BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪNG
4.1. BIẾN ĐỔI HÀM NGẪU NHIÊN BẰNG TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
Giả sử hàm
ϕ
(
t
)

nhận được từ hàm
f
(
t
)

bằng cách thực hiện một số phép toán nào đó và L là ký
hiệu qui ước các phép toán này, tức là L là qui tắc, theo đó hàm
f
(
t
)

biến đổi thành
ϕ
(
t
)

. Trong toán học,
người ta gọi qui tắc, theo nó một tập hàm được ánh xạ sang một tập hợp hàm khác, là toán tử. Ta sẽ nói
rằng, hàm ϕ
(

tuyến tính, nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau:
1.
L
{
cf
(
x
)}

=
cL
{
f
(
x
)}
(4.1.2)
tức là kết quả tác dụng toán tử lên tích của hàm
f
(
t
)
và một thừa số không đổi c bằng tích của thừa số đó
với kết quả tác dụng toán tử đó lên
f
(
t
)
.
2. L


(
t
)}
(4.1.3)
tức là kết quả tác dụng toán tử lên tổng hai hàm bằng tổng kết quả tác dụng toán tử lên mỗi hàm riêng biệt.
Toán tử không thoả mãn các điều kiện trên gọi là toán tử phi tuyến.
Ví dụ, toán tử vi phân là toán tử tuyến tính vì nó thoả mãn các đẳng thức
d

{
cf

(
t
)}

=

c

d

{
f
(
t
)}
dt
1

(
t
)}

.
dt
1 2
dt
1
dt
2
Toán tử lấy tích phân là toán tử tuyến tính. Toán tử nhận được khi tác dụng liên tiếp một số toán tử
tuyến tính cũng là toán tử tuyến tính. Toán tử lấy kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên là toán tử tuyến
tính.
Ví dụ về toán tử phi tuyến là phép toán nâng lên luỹ thừa, toán tử lấy phương sai hàm ngẫu nhiên.
Nếu hàm ngẫu nhiên
Y
(
t
)

là kết quả tác dụng của một toán tử tuyến tính L bất kỳ lên hàm ngẫu nhiên
X
(
t
)

có kỳ vọng toán học
m
x

y
(
t
)

=
L
{
m
x
(
t
)}
R
y
(
t
1

,t
2

)

=
L
(
t
1


,
(4.1.4)
(4.1.5)
(4.1.6)
R
y
(
t
1

,t
2

)

nhận được bằng cách tác
dụng hai lần toán tử L lên hàm
R
x
(
t
1

,t
2

)

, đầu tiên theo đối số thứ nhất t
1

)

, cũng là
toán tử tuyến tính. Vì vậy, có thể đổi chỗ trật tự tác dụng của các toán tử M và L cho nhau, tức là
m
y
(
t
)

=
L
{
M
[
X
(
t
)
]
}

=
L
{
m
x
(
t
)}


)
][
Y
(
t
2

)

−
m
y
(
t
2

)
]
}
=
=
M
[
(
L
(
t
1


{
X
(
t
2

)}
−
L
(
t
21

)
{
m
x
(
t
2

)}
)
]
=
=
M
[
L
(

2

)

−
m
x
(
t
2

)
]

}
=
=
L
(
t
1

)
L
(
t
2

)
{

(
t
2

)
]

]

}
=
=
L
(
t
1

)
L
(
t
2

)
{
R
x
(
t
1

. Trước hết
cần phải tìm hàm tương quan
R
y
(
t
1

,t
2

)

theo công thức (4.1.6), sau đó thế vào nó t
1
= t
2
= t.
Để tìm các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên, là kết quả tác dụng toán tử phi tuyến lên hàm ngẫu
nhiên X
(
t
)
, thì
biết
m
x
(
t
)

{
X
(
t
)}
cũng tuân theo qui luật phân bố chuẩn, bởi vì do tính chất tuyến tính của toán tử L,
hàm Y
(
t
)
có thể chỉ nhận được nhờ tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn hoặc vô hạn các tung độ của
hàm X
(
t
)
. Nhưng từ lý thuyết xác suất ta biết rằng, tổ hợp tuyến tính các đại lượng ngẫu nhiên phân bố
chuẩn phụ thuộc hoặc độc lập đều tuân theo qui luật phân bố chuẩn.
Do vậy, trong trường hợp X
(
t
)
là hàm ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân bố chuẩn, thì Y
(
t
)
cũng
tuân theo qui luật phân bố chuẩn và các đặc trưng
m
y
(

t
)

=



∞
t
≠
0
t
=
0
(4.2.1)
tức là δ
(
t
)
bằng không với mọi giá trị t khác không, còn tại điểm t = 0 thì tăng lên vô hạn.
2) Tích phân hàm delta trên toàn miền vô hạn bằng đơn vị
∞
∫

δ
(
t
)

dt

Hình 4.1
Ta sẽ giảm đại lượng
σ
xuống, khi đó đồ thị của hàm sẽ nhọn hơn (trong nguyên bản viết là đồ thị
giãn ra −ND) (hình 4.1), giá trị cực đại
f
(
0
)

=
1
2
πσ
sẽ tăng, còn miền giá trị khác không của hàm thu
hẹp lại. Lấy giới hạn khi σ
→
0, ta nhận được hàm có tính chất của hàm delta.
Sử dụng khái niệm giới hạn này có thể biểu diễn hàm delta dưới dạng tích phân. Tương ứng với mục
1.12, mật độ phân bố của đại lượng ngẫu nhiên phân bố chuẩn có thể được biểu diễn như là phép biến đổi
ω
2
σ

2
ngược Fourier hàm đặc trưng của nó. Theo (1.12.25), hàm này có dạng
hàm này nên ta có đẳng thức
g
(
ω

e
2

d
ω
(4.2.3)
2
πσ
2
π

−∞
Lấy giới hạn hai vế đẳng thức (4.2.3) khi σ
→
0 ta nhận được biểu diễn tích phân hàm delta
∞
δ
( t )
=

1
∫

e
−
i
ω
t
d
ω

=

τ
(4.2.5)
Đối với mọi hàm
∞
∫

δ
(
t
−

τ
)

dt
=
1
− ∞
f
(
t
)

bất kỳ liên tục tại t =
τ
, ta có đẳng thức
(4.2.6)
∞

Điều này được suy ra một cách đơn giản như sau, mặc dù không thật chặt chẽ: Vì
δ
(
t
−

τ
)
khác 0 chỉ
khi t =
τ
, nên tích phân (4.2.7) khác 0 chỉ trong khoảng
[
t
−

ε
,t
+

ε
]
, với
ε
> 0 bé tuỳ ý. Từ đó:
∞
∫

f
(

(
t
−

τ
)
d
τ
t −ε
∞
=
f
(
t
)

∫

δ
(
t
−

τ
)
d
τ

=
f

)
là kết quả tác dụng toán tử tuyến tính L nào đó lên
hàm delta δ
(
t − τ
)
tại điểm
τ
cố
g
(
t ,
τ
)

=
L
{
δ
(
t
−

τ
)}
.
(4.2.8)
Nh
ờ
hà

g
(
t ,
τ
)

f
(
τ
)

d
τ
a
(4.2.9)
Như vậy, hàm
ϕ
(
t
)

=
L
{
f
(
t
)}
, là kết quả tác
dụng toán tử tuyến tính L lên hàm

)

d
τ
a
g
(
t ,
τ
)

, là kết quả tác dụng
toán tử L lên hàm delta
(4.2.10)
δ
(
t
−

τ
)

, được gọi là
hàm trọng lượng.
(Trong kỹ thuật vô tuyến người ta gọi nó là hàm chuyển xung).
Nế
u
hà
m
f

−
τ. Khi
đó có thể viết
ϕ
(
t
)

=
∞
∫

g
(
t
−

τ
)

f
(
τ
)

d
τ
−

∞

)

và
ϕ
(
t
)
. Khi
f
ϕ
∞
∫

S

f

(
ω
)

e
i
ω
t

d
ω
−


)

e
i
ω
t
d
ω

=
∫

g
(
t
−

τ
)



∫

S
f
(
ω
)


S
ϕ

(
ω
)

e
i
ω
t
d
ω

=
∫

S
f
(
ω
)

e
i
ω
t


∫

(
t
)
∞
G
(
ω
)

=

1
∫

g
(
t
)

e
−
i
ω
t
dt
(4.2.17)
2
π

−

e
i
ω
t
d
ω

=
0
−
∞
Điều này chứng tỏ rằng, biến đổi ngược Fourier hàm
đẳng thức sau cần được thoả mãn
(4.2.18)
S

ϕ

(
ω

)

−

S

f

(


.2
π
G
(
ω
)

. (4.2.19)
∞
Hàm
L
(
ω
)

=
2
π
G
(
ω
)

=
∫

g
(
t

mật độ phổ
S
f
(
ω
)

của hàm
S
ϕ

(
ω
)
, kết quả của việc tác dụng toán tử tuyến tính L lên hàm
f
(
t
)
và hàm truyền L
(
ω
)
của toán tử.
f
(
t
)
, bằng tích
4.3 MẬT ĐỘ PHỔ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH QUÁ TRÌNH NGẪU


=
L
{
X
(
t
)}
. (4.3.1)
Khi đó ta có thể biểu diễn quá trình ngẫu nhiên Y
(
t
)
dưới dạng
∞
Y
(
t
)

=
với
g
(
t
−

τ
)


hàm
không ngẫu nhiên
x
i
(
t
)

, là thể hiện tương ứng của quá trình ngẫu nhiên
X
(
t
)
, và do đó đối với chúng hệ
thức (4.3.2) là đúng, khi đó nó cũng đúng đối với tập tất cả các thể hiện.
Trong trường hợp toán tử tuyến tính L được cho dưới hình thức một bộ biến đổi thực nào đó, thì
nguyên tắc cần thoả mãn là khả năng thực hiện được về mặt vật lý, mà theo đó phản ứng của bộ biến đổi
lên tác dụng lối vào không thể xuất hiện trước khi bắt đầu có tác động xảy ra, tức là hàm trọng lượng
g
(
t − τ
)

cần phải đồng nhất bằng 0 khi t < τ.
Xuất phát từ đó, đối với bộ biến đổi thực, công thức (4.3.2) cần phải viết dưới dạng