KHAI TRIỂN QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ TRƯỜNG NGẪU NHIÊN
THÀNH CÁC THÀNH PHẦN TRỰC GIAO TỰ NHIÊN
8.1 THIẾT LẬP BÀI TOÁN
Trong toán học, phương pháp khai triển các hàm thành chuỗi theo một hệ hàm trực giao chuẩn hoá nào
đó được sử dụng rộng rãi. Hệ hàm
ϕ
1
(
t
)
,
ϕ
2
(
t
)
,...,
ϕ
n
(
t
), ...
được gọi là trực giao chuẩn hoá (trực chuẩn)
trên khoảng
[
a,b
]
(hữu hạn hoặc vô hạn), nếu thoả mãn hệ thức
b

0

được gọi là đầy đủ nếu như một hàm f ( t )
khai triển thành chuỗi Fourier theo nó
bất kỳ cho trên khoảng
[
a,b
]
, có thể
∞
f ( t )
=

∑
a
k
ϕ
k
( t
).
k =1
(8.1.2)
Các hằng số a
k
gọi là các hệ số Fourier và từ (8.1.1), (8.1.2) chúng được xác định theo công thức
b
Tổng
n
số hạng đầu tiên của chuỗi (9.1.2)
a
k
=

n

( t ) = f ( t ) − f
n

( t ).
(8.1.4)
f ( t ) bằng
(8.1.5)
Người ta gọi đại lượng
δ
n
(8.1.4) trên khoảng
[
a,b
]
là sai số bình phương trung bình của phép xấp xỉ hàm
f ( t
)
bằng tổng
δ
n

=
b
∫

[

f ( t )

. Khi đó đại lượng δ
2
2
bằng
b
n
2 2
Thực vậy,
δ
n

=

∫

f
a
( t )dt
−

∑

a
k
. (8.1.7)
k =1

2 2
n
2

b n b
k
=
1

n

n b
=

∫

f
2
( t )dt
−

2
∑

C
k
∫

f ( t )
ϕ
k
( t )dt
+


=

∫
f ( t )dt
−

∑
( C
k
−
a
k
)
∑

a
k
. (8.1.8)
a
k
=
1
n
k =1
Vế phải của (8.1.8) nhận giá trị nhỏ nhất bằng (8.1.7) khi
∑
( C
k
−
a

2
( t )dt
. (8.1.9)
k
=
1
a
b
Từ đó thấy rằng, đối với các hàm có bình phương khả tích, tức là khi
∫

f
2
( t )dt
a
là một số hữu hạn,
∞
thì chuỗi
∑

a
2
hội tụ, hơn nữa, bất đẳng thức sau xảy ra
k =1
∞
b
2
∑

a


a
k
=

∫
f
2
( t )
dt
(8.1.11)
và được gọi là phương trình khép kín.
k
=
1
a
Người ta ứng dụng việc khai triển các hàm theo những hệ hàm trực chuẩn khác nhau: khai triển thành
chuỗi Fourier theo hệ hàm lượng giác, khai triển thành chuỗi Fourier−Bessel theo hệ hàm Bessel, khai triển
theo các đa thức trực giao − Trebưsev, Ermit và các hệ hàm khác.
Phương pháp khai triển theo hệ các hàm trực chuẩn cũng có thể áp dụng vào các hàm ngẫu nhiên.
Giả sử
X ( t
)
là một hàm ngẫu nhiên xác định trên khoảng
[
a,b
]

có kỳ vọng toán học bằng không,
m

X ( t )
dưới dạng chuỗi Fourier
Các hệ số Fourier A
k
được xác định dưới dạng
∞
X ( t )
=

∑

A
k
ϕ
k
( t
)
k =1
(8.1.12)
là những đại lượng
ngẫu nhiên.
b
A
k
=

∫

X
( t )

đầu tiên
của
khai
triển
(8.1.12)
và ta s
xấp xỉ
hàm
ngẫu
nhiên
X
n
(
t
) .
Khi
đó,
sai
số
bình
phươ
ng
trung
bình
của
phép
xấp
xỉ
b
ằ

Đ
lư
g
σ
σ
n

=
M
δ
n

.
(8.1.16)
biểu thị
phương sai sai
số của phép
xấp xỉ đại
lượng ngẫu
nhiên, nó phụ
thuộc vào việc
chọn hệ hàm
{
ϕ
k
(
t
)
}


t
), ..., ϕ
n
(
t
)
cho trước sao cho
đại lượng σ
2
trong (8.1.16) trở
thành
cực tiểu. Những
hàm ϕ
1
( t ), ϕ
2
( t
), ..., ϕ
n

( t ) như
vậy được gọi là
những hàm trực
giao tự nhiên. Đối
với hệ
hàm
được
chọn
như
trên, việc

nhiê
n.
(
Những vấn đề
lý thuyết của việc
khai triển theo các
thành phần trực giao
tự nhiên và các tính
chất của phép khai
triển như vậy đã
được xét trong các
công trình của Kh.
Khoteling [92], A. M.
Obukhov [67, 68],
N. A. Bagrov [35,
36], V. S. Pugatrev
[21].
Từ đẳng thức
(8.1.7), có thể
viết biểu thức
(8.1.15) dưới
dạng
b
n
2
2
2
Sử
dụng
(8.1.

X
2
( t )dt
X ( t )
ϕ
k
( t )dt

a
k
=
1

b
n
=

∫
)
ϕ
k
(
T
giá
tr
này
của
δ
v
à

x
( t )dt
t
1
,t
2
)
ϕ
k
( t
1
)
ϕ
k
(8.1.20)
a
k
Bài
toán
quy
về
tìm
các
hàm
h
a
y
n
ó
i

(8.1.20) trở
thành cực
tiểu,
n

b

b
trở thành cực đại.
∑

∫∫

R
x
( t
1
,t
2
)
ϕ
k
( t
1
)
ϕ
k
( t
2
)

ϕ
( x )
là hàm cần tìm cho trên khoảng
[
a,b
]

.
là một số nào
Ta sẽ xem các hàm K ( x, s ) và ϕ( x ) giới nội và có một số hữu hạn điểm gián đoạn, tại đó tích phân
trong (8.2.1) tồn tại.
Hàm K ( x, s ) gọi là nhân của phương trình tích phân. Nếu thoả mãn hệ thức
K ( x, s )
=
K
*

( s , x )
, (8.2.2)
đối với nhân thực, hoặc tương đương với đẳng thức
thì nhân được gọi là đối xứng.
K ( x, s ) = K ( s , x ) , (8.2.3)
Các giá trị của tham số
λ

, tại đó phương trình tích phân (8.2.1) có nghiệm không đồng nhất bằng
không, được gọi là giá trị riêng của nhân
K ( x, s
)
hay của phương trình (8.2.1). Nếu

(
x
) được gọi là hàm riêng ứng với giá trị riêng λ
0
tích phân.
của nhân
K ( x, s
)
hay của phương trình
Có thể chỉ ra rằng tất cả các giá trị riêng của nhân đối xứng là những số thực, và tất cả các hàm
riêng cũng có thể coi là những hàm thực.
Các hàm riêng của nhân đối xứng, ứng với những giá trị riêng khác nhau, trực giao với nhau. Có thể
làm cho các hàm riêng trở thành các hàm chuẩn hoá.
Ta quy ước liệt kê dãy các giá trị riêng theo thứ tự giá trị tuyệt đối giảm dần. Như vậy, nếu
λ
1
, λ
2
, ...,λ
n
, ...
(với
λ
1
≥

λ

2
≥

(8.2.6)
f ( x ) bất kỳ
trong đó
b
f ( x )
=

∫

K ( x, s )h( s )ds
, (8.2.7)
a
h( s )
là một hàm giới nội nào đó có số hữu hạn điểm gián đoạn và khai triển được thành chuỗi
Fourier hội tụ tuyệt đối và đều theo các hàm riêng của nhân. Do đó nếu viết chuỗi Fourier của hàm
h( x )
theo các hàm riêng (8.2.6) của nhân
K ( x, s )
dưới dạng
thì
hàm
f ( x ) (8.2.7) được khai triển thành
chuỗi
∞
h( x )
~
∑

h
k

p( x ) và q( x ) là hai hàm giới nội có số hữu hạn điểm gián đoạn trên khoảng [a, b] .
Lập tích
b

b
áp dụng định lý Gilbert
-
Smidth, ta
được
∫∫

K ( x,s ) p( x )q( s
)dxds
a

a
(8.2.10)
b
∞
trong đó
q
k
∫

K ( x,s )q( s )ds
=

∑

λ

b

b
∞
∫

∫

K ( x,s ) p( x )q( s )dxds
=

∑

λ

k
p
k
q
k
.
(8.2.12)
Đặc biệt
khi
a
a
p
(
x


(8.2.13) ta
có
b
∞
2
∫
.
(8.2.14)
a
T
h
e
o
p
h
ư
ơ
n
g
tr
ì
n
h
k
h
é
p
kín
(8.
1.1

1
.
(8.2.16)
T
đó,
đối
với
hàm
chuẩ
n
hoá
p
b

b
∫∫

K
p( x
dxds
a

a
(
k
Trong (8.2.17) đẳng thức
sẽ xảy ra khi
ϕ
1
( x ).

≥

λ

2
≥
...
≥

λ

n

≥
...
)
với
ϕ
1
(
x
)
và lấy tích phân theo x, do tính chuẩn hoá của
hàm
ϕ
1
(
x
)
, ta nhận được:

a

a
a
Như vậy, định lý sau đây là đúng: Trên tập
hợp các hàm chuẩn hoá
b

b
p( x ) , tích
phân
∫∫

K ( x,s ) p( x ) p( s )dxds
có
cực đại bằng
λ
1
a

a
k
hi
p(
x
) = ϕ
1
(
x
) .


K ( x,s ) p( x ) p( s )
dxds
=

∑

λ

k
p
k
.
(8.2.20)
Từ
đó
a

a
k
=

m
b

b
Trong (8.2.21) đẳng thức
đạt được khi
∫∫


K ( x,
s ) ,
tích
phân
∫∫

K (
x, s
) p(
x )
p( s
)
dxds
có
cực
đại
bằng
a

λ
m

,
cự
c
đạ
i
nà
y
đạ

giờ
trở
lại
bài
toán
tìm
hệ
các
hàm
{
ϕ
k
(
x )
}

làm
cho
tổng
(8.1.2
1) trở
thành
cực
đại.
Ta
thấy
rằng trên c