội dung của định lý Khinchine - Wiener đưa ra vào năm 1930 (trước
đó - vào năm 1990 - định lý được chứng minh bởi Al. Einstein). Chúng ta có thể
tham khảo chứng minh trong [15], tr101.
Từ những phân tích trên, đối với những người quan tâm đến ứng dụng,
người ta đưa ra định nghĩa về hàm mật độ phổ công suất trình bày ở mục 6.1.2
dưới đây, gọi là định nghĩa theo phương pháp tương quan.
(☼)

6.1.2. Mật độ phổ công suất
Định nghĩa
. Ta gọi biến đổi Fourie của hàm tự tương quan
( )
X
R τ của QT
dừng
( )
{ }
Xt

() ()
j
XX
SRed
∞
− ωτ
−∞
ω =τ
∫
τ (6.1.4)

( )
X
R τ ↔
( )
X
S ω .
Có nhiều tên gọi để chỉ hàm mật độ phổ công suất: mật độ phổ công suất,
mật độ phổ, phổ và có lẽ thông dụng và đơn giản nhất là phổ công suất, dù rằng
từ này không chính xác vì không liên quan đến đơn vị. Nếu đơn vị của X(t) là
Vol (trên đoạn 1 Ω) thì đơn vị của phổ công suất là Wat - giây (W - s) hay
Wat/Hz (W/Hz). Tuy nhiên, nếu quá trình có ý nghĩa thực tế khác thì thuật ngữ
và các
đơn vị đưa ra có thể không còn phù hợp, cần thay đổi. Dù sao, trong các
đoạn sau, chúng ta vẫn giữ các thuật ngữ này.
Lưu ý:
Tần số ω nói đến ở (6.1.4), (6.1.5) là tần số góc (đơn vị là Rad/s).
Nhiều tài liệu lại dùng tần số vòng f (đơn vị là Hz) để xác định mật độ phổ:
() ()
j2 f
XX
fRed.
∞
−πτ
−∞
= ττ
∫
S
(6.1.4')
Từ tính chất của phép biến đổi Fourier suy ra


ω
⎛⎞
ω=
⎪⎜⎟
π
⎝⎠
⎨
⎪
= π
⎩
S
S
(6.1.6)
Nếu không sợ hiểu nhầm, người ta có thể viết
( )
X
S f thay cho
X
.
2
ω
⎛⎞
⎜⎟
π
⎝⎠
S
Với quy ước đó thì:

( ) ( )
XX

X
R τ :
() () ( ) () ( )
XX X
0
11
RScosdScos
2
∞∞
−∞
d.
τ =ωωτω=ωωτ
ππ
∫∫
ω (6.1.8)
iii) Công suất của QT
( )
{ }
Xt là hằng số, xác định theo:
() ()
()
()
()
()
22
XX
1
Pt EXt EX0 S d
2
∞

( )
X
Sω≥0. Tính chất thực và chẵn của
( )
X
S ω được suy từ (6.1.7).

(ii) Khẳng định suy ra từ tính chẵn của
( )
X
S ω và tính chất của phép biến
đổi Fourier:
( )
X
R τ là biến đổi Fourier ngược của
( )
X
S ω

() ()
() ( ) () ( )
j
XX
XX
0
1
RSed
2
11
Scosd Scos

2
Xo
A
Rcos
2
τ =ωτ.
Từ Ví dụ 5.10 , ta thấy
( )
{ }
Xt
Từ bảng B-2 các phép biến đổi Fourier ở Phụ lục, ta có
()
()(
2
X0
A
S
2
π
)
0
⎡ ⎤
ω= δω−ω +δω+ω
⎣ ⎦
.
Hình 6.2 mô tả mật độ này. Các tính chất (i), (ii) dễ dàng được kiểm
nghiệm. Công suất của tín hiệu tính bởi:
()
222
XX


Phổ công suất của sóng sin ngẫu nhiên

Ví dụ 6.2.

Tín hiệu điện báo ngẫu nhiên
. Đó là QTNN
Z(t) = AY(t)
trong đó
( )
{ }
Yt là QT điện báo nửa ngẫu nhiên xét đến ở Ví dụ 5.18, còn A là
BNN nhận giá trị ± 1 với xác suất 1/2 và độc lập với Y(t).
Chúng ta sẽ chứng tỏ
( )
{ }
Z t là QT dừng và tìm phổ công suất của nó.
Trước hết ta có:

( ) ( )
EZt E[A]ETt 0.⎡⎤= ⎡⎤=
⎣⎦ ⎣⎦91

Bởi vì
2
E[A] 0 ; E[A ] 1= = , sử dụng kết quả ở Ví dụ 5.18 suy ra:


−λτ
−ωτ
−∞
λ
ω= τ =
λ+ω
∫
.
Giả sử cho trước hàm số
( )
S,ω ω∈¡. Với điều kiện nào
( )
S ω là phổ công
suất của một QT dừng
( )
{ }
X t nào đó? Định lý sau cho ta câu trả lời với trường
hợp thời gian liên tục.
Định lý 6.2.
Hàm
( )
S,ωω∈¡ là phổ công suất của một QT dừng, nhận giá
trị thực với công suất hữu hạn nào đó khi và chỉ khi
( )
S ω là hàm chẵn, thực,
không âm, khả tích trên
¡ .
Chứng minh.
Điều kiện cần suy từ tính chất phổ công suất (Định lý 6.1). Để
chứng minh điều kiện đủ, xét QTNN

⎡⎤
τ +=
⎣⎦
Từ đó:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
E X t+ X t a E cos V t+ +U cos Vt+U
⎡ ⎤
⎡τ ⎤= τ
⎣⎦
⎣ ⎦

() ( )
()
{}
2
a
E[cos V ] E[cos V 2t+ 2U ]
2
=τ+ τ+
()
2
a
E[cos V ].
2
= τ
là hàm chỉ phụ thuộc vào τ. Vậy QT
( )

92


93
1Vì ta chỉ cần chọn
()
V
fd
∞
−∞
ωω=
∫
()
a2Sd
∞
−∞
.= ωω
∫
Cuối cùng

()
( )
()
V
Sx
fx
Sxdx
∞
−∞
=

() ()
j
YX YX
SRe
+∞
−ωτ
−∞
ω =τ
∫
τ (6.1.10)
Như vậy, phổ công suất chéo là biến đổi Fourier của hàm tương quan chéo.
Từ tính chất của phép biến đổi Fourier ta được:
() ()
j
XY XY
1
RSe
2
d,
∞
ωτ
−∞
τ =ω
π
∫
ω
() ()
j
YX YX
1

⎣
⎤
⎦
là những hàm chẵn của ω.
iii)
( )
XY
Im S⎡ω
⎣⎦
⎤và
( )
YX
Im S⎡ ω⎤
⎣ ⎦
là những hàm lẻ của ω.
iv) Nếu {X(t)} và {Y(t)} là hai QT trực giao thì:
( ) ( )
XY YX
SS0ω =ω=.
v) Nếu { là hai quá trình không tương quan thì X(t)},{Y(t)}

( ) ( ) ( )
XY YX X Y
SS2ω= ω=πµµδω. (6.1.13)

Định lý 6.4

(Phổ công suất của tổng hai quá trình)

Nếu { là hai quá trình thực, dừng đồng thời thì X(t)},{Y(t)}

=≠
ω =ω+
∑∑
ω. (6.1.15)
Ví dụ 6.3. Dạng trễ của tín hiệu ngẫu nhiên.
Cho QT dừng {X(t)} với phổ công suất
( )
X
S ω , {Y(t)} là dạng trễ của
{X(t)} xác định bởi Y(t) = X(t - d), d là hằng số dương cho trước. Khi đó
YX
(t) E(X(t d))µ= −=µ
;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
YX
Rt,s EYtYs EXtdXsd Rts=⎡ ⎤=⎡ − −⎤= −
⎣⎦⎣ ⎦
.
Vậy {Y(t)}là QT dừng với cùng hàm tự tương quan và do đó cùng phổ
công suất với {X(t)}:
( ) ( )
YX
SSω =ω.
Từ đây rút ra nhận xét:
Sự bằng nhau của hai hàm tự tương quan hoặc của hai phổ công suất của
hai QT dừng chưa thể suy ra các quỹ đạo trùng nhau.
Bây giờ ta tính hàm tương quan chéo.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
YX X

00
Xt sin t U; Yt cos t U=ω+ = ω+
trong đó tần số ω
0
cố định, U có phân bố đều trên [0;2π].

94

Như đã thấy (xem Ví dụ 5.10), mỗi QT
( )
{ }
Xt và
( )
{ }
Yt là dừng. Chúng
ta tính hàm tương quan chéo

( ) ( )
( )
( )
XY 0 0
Rt+,tEsin t UcostU
⎡⎤
τ= ω +τ+ ω+
⎣⎦

()
()
()
00

π
.
⎡ ⎤
ω= ωτ τ= δω+ω −δω−ω
⎣ ⎦
∫

Sử dụng (6.1.12) chúng ta nhận được

()
()(
*
YX XY 0 0
j
)
() .
2
SS
− π
⎡ ⎤
ω= ω= δω+ω −δω−ω
⎣ ⎦

Ví dụ 6.5.
Cho phổ công suất chéo
b
aj
W
ω
+ với

τ= ω= =
⎜⎟
π
⎝⎠
=⎡τ− τ+τ τ
)
⎤
⎣ ⎦
πτ
∫

6.1.4. Mật độ phổ công suất cho quá trình thực, không dừng

Người ta cũng nghiên cứu phổ công suất cho QT không dừng. Chúng ta
lướt qua một vài kết quả chính.
Các hàm tự tương quan, tương quan chéo trong các công thức (6.1.4),
(6.1.5), (6.1.10) cần phải thay bởi hàm tự tương quan thời gian, tương quan chéo
thời gian:
() ( )
j
XX
-
SARt,te
∞
−ωτ
∞
ω= ⎡ +τ ⎤ τ
⎣⎦
∫
d,


95

Công thức (6.1.9) thể hiện công suất chung của QT trở thành
()
()
()
2
XX
-
1
PAEXt S d
2
.
∞
∞
⎡⎤
==
⎣⎦
π
∫
ωω
(6.1.18)
Nhớ lại rằng A[.] là toán tử trung bình thời gian xác định ở mục 5.3.2.
Tính chất thực, không âm, chẵn của mật độ phổ vẫn được bảo toàn. Khi
dùng ký hiệu cặp biến đổi Fourier, ta có thể viết lại (6.1.16), (6.1.17) dưới dạng:
( ) ( )
X
AR t ,t S .
⎡+τ⎤↔ω


XY YX YX
S()S()S()
∗
ω= −ω= ω
. (6.1.20)

Ví dụ 6.6.

Đáp ứng của bộ tích với tín hiệu ngẫu nhiên.

Bộ tích là thiết bị điện thông dụng. Ở đây, dạng sóng ngẫu nhiên {X(t)}
được nhân với sóng mang cosin (có thể là sin) để tạo thành QT mới 96 có thể không dừng do
phụ thuộc vào t. Để đơn giản, bây giờ giả
thiết
{
oo
cos(2 t )

{ }
X(t) là dừng,
{ }
Y(t) cũng
Y
R(t ,t)
+τ
2
o
Xo o
A
R ( )[cos( ) cos(2 t )]
2
=τωτ+ω+ω
o
τ.
A⇒
[
]
Y
R(t ,t)+τ
2
o
Xo
A
R()cos( )
2
=τωτ.
Biến đổi Fourier hai vế, sử dụng tính dịch chuyển tần số ở Bảng B-1, ta
được

=
[ ]
XoX
S( ) S( )
o
ω−ω + ω+ω .

Đặc biệt, nếu
{ }
X(t) là QT thấp tần với độ rộng dải băng W/2 còn đủ
lớn
thì
{
o
ω
o
(W/ω> 2)
}
Y(t) là QT thông giải với độ rộng dải băng W (Hình 6.3) 97
+∞
−ω
=−∞
ω =
∑
R
ω∈ (6.1.21)
là phổ công suất của dãy đó.
Theo tính chất của phép biến đổi Fourier,
( )
X
S ω là biến đổi Fourier ngược
của dãy tự tương quan
( )
{ }
X
Rn:
() ()
jn
XX
1
Rn S ed
2
.
π
ω
−π
= ω
π
∫

( )
X
S0ω≥ .
iii)
( ) ( )
XX
SS. −ω = ω
iv)
() () ()
2
XXX
1
PEXn R0 S d
2
.
π
−π
⎡⎤
===ω
⎣⎦
π
∫
ω

X
X
S()
0)
ω
S(

− ω
tuần hoàn chu kỳ 2π. Các
tính chất còn lại được chứng minh tương tự như với trường hợp liên tục.
Tính chất (i) nói rằng, phổ công suất là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π, vì thế chỉ
cần xét trong khoảng [-π ; π] hay [0 ;

2π ]. Tính chất (ii), (iii) nói rằng phổ công
suất của dãy dừng thực là hàm thực, không âm và chẵn.
(Tính chất thực, không âm của phổ công suất còn đúng cả cho dãy dừng
nhận giá trị phức!)
Tính chất cuối cùng nghĩa là: Công suất trung bình của QT bằng
1
2π
lần
diện tích hình thang cong giới hạn bởi 1 chu kỳ đường cong phổ công suất với
trục hoành; như vậy, bằng giá trị trung bình của phổ công suất trên 1 chu kỳ.
Nhận xét
. Người ta còn dùng biến đổi Z của dãy tự tương quan
:
X
{R (n)}
S
n
XX
n
(z) R (n)z
∞
−
=−∞
=

dừng. Dãy ARMA tạo thành từ
( )
{ }
Nn đại diện cho hầu hết các dãy trong thực
tế. Ở đây chúng ta xét trường hợp đơn giản, đó là dãy trung bình trượt cấp một
( )
{ }
X n xác định bởi:
( ) ( ) ( )
Xn Nn bNn 1,n
= +−∈
Z
.
Dãy số liệu này rất đơn giản: Giá trị hiện tại X(n) là tổ hợp tuyến tính đơn
giản của giá trị hiện tại và quá khứ gần nhất của dãy nhiễu trắng xuất phát
( )
{ }
N n . Rõ ràng:
()()
( )
22
N
2
N
1b
EXn kXn b
0
⎧
+ σ
⎪

∑
với k = 0
với
k1
= ±
trái lại

Ví dụ 6.8
.
Phổ công suất của quá trình lấy mẫu
.
Trong ứng dụng, nhiều QT số (digital process) - tức là dãy ngẫu nhiên -
được tạo thành bằng cách lấy mẫu một quá trình tương tự (analog process) - tức
là QT với thời gian liên tục – nào đó. Sau đây chúng ta trình bày mối liên hệ giữa
các hàm tương quan cũng như mật độ phổ của hai QT này.
Cho QT tương tự
( )
{ }
a
Xt,t
∈
R
. Quá trình số
( )
{ }
d
Xn được tạo ra bằng
cách lấy mẫu:

( ) ( )


( )
() ( )
XX
da
XX
da
n;
RkRkT
µ=µ
= .

Khi đó, từ công thức tổng Poisson:
" Nếu
thì
() () ()
jux
fx Fu fxe dx
∞
−
−∞
↔=
∫
o
x,c∀ ∈
R
,
()
2
jn x

da a
nk
12
SRkTeS
TT
∞∞
−ω
=−∞ =−∞
kω+π
⎛⎞
ω= =
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
,
trong đó
( )
X
a
S ω là phổ công suất của QT tương tự xuất phát
( )
{ }
a
Xt.
6.1.6. Một số mô hình nhiễu
a) Nhiễu trắng
Định nghĩa.
Ta gọi QTNN
( )
{ }

R.
. (6.1.23)
Nếu thêm giả thiết rằng
( )
{ }
N t là quá trình Gauss thì ta có nhiễu trắng
Gauss. Tuy nhiên mục này chúng ta chỉ đề cập đến nhiễu trắng thông thường.
Thuật ngữ nhiễu trắng xuất phát từ tên gọi tương tự với ánh sáng "trắng",
gồm tất cả các tần số có thể trong phổ của nó.
Phổ công suất và hàm tự tương quan của nhiễu trắng thể hiện ở Hình 6.4. N
S()ω
N
R()τ
2
σ
2
σ
τ
ω
(b) (a) Hình 6.4.


là nhiễu nhiệt.
Sau đây chúng ta giới thiệu sơ bộ về nhiễu nhiệt.
Nhiễu nhiệt
sinh ra do dao động của điện tử trong bất kỳ một thiết bị điện
nào. Nhiễu nhiệt có phổ công suất là hằng số đến một tần số rất cao rồi sau đó
giảm dần.

100

Một kháng tại nhiệt độ T (Kelvin) sinh ra một điện thế nhiễu tại đầu ra của
một mạch mở với phổ công suất

()
( )
2
N
/T
/T
S
e1
αω
σαω
ω=
−
, (6.1.25)
trong đó
(Kelvin/giây) là hằng số.
12
7,64.10
−
( )
N
S
ω=

0 với
[ ]
W;W .
ω∉ −

W được gọi là độ rộng dải nhiễu.

Công suất nhiễu được tính theo (6.1.9):
()
N
NN
P
1cW
PSd c
2W
∞
−∞
π
=ωω=⇒=
ππ
∫
.


trong đó W là tần số cực đại của nhiễu.
Trường hợp
5
W=
π
và P = 1, phổ công suất và hàm tự tương quan thể hiện ở
Hình 6.5.

101


102
N
R()ω

Hình 6.5.

Phổ công suất (a) và hàm tự tương quan
(b) của nhiễu trắng dải tần hữu hạn.
c) Nhiễu trắng thông dải
(bandpass white noise)
Tồn tại những bộ lọc có thể loại bỏ hết những tần số thấp, để nguyên lại
những tần số cao hơn (gọi là bộ lọc thông dải). Qua bộ lọc này, nhiễu trắng dải
tần hạn chế sẽ trở thành nhiễu trắng thông dải.
Định nghĩa.
QTNN
( )

Định nghĩa
. Dãy ngẫu nhiên
( )
{ }
Xn được gọi là nhiễu trắng nếu nó là dãy
dừng, quy tâm và hàm tự tương quan cho bởi:
( ) ( )
2
N
Rk k, k
=σδ ∈
Z
.
Như vậy,
( )
{ }
N n là nhiễu trắng khi và chỉ khi
( )
{ }
N n là dãy BNN kỳ
vọng không, cùng phương sai
2
D[X(n)]
= σ
và không tương quan.
Thực hiện phép biến đổi Fourier với dãy tự tương quan
( )
{ }
N
Rn

.
π
⎡⎤
==ωω
⎣⎦
π
∫
=σ

e) Một số loại nhiễu khác
Giống như ánh sáng màu chỉ bao gồm một phần tần số có thể trong phổ của
nó, chúng ta định nghĩa nhiễu màu như sau.
τ
N
S()ω

2
/5π
ω
5/π

(a)

Định nghĩa.
Nhiễu không phải là nhiễu trắng gọi là nhiễu màu.
Ví dụ 6.9.
Xét nhiễu
( )
{ }
N t là QT dừng, quy tâm với hàm tự tương quan

Pd
2
9
P.
∞
−∞
=ω
π
+ω
∫
=

Một dạng nhiễu quan trọng hay xảy ra trong kỹ thuật điện tử là nhiễu bắn
(xem mục 5.5.1e1).
6.1.7. Phổ công suất của QTNN phức
Chúng ta đã nghiên cứu hàm kỳ vọng và hàm tương quan QTNN phức ở
§5.6. Mục này dành cho phổ công suất của chúng. Để đơn giản, phổ công suất
được định nghĩa theo phương pháp tương quan.
Định nghĩa phổ công suất, phổ công suất chéo vẫn giữ nguyên như trường
hợp thực, chúng ta ghi lại ở đây.
Định nghĩa.
Gải sử
( )
Z
t
µ
và
( )
Z
R

∞
ωτ
−∞
τ =ω
π
∫
ω

Như vậy
và là cặp biến đổi Fourier:
Z
R()τ
Z
S( )ω

( ) ( )
ZZ
RS.
τ ↔ω
(6.1.26)
Từ chỗ
suy ra
*
ZZ
R( ) R()−τ = τ
*
ZZ
S() S()ω =ω
, vậy phổ công suất luôn là
hàm thực; tuy nhiên, nói chung nó không chẵn. Giống như Định lý 6.2, ta có

τ ↔ω
(6.1.27)
Chẳng hạn:
() ()
j
XY XY
SRed;
∞
−ωτ
−∞
ω =τ
∫
τ

() ()
j
XY XY
1
RSe
2
d
∞
ωτ
−∞
τ =ω
π
∫
ω

Vì hàm tương quan chéo có tính chất

{ }
n
A và
{ }
n
U là các BNN độc lập; U
n
có phân bố đều trên [0;2
π
]; còn
ω
0

là hằng số thực. Hàm tự tương quan của QT là .
()
N
j
2
o
Xn
n1
ReEA
ωτ
=
⎡⎤
τ=
⎣⎦
∑
Biến đổi Fourier hàm này ta nhận được phổ công suất
( )

∑
ℱ

()
()
N
j
2
0
0n
n1
e2 EA
ωτ
=
⎡⎤
=πδω−ω
⎣⎦
∑
.
Vậy phổ thu được là phổ vạch tại
ω
0
với công suất
N
2
n
n1
EA
=
⎡ ⎤

[]
2
nn
DA
=σ <∞
Rõ ràng
Ngoài ra, tính toán cụ thể ta có:
X
(t) 0.µ=

104

( ) ( ) ( )
X
Rt ,t EXt Xt
∗
⎡⎤
+τ = +τ
⎣⎦
()
NN
jt
jt
n
m
nm
n1 m1
EAe Ae
ω+τ
−ω

X t là QT dừng
( )
X
S ω=
ℱ
⎛⎞
()
NN
j
22
n
nn
n1 n1
e2
ωτ
==
n
.σ =π σδω−ω
⎝⎠
∑∑
⎜⎟

Như vậy, phổ thu được chỉ chứa một số tần số (một số vạch).
Lưu ý rằng mỗi số hạng
j
n
n
Ae
ω τ
có phổ

Xt ae
⎛⎞
ω−
⎜⎟
⎝⎠
=
trong đó a là hằng số thể hiện sự suy giảm tín hiệu, c là vận tốc truyền (âm thanh,
sóng điện từ…) và
. Vì máy phát có dao động riêng nên chúng ta giả
sử rằng vận tôc V là BNN với mật độ f
0
rr V=+t
V
(x). Rõ ràng

()
r
V
oo
j1 t
o
cc
Xt ae
ω
⎡ ⎤
⎛⎞
ω− −
⎜⎟
⎢ ⎥
⎝⎠

(c) Phổ thu
(a)
Hình 6.6.

Hiệu ứng Doppler: Ngoài hiện tượng tăng (giảm) tần số
còn hiện tượng nới rộng phổ
Dễ thấy đây là QT dừng với hàm tự tương quan là

105


()
V
j1
o
2
c
X
RaE[e ]
()
⎛⎞
ω− τ
⎜⎟
⎝⎠
τ=
s
j1
o
2
c

2
∞
ωτ
−∞
⎛⎞
⎛⎞
ω
τ= π − ω
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
πω ω
⎝⎠
⎝⎠
∫
d.

Vế phải là biến đổi Fourier ngược của hàm
()
2
V
00
c
S2afc1
⎛⎞
⎛⎞
ω
ω=π −
⎜
⎜⎟

( )
( )
2
X0
S2ω =πσδω−ω .
Rõ ràng phổ này trùng với phổ của tín hiệu phát.
Bây giờ giả sử
và giả sử
0
Vc cons== t c
0
c< (vận tốc chuyển động thấp
hơn vận tốc truyền). Khi đó
2
0
0
c
S( ) 2 a (1 ) .
c
⎛
ω= π δω−ω −
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
(6.1.30)
Như vậy, máy thu nhận được tín hiệu với tần số
0
0
c
106

§6.2. CĂN BẢN VỀ HỆ TUYẾN TÍNH
Phần lớn những công việc của chúng ta cho đến bây giờ là nhằm mô tả các
hiện tượng ngẫu nhiên bằng cách mô hình hoá nó như là quỹ đạo của QTNN.
Chúng ta nhận ra rằng, phương pháp miền thời gian dựa vào hàm tương quan và
kỹ thuật miền tần số dựa vào phổ công suất lập nên những cách cực kỳ hiệu quả để
xác định dáng điệu c
ủa tín hiệu ngẫu nhiên. Tuy nhiên, chúng ta phải dừng lại ở
đây, bởi vì khía cạnh quan trọng nhất của tín hiệu ngẫu nhiên là gắn kết chúng thế
nào đó với hệ tuyến tính. Trước hết ở mục này, chúng ta thảo luận những điều căn
bản về hệ tuyến tính. Chú ý của chúng ta tập trung vào hệ tất định, chỉ có một đầu
vào, một đầu ra và là hệ liên tục (tức là tín hi
ệu đầu vào và đầu ra là những tín hiệu
với thời gian liên tục). Ai đã thạo về hệ tuyến tính tất định có thể bỏ qua mục này,
chuyển ngay đến mục §6.3 tiếp sau.
6.2.1. Hệ tuyến tính tổng quát
Hệ là mô hình toán học của một quá trình vật lý mà tác động lên tín hiệu đầu
vào x(t) để tạo thành tín hiệu đầu ra y(t).
Như vậy, hệ là phép biến đổi (ánh xạ) tín hiệu x(t) nằm trong tập các tín hiệu
đượ
c phép
D
nào đó thành tín hiệu y(t). Phép biến đổi này ký hiệu bởi T và chúng
ta viết
( ) ( ) ( )
yt Txt ,xt= ⎡⎤ ∈
⎣⎦

D
ii) Ánh xạ T có hai tính chất sau:
( ) ( ) ( ) ( )
12 1 2
Tx t x t Tx t Tx t⎡+ ⎤=⎡⎤+⎡
⎣⎦⎣⎦⎣
⎤
⎦
(cộng tính)
( ) ( )
Txt Txt⎡α ⎤ =α ⎡ ⎤
⎣⎦⎣⎦
(thuần nhất)

trong đó x
1
(t), x
2
(t), x(t) là các tín hiệu được phép bất kỳ và α là hằng vô hướng
bất kỳ.
Hai đòi hỏi cộng tính và thuần nhất được gộp lại dưới dạng
( ) ( ) ( ) ( )
11 2 2 1 1 2 2
Txt xt Txt Txt⎡α +α ⎤ = α ⎡ ⎤ + α ⎡ ⎤
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(6.2.2)
với mọi tín hiệu được phép x
1
(t), x
2

xt xs t sds.
∞
−∞
=δ−
∫
(6.2.3)
Thay (6.2.3) vào (6.2.1) và lưu ý rằng ánh xạ L tác động trên miền thời gian,
chúng ta nhận được

() () ( ) () ( )
yt L xs t sds xsL t s ds.
∞∞
−∞ −∞
⎡⎤
=δ−=⎡δ−
⎢⎥
⎤
⎣ ⎦
⎣⎦
∫∫

Giả sử đầu vào được kích thích bởi
( )
tsδ −
trong đó δ(t) là hàm xung Dirac,
ở đầu ra sẽ nhận được:

( ) ( )
ht,s L t s= ⎡δ − ⎤
⎣ ⎦

( ) ( )
0
yt Lxt yt t Lxt t
0
⎡ ⎤
=⎡ ⎤⇒ − = −
⎣⎦
⎣ ⎦
. (6.2.6)
Định lý 6.7.
Cho hệ tuyến tính với đáp ứng xung h(t,s). Hệ là bất biến theo
thời gian khi và chỉ khi xảy ra một trong hai điều kiện sau:
i)
( ) ( )
ht,s ht s.=−
(6.2.7)
ii)
(6.2.8)
() ( ) ()
yt ht sxsds.
∞
−∞
=−
∫
Chứng minh.
Giả sử hệ là tuyến tính và bất biến theo thời gian, và giả sử với
kích thích
(tại t = 0) nhận được đáp ứng h(t). Khi đó với kích thích
()
tδ

()
ht dt
∞
−∞
<∞
∫
, nếu đầu vào x(t) khả tích tuyệt đối thì đầu ra y(t) cũng khả tích
tuyệt đối.
Chứng minh
. Theo định lý Fubini ta có:
() ()()
yt dt ht s xsdtds
∞∞∞
−∞ −∞ −∞
=−
∫∫∫
() ()
xs ds. ht dt .
∞ ∞
−∞ −∞
≤ <∞
∫∫

Lưu ý:
Sử dụng ký hiệu tích phân chập
∗
cũng như tính chất giao hoán của
nó, chúng ta có thể viết lại (6.2.8) dưới dạng tiện lợi sau đây:
() () () ( ) ()
yt ht xt ht sxsds

⎣⎦
∫
(6.2.11)
Để thấy ý nghĩa của hàm truyền, chúng ta xét tín hiệu đầu vào x(t) cũng như
h(t) khả tích tuyệt đối. Theo định lý vừa nêu, y(t) cũng khả tích tuyệt đối. Chúng ta
có thể xét các biến đổi Fourier của hai tín hiệu này, lần lượt ký hiệu là X(ω), Y(ω).
Theo định lý Fubini về đổi thứ tự lấy tích phân nhận được:
() () ( )()
() ( )
jt j t
j(ts) js
Y y t e dt h t s x s ds e dt
xs ht se dt e ds
∞∞∞
−ω − ω
−∞ −∞ −∞
∞∞
−ω− −ω
−∞ −∞
⎡⎤
ω= = −
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦
∫∫∫
∫∫


⎡ ⎤
⎣ ⎦
ω= (6.2.14)
Chứng minh.
Chúng ta đã chứng minh (a) ở trên. Ngoài ra
()
jt js
Le e ht sds.
∞
ωω
−∞
⎡⎤
=−
⎣⎦
∫

Đổi biến ta được t s u; s t u, ds du−= =− =−

()
()
jtu
jt
Le e hudu
∞
ω−
ω
−∞
⎡⎤
=
⎣⎦