Phần II
QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Chương 5
NHỮNG KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT

§5.1. MỞ ĐẦU
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu những khái niệm căn bản nhất về
quá trình ngẫu nhiên (QTNN). Khởi đầu, lý thuyết QTNN được phát triển gắn với
dao động và nhiễu trong những hệ vật lý. QTNN đưa ra những mô hình hữu hiệu
để nghiên cứu các lĩnh vực khác nhau như vật lý thống kê, thông tin liên lạc, phân
tích chuỗi thời gian, phân tích hoạt động mạng máy tính và khoa học quản lý.
5.1.1. Các định nghĩa
*Giả sử
I là tập vô hạn nào đó còn
( )
S, Pℑ,
là không gian xác suất cơ bản.
Họ các biến ngẫu nhiên (BNN)
{ }
t
X,t I∈
cùng xác định trên
( )
S, Pℑ,
được gọi là
hàm ngẫu nhiên.
Tập chỉ số I được gọi là tập xác định; tập giá trị E của các BNN
được
gọi là tập giá trị của hàm ngẫu nhiên.

, chúng ta gọi
R
{ }
t
X,t I∈ là QTNN thời
gian liên tục, đơn giản là QTNN.
Đối với các trường hợp khác, ví dụ
k
I = R ,
{ }
t
X,t I∈ được gọi là trường
ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ nghiên cứu chủ yếu QTNN thời gian rời rạc hoặc thời
gian liên tục. Trong quyển sách này nếu không nói gì thêm, QTNN xem xét là
QTNN thực, ở đó tập giá trị là tập con của . Khi tập giá trị là tập con của ,
chúng ta có QTNN phức, chúng ta sẽ nói rõ QT là phức.
R C
*Thực chất, chúng ta đang đề cập đến hàm 2 biến X {X(t, ), t I, S}
= ς∈ς∈
sao cho:
Khi
cố định, là một BNN;
tI∈
X(t, )ς

32

Khi cố định, là một hàm số thông thường trên I, được gọi là
một quỹ đạo (tên khác: thể hiện, hàm chọn) của QT ứng với kết cục
của thí

ζ∈
). Chúng ta cũng hay ký
hiệu QT bởi {{X(t, ), t I, S}ς∈ς∈ X(t), t I}, {X(t)}
∈ hay đơn giản là X.
5.1.2. Phân loại sơ bộ.
Tùy theo tập chỉ số I và không gian giá trị E (trong Vật lý, E được gọi là
không gian trạng thái), người ta phân QTNN làm bốn loại sau đây:
i) I liên tục, E liên tục: QTNN với thời gian liên tục và trạng thái liên tục
(tên khác: QTNN liên tục);
ii) I liên tục, E rời rạc: QTNN với thời gian liên tục và trạng thái rời rạc (tên
khác: QTNN rời rạc);
iii) I rời rạc, E liên tục: QTNN với thời gian rời rạc và trạng thái liên tục (tên
khác: dãy ng
ẫu nhiên liên tục ).
iv) I rời rạc, E rời rạc: QTNN với thời gian rời rạc và trạng thái rời rạc (tên
khác: dãy ngẫu nhiên rời rạc).
Theo các tính chất của quỹ đạo, người ta có thể phân loại QTNN một cách tỉ
mỉ hơn. Chẳng hạn, khi I là khoảng suy rộng nào đó của
R
, ta nói
{ }
t
X,t I∈ là:
* QT liên tục theo quỹ đạo nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm liên tục;
* QT bước nhảy nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm bậc thang…
Lưu ý rằng trong cuốn sách này, thuật ngữ “hầu hết” hay “hầu chắc chắn”
được sử dụng với ý nghĩa rằng, các tính chất kể đến xảy ra với xác suất 1.
Hình 5.1(a) mô tả một quỹ đạo điển hình c
ủa QTNN liên tục {X(t)}. Hình
5.1(b) mô tả dãy ngẫu nhiên có được bằng cách lấy mẫu QT {X(t)} theo chu kỳ T

(a)
(c)
(d)
(b)
Hình 5.1. Các dạng quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên
5.1.3. Ví dụ về QTNN
Ví dụ 5.1. Điện tâm đồ
Điện tâm đồ là “bức tranh” của tim người thực hiện bằng sóng điện trường
hay siêu âm). Có nhiều “nhiễu” trên những bức tranh này bởi vì sóng điện trường
(hay siêu âm) được phản xạ từ nhiều nơi bên trong lồng ngực.
Ví dụ 5.2.
Đầu ra của kênh thông tin thường bị méo do nhiễu điện từ. Lưu ý
rằng cả tín hiệu đầu vào cũng như tín hiệu điều chế đều có không gian trạng thái
gián đoạn, tín hiệu đầu ra lại có không gian trạng thái liên tục. Cả ba tín hiệu có
thời gian liên tục.
Ví dụ 5.3.

Tín hiệu âm thanh
. Tín hiệu âm thanh có thể được xem là ngẫu
nhiên từ chỗ dãy các âm lượng tạo nên tín hiệu là bất định. Cả không gian trạng
thái và thời gian đều liên tục.
Ví dụ 5.4.

Tín hiệu FM với nhiễu.

[ ]
UU0;1: là biến ngẫu nhiên có phân
bố đều trên [0;1]. Xét quá trình
( ) ( ) ( )
Xt, U sin2 t,tζ = ζ π∈R .
Mỗi hàm mẫu của nó là một hàm hình sin theo thời gian với biên độ ngẫu
nhiên.
Ví dụ 5.6.

Dãy nhiễu trắng
. Dãy các BNN {X(n)} được gọi là dãy nhiễu
trắng nếu nó quy tâm (kỳ vọng không), cùng phương sai và không tương quan.
Một quỹ đạo điển hình của dãy nhiễu trắng với
2
1σ = thể hiện ở Hình 5.2. Dãy
nhiễu trắng và QTNN nhiễu trắng có vai trò quan trọng trong nghiên cứu QTNN.

Hình 5.2. Một thể hiện của dãy nhiễu trắng Gauss với phương sai 1.
5.1.4. Họ các phân bố hữu hạn chiều
Giả sử
( )
{ }
Xt,t I∈
là QTNN. Đối với thời điểm
1
tI∈ cố định, X(t
1
) là
biến ngẫu nhiên với hàm phân bố F
X

Rõ ràng, họ các hàm phân bố hữu hạn chiều có hai tính chất sau đây:
i) Tính chất đối xứng: Hàm phân bố hữu hạn chiều không thay đổi nếu ta
hoán vị bộ chỉ số (1, 2,…,n). Ví dụ, khi hoán vị hai chỉ số đầu chúng ta có:
( )
X12 n12 n
F x ,x ,..., x ; t ,t ,...,t =
( )
X 213 n213 n
F x ,x ,x ,...,x ;t ,t ,t ,..., t . (5.1.3)
ii) Tính nhất quán theo nghĩa
( ) ( )
X1 n1 n X1 n11 n1
x
n
lim F x ,..., x ;t ,...,t F x ,...,x ;t ,..., t
− −
→∞
= . (5.1.4)
Ngược lại, cho họ hàm phân bố hữu hạn chiều thoả mãn hai tính chất nêu
trên thì tồn tại QTNN
( )
{ }
Xt,t T∈ với họ hàm phân bố hữu hạn chiều đã cho.
Đó chính là nội dung của định lý tồn tại của Kolmogorov (người Nga).
Rất nhiều tính chất quan trọng của QTNN được quy định bởi tính chất của
các hàm phân bố hữu hạn chiều của nó, trong đó quan trọng nhất là hàm phân bố
một chiều F(x; t) và hàm phân bố hai chiều F(x
1
, x
2

tI,Xt∈ là biến ngẫu nhiên khả tích cấp p, tức là
()
p
EX t < ∞ .
Từ bất đẳng thức Liapunov (xem [4 ], Phần III tr 127)
()
(
)
()
(
)
1/q 1/p
qp
EX t EX t ,0 q p≤ << (5.2.1)
suy ra nếu QT là cấp p thì nó cũng là cấp q với 0 < q < p.
Trường hợp quan trọng nhất khi p = 2, lúc đó ta có QT cấp hai.
Đối với QT cấp hai
( )
{ }
XXt,tI=∈đặt

36

( )
() ()()
()
X
X
t E (X(t));
Rt,sEXtXs,t,sI

qua hàm tự tương quan:
() () ( ) ( ) ( )
2
XXX
E X t X s R t,t 2R t,s R s,s⎡−⎤= − +
⎣⎦
. (5.2.4)
Trong kỹ thuật, thường thì
( )
{ }
Xt là dạng sóng theo thời gian của điện áp
hay dòng trên kháng 1 ôm. Công suất của QT tại thời điểm t là X
2
(t) và công suất
trung bình tại thời điểm này là E(X
2
(t)),

ký

hiệu bởi P
X
(t). Như vậy, trong biểu
thức (5.2.2) cho t = s ta nhận được công suất trung bình

( ) ( ) ( )
2
XX
Pt E[Xt]R t,t== (5.2.5)
và hàm phương sai

(t)µ
X
R (t,s)
Đối với hai QTNN cùng xác định trên I và không gian xác suất
( )
S, Pℑ
,
, đặt
( ) ( ) ( )
XY
Rt,sE[XtYs= ], (5.2.8)
( )
XY X Y
C t,s E[(X(t) (t))(Y(s) (s))]; t,s I=−µ −µ ∈, (5.2.9)

37

XY
XY
XY XY
C(t,s)
(t,s)
C(t,t)C(s,s)
ρ=
(5.2.10)
và được gọi lần lượt là hàm tương quan chéo, hàm hiệp phương sai chéo và hệ số
tương quan chéo của hai quá trình X và Y.
Dễ thấy quan hệ (5.2.3) có thể mở rộng cho hàm hiệp phương sai chéo:
( ) ( ) ( ) ( )
XY XY X Y

XX
t3;Rt,s94e
− −
µ= =+ .
Hãy tìm kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai của các biến ngẫu nhiên
Z = X(5); W = X(8).
Ta có E[Z] = E[W] = 3

( ) ( )
()
22
XX
X
E[Z ] R 5,5 13; E[W ] R 8,8 13;
E[Z W] R 5,8 11,195.
== =
==
=

Vậy D[Z] = D[W] = 13 -
= 4
2
3
Cov(Z, W) = E[Z W] – E[Z]E[W] = 2,195.
5.2.2. Quá trình số gia độc lập
Định nghĩa.
QTNN
( )
{ }
XXt,tI=∈được gọi là QT số gia độc lập nếu

Cho
{ }
n
,n 0,1,...ξ= là dãy BNN độc lập. Dãy tổng riêng {X
n
}
001012012
X ; X ; X ,...=ξ =ξ +ξ =ξ +ξ +ξ
lập thành dãy số gia độc lập (hãy chứng minh !).
Định nghĩa
. Cho
{ }
t
XX,tI=∈là QT cấp hai:
()
2
EXt t I.<∞∀ ∈ Ta
nói X là QT số gia không tương quan nếu hai số gia của nó trên những khoảng thời
gian rời nhau là những BNN không tương quan.
Cụ thể là, với t
0
, t
1
, t
2
, t
3
bất kỳ trên I sao cho t
0
< t

K t h,...,t h I= ++⊂, các VTNN
1n
(X(t ),...,X(t )) và
1n
(X(t h),...,X(t h))+ +
có cùng luật phân bố.
Nói ngắn gọn, đó là quá trình có họ phân bố hữu hạn chiều bất biến với phép
dịch chuyển thời gian.
Thường người ta xét trường hợp I
=
R
; cũng có thể xét các trường hợp
khác, ví dụ
[
)
I0;=+∞ hay
[ ]
Ia;b= .
Thực tế, việc kiểm tra điều kiện dừng nói trên rất khó khăn. Tuy nhiên, lại
có thể phát biểu một loạt điều kiện cần (nhưng không đủ) để một quá trình (QT) là
dừng theo nghĩa hẹp. Nếu vi phạm dù 1 trong các điều kiện này thì khẳng định
rằng QT không là dừng theo nghĩa hẹp.
* Cho n = 1. Chúng ta nhận được
( ) ( )
XX
F x,t F x,t h , x , t,h : t,t h I=+∀∈∀+
R
∈.
Như vậy, đối với QT dừng theo nghĩa hẹp hàm phân bố một chiều không phụ
thuộc vào thời gian.

21
ttτ =−.
Nếu các hàm phân bố có mật độ thì điều kiện này tương đương với
( ) ( )
X1212 X122 1
fx,x;t,t fx,x;t t= − .
* Tương tự, hàm tự tương quan R
X
(t,s) và hàm tự hiệp phương sai C
X
(t,s)
chỉ phụ thuộc vào hiệu thời gian:
( ) ( ) ( ) ( )
XX
Rt,sE[XtXs]Rts==−;
( ) ( ) ( )
( )
( )
XX
Ct,sCovXt,Xs Cts==.−
Thực vậy,
( ) ( ) ( )
X
22
Rt,s xydFx,y;t,s xydFx,y;ts==
∫∫ ∫∫
RR
−
chỉ phụ thuộc vào hiệu t - s. Tương tự cho hàm
( )

( )
X
R τ là hàm nào đó của biến
τ
.

40

Để tiện lợi, QT dừng theo nghĩa rộng được gọi tắt là QT dừng.
Lưu ý rằng nếu xảy ra (i) thì điều kiện (ii) tương đương với
ii’)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
XXXX
Ct,sE[(Xt t)(Xs s)C , ts
= −µ −µ = τ τ= −

là hàm chỉ phụ thuộc vào hiệu t – s.
Người ta cũng gọi hàm
( )
X
R
τ
,
( )
X
C
τ
lần lượt là hàm tự tương quan và tự
hiệp phương sai của quá trình dừng X.
Các điều kiện (ii) và (ii’) được viết dưới dạng tiện lợi sau đây:

Cho
( )
X
R τ là hàm tự tương quan của QT dừng nhận giá trị
thực
( )
{ }
Xt,t∈
R
. Khi đó:
i)
( )
X
R τ là hàm chẵn, tức là
( ) ( )
XX
RR,−τ= τ ∀τ∈
R
.
ii) Hàm
( )
X
R τ đạt cực đại tại
0τ =
:
( ) ( )
XX
RR0,τ≤ ∀τ∈
R
.

() ()
(
)
()
XX
1/2
22
X
RR,0EXX0
EX EX 0 R 0.
τ= τ = τ
≤τ =

iii)

() ()
()
2
nn
ii ij i j
i1 i,j1
0E bXt bbE[XtXt]
==
⎛⎞
≤=
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
=


là hàm xác định không âm.
Kiểm tra tính xác định không âm của một hàm số cho trước là điều khá khó
khăn. Định lý sau đây (xem [12], tr 404) nêu lên một điều kiện đủ để một hàm cho
trước là hàm tự tương quan.

Định lý 5.3.(Polya).
Hàm chẵn
( )
R,
τ τ∈
R
là hàm tự tương quan của một
QTNN thực, dừng nào đó nếu thoả mãn hai điều kiện sau đây:
i)
( )
R
τ
là hàm lồi trên
( )
0;
+∞
;
ii)
( )
lim R c ;
τ→∞
τ= c - hữu hạn.
Ví dụ 5.10.
Xét dao động điều hoà với biên độ và tần số hằng số, pha ngẫu nhiên:


2
⎡ ⎤
+τ = ω τ +Θ ω Θ
⎣ ⎦
= ⎡ ωτ − ω Θ + ωτ ⎤
⎣ ⎦
=ωτ

là hàm số chỉ phụ thuộc vào τ.
Vậy X dừng. Hơn nữa chứng minh được (xem [15] tr 90 -91):
Cho ω là hằng số, A và
Θ là hai BNN độc lập;
{ }
X(t),t∈
R
xác định ở Ví
dụ 5.11 là QT dừng mạnh khi và chỉ khi
Θ có phân bố đều trên [0;2π].
Ví dụ 5.11.
Xét sóng sin ngẫu nhiên
( ) ( )
Xt Asin2t, t= π∈
R

trong đó A là biến ngẫu nhiên có phân bố đều trên [0;1]. Dễ thấy
()
X
1
tsin2tcon
2

.
2
0
E[X (t t ) X(t)] 0, t+− = ∀∈
R
Ta gọi t
0
là MS - chu kỳ của quá trình.
Từ định nghĩa suy ra ngay rằng, với xác suất 1,với mọi t
∈ ¡
0
X(t t ) X(t)+ = .
Lưu ý:
Không suy ra
( )
( )
{ }
0
P :Xt t, Xt, , t 1ζ + ζ = ζ ∀=.
Định lý 5.4.
Nếu đối với dừng
( )
{ }
Xt xảy ra đẳng thức
( )
( )
XX
R0 Rt=
0



Các dạnh điển hình của hàm tự tương quan của QT dừng
Đối với QT dừng
( )
{ }
Xt , hệ số tương quan (5.2.7) trở thành
()
( )
()
X
X
X
C
,
C0
τ
ρτ= τ∈
R
. (5.2.15)
c)Dừng đồng thời.
Định nghĩa.
Ta nói hai QT
{ }
X(t)},{Y(t) là dừng đồng thời nếu mỗi QT
{ }
X(t) ,
{ }
Y(t) là dừng, hơn nữa hàm tương quan chéo của chúng chỉ phụ thuộc
vào hiệu thời gian:


(ii) R ( ) R (0) R (0) ;τ≤
(iii)
XY
XY
R(0) R(0)
R()
2
.
+
τ≤
Chứng minh.
Tính chất (i) trực tiếp suy từ định nghĩa. Từ bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz và từ tính dừng suy ra

(
22 2
E[X(t )Y(t)]) E[X (t )]E[Y (t)]+τ ≤ +τ

==
22
XY
E[X (0)].E[Y (0)] R (0) R (0),
chúng ta nhận được (ii). Tính chất (iii) suy ra từ (ii) và bất đẳng thực Cauchy:
XY
XY
R (0) R (0)
R (0) R (0) .
2
+
≤ 

44

Chứng minh.
Ta có
E[X(t ) Y(t )][X(t) Y(t)]+τ + +τ +
= E[X(t )X(t)] E[Y(t )Y(t)] E[X(t )Y(t)] E[Y(t )X(t)]
+ τ + +τ + +τ + +τ
=
X Y XY YX
R()R()R ()R ().τ +τ+τ+τ 
5.2.4. Quá trình Gauss
QTNN
( )
{ }
Xt,t I∈ được gọi là quá trình Gauss (hay QT chuẩn) nếu các
phân bố hữu hạn chiều cuả nó là chuẩn. Nói cách khác, đối với mỗi tập con hữu
hạn J = {t
1
,...,t
n
} ⊂ I, véc tơ ngẫu nhiên có phân bố chuẩn.
1
(X(t ),...,X(t ))
n
∈
Theo định nghĩa của VTNN chuẩn, điều kiện này chính là:
1n
a ,...,a∀
R
, BNN

⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
g
( )
1n
C Cov X ,...,X .=
Hàm mật độ đồng thời của các biến ngẫu nhiên
cho bởi
1
X ,...X
n

()
()
()(
T
1
1n
1
xm C xm
2
X ,...,X 1 n
n/2
n/2
1
f x ,...,x e
2detC


45
⇓§5.3. TÍNH CHẤT ERGODIC VÀ TRUNG BÌNH THỜI GIAN

5.3.1. Giới thiệu
Ergodic là một tính chất tinh vi, thoạt đầu khó có thể chấp nhận được nó, thế
nhưng lại rất hữu ích và được sử dụng rộng rãi. Khái niệm này được định nghĩa
theo nhiều dạng khác nhau: theo nghĩa bình phương trung bình hay theo nghĩa hầu
chắc chắn; theo kỳ vọng, theo hiệp phương sai hay theo mô men cấp p nào đó; áp
dụng cho quá trình dừng hay cho quá trình bất kỳ. Những định lý ergodic
được
phát hiện đầu tiên vào nửa đầu thế kỷ XX bởi J.Von.Neumann, B.Birkoff (Mĩ),
A.Ia. Khinchin (Nga).
Nói một cách ngắn gọn, tính chất ergodic đảm bảo rằng:
Nếu một tham số thống kê nào đó của QT được tính bằng kỳ vọng, tức là
trung bình tổng thể thì tham số đó cũng có thể được tính theo trung bình thời gian
đối với một quỹ đạo đơn lẻ.
Để hình dung ra tính ergodic, chúng ta xét ví dụ sau đây. Sắp xếp thờ
i gian
trong ngày theo phút ta có thể coi
{ }
t I 0,00; 0,01;...;24,00∈ =
. Giả sử ở phút thứ
t, số gói tin chuyển qua một nút nào đó của một mạng máy tính là N(t). Số gói tin
trung bình chuyển qua nút lúc 10 giờ là E[N(10,00)].
Để tính giá trị này, chúng ta ghi lại kết quả quan sát của N ngày, ví như N
= 100. Theo luật mạnh số lớn ta có thể xấp xỉ

5.3.2. Ergodic kỳ vọng
Định nghĩa
. Đối với hàm số f(t),
t ∈ ¡
cho trước, trung bình thời gian của
f(t) xác định bởi

T
T
T
1
lim f (t)dt
2T
→+∞
−
∫
, (5.3.1)
và được ký hiệu là A[ f(t)]. Toán tử A[ . ] được gọi là toán tử trung bình thời gian.
Trường hợp {f(t)} là QTNN, giới hạn đưa ra được hiểu theo bình phương
trung bình.
Định nghĩa
. QTNN dừng nhận giá trị thực
( )
{ }
Xt được gọi là ergodic kỳ
vọng nếu kỳ vọng
µ
của QT bằng trung bình thời gian của một quỹ đạo bất kỳ:
() ()
T

hạn
là giá trị trung bình của quỹ đạo trên toàn trục số. Đối với QTNN
tổng quát, giới hạn đã nêu là một BNN, tức là phụ thuộc vào
T→∞
T
t
lim X
→∞
Sζ∈ . Tuy nhiên:
Đối với QT ergodic, chúng ta có thể lấy trung bình thời gian của một quỹ
đạo bất kỳ làm trung bình tổng thể của quá trình :
E[X(t)] A[X(t)]
=
.
Định lý 5.8.
Giả sử
( )
{ }
X t là QTNN dừng, nhận giá trị thực với hàm trung
bình
và hàm tự hiệp phương sai
µ
( )
X
C
τ
. Điều kiện cần và đủ để
( )
{ }
Xt là QT

Từ đó,
( )
T
XT
→µ →∞
theo bình phương trung bình khi và chỉ khi
( )
2
TT
D[X ] 0 T
σ= → →∞
. Lại áp dụng tính chất của tích phân và tính dừng của
( )
{ }
X t chúng ta đi tới

47

()
()
()
()
TT
2
TT
TT
11
D[X ] E X t dt X s ds
2T 2T
−−

4T
−−
=−
∫∫
s
s
.
Đối với tích phân kép cuối cùng, bằng cách đổi biến
uts,vt= −=+
ta đi tới:

()
2T
X
2T
1
1C
2T 2T
−
⎛⎞τ
d
− ττ
⎜⎟
⎝⎠
∫
.
(Nếu các bạn khó khăn trong việc xác định cận của biến tích phân u, v, trước

∫
. (5.3.5)
Từ đó nhận được kết luận của định lý. 
Nhận xét.
Theo quan điểm của thống kê toán, X
T
chính là một ước lượng
không chệch và vững của kỳ vọng
µ . Hơn nữa, theo bất đẳng thức Chebychev
(3.5.1), phương sai tính theo (5.3.5) còn cho phép chúng ta tìm khoảng tin cậy
cho ước lượng này. Chẳng hạn, độ tin cậy để
2
T
σ
( )
TTTT
X 4,47 ; X 4,47µ∈ − σ + σ
( )
TTTT
3;X3)(Xµ∈−σ +σ
T

là lớn hơn 95% (lớn hơn 8/9).
Như vậy khi
là một ước lượng thoả đánh của kỳ vọng µ .
T
,Xσ<<µ
Thực ra, điều kiện ergodic (5.3.2) được đảm bảo bởi điều kiện khá đơn giản
theo định lý sau đây. (Có thể xem chứng minh trong [ 8 ], trang 430).
Định lý 5.9 (Định lý Slutsky).

∞
ττ
∫
d
( )
{ }
X t là ergodic kỳ vọng.
b) Nếu
( ) ( )
2
XX
R τ→µ τ→∞
hay tương đương
( ) ( )
X
C0τ→ τ→∞
thì
( )
{ }
X t là QT ergodic kỳ vọng.
Chứng minh.
a) là hiển nhiên. Để chứng minh b) giả sử 0ε > cho trước. Khi đó tìm được
T
0
> 0 để
( )
Cτ<ε/2 với . Từ đó
0
Tτ>


với T đủ lớn. 
Không phải mọi QT dừng đều là ergodic kỳ vọng, xét ví dụ sau đây.

Ví dụ 5.12.
Xét
( )
{ }
Xt với
( )
Xt U= , trong đó U là biến ngẫu nhiên với
E(U) = m; 0 < D[U] < + ∞.
Dễ thấy
( )
{ }
X t là QT dừng, các quỹ đạo đều là những đường thẳng nằm
ngang,
( ) ( )
t
XUζ = ζ với mọi Sζ ∈ .
Bởi vì D[U] > 0 nên biến cố:
( )
{ }
:U mζζ≠ có xác suất dương, và do đó
( ) ( )
T
T
lim X U( ) m E X t
→∞
ζ = ζ ≠= .
Vậy

{ }
X t là ergodie kỳ vọng. Ngoài ra, theo (5.3.5)
chúng ta tính được phương sai
2
T
σ như sau:
2T
2c
TT
0
1
D[X ] 1 q e d
T2T
−τ
τ
⎛⎞
σ= = − τ
⎜⎟
⎝⎠
∫
()
2cT
q1e
10
cT 2cT
−
⎛⎞
−
T
= −→

Định lý 5.10.
Cho dãy ngẫu nhiên dừng nhận giá trị thực
( )
{ }
Xn với hàm tự
tương quan C
X
(n). Dãy
( )
{ }
X n là ergodic kỳ vọng khi và chỉ khi phương sai
2
N
σ
của X
N
()
N
2
NN X
nN
n
1
D[X ] 1 C n
2N 1 2N 1
=−
⎛⎞
σ= = −
⎜⎟
++

N
N
nN
1
XX
2N 1
=−
=
+
∑
n

sẽ là ước lượng không chệch và vững của kỳ vọng
µ
với phương sai được tính
theo (5.3.7).
Ví dụ 5.14.
Xét dãy dừng
( )
{ }
Xn với
()
n
X
Cn Pa= , (0 < a <1). Khi đó

()
N
nn
2

không phụ thuộc vào thời gian và được tính bởi
( )
22
V D[X t ] E[(X(t) ) ] E[X (t)]==−µ=
2
−µ.
a) Trường hợp kỳ vọng đã biết

50
Định nghĩa.
Quá trình dừng nhận giá trị thực
( )
{ }
Xt được gọi là ergodic
phương sai nếu phương sai V của nó bằng phương sai theo thời gian của một quỹ

đạo bất kỳ, cụ thể là:
()
()
()
()
T
22
T
T
1
VE[Xt ] lim Xt dt
2T
→+∞
−

Xt cũng chính là điều kiện ergodic kỳ vọng của QT
()
(
{
)
}
2
Xt−µ , đó là
()
()
T
2
X
T
0
1
lim C d 0
T
−µ
→+∞
τ τ=
∫
. Bằng cách khai triển dễ thấy
2
22
(X )
C ( ) E[(X(t+ )- ) (X(t)- ) ] -
−µ
τ= τ µ µ σ
4

()
T
2
X
T
0
1
lim C d 0.
T
→+∞
ττ=
∫
(5.3.11)
Khi đó,
( )
{ }
Xt cũng là quá trình ergodic kỳ vọng.
Chứng minh.
Đối với quá trình Gauss, áp dụng hệ thức (1.31) ta có
2
22
X
(X )
C ( ) E[(X(t+ )- ) (X(t)- ) ] -
−µ
τ= τ µ µ σ
4
X
T;T− của bình phương độ lệch
()
(
2
Xt− µ xác định bởi
()
()
T
2
T
T
1
VXt
2T
−
=−
∫
dt
µ
sẽ là ước lượng không chệch cho phương sai V = D[X(t)] = C
X
(0). Phương sai của
ước lượng này cho bởi (5.3.5), trong đó C
X
(τ) cần phải thay thế bởi
()
( )
2
X
C

là một ước lượng chệch của phương
sai V. Tuy nhiên, khi T lớn, độ chệch có thể bỏ qua. Hơn thế, phương sai
có
thể được xấp xỉ bởi phương sai của V
T
ˆ
V
T
ˆ
V
T
ˆ
V
T
– là ước lượng của V khi đã biết. Trong
nhiều trường hợp, sai số bình phương trung bình
là nhỏ hơn
với giá trị T lớn. Từ đó, dùng
để ước lượng V có thể sẽ tốt hơn
dùng V
µ
2
T
ˆ
E[(V V) ]−
2
T
E[(V V) ]−
T
ˆ

cố định, quá trình tích
λ∈
R
( ) ( )
{ }
Xt Xt+λ có thể coi là dừng với
kỳ vọng
( )
X
C λ . Áp dụng các kết quả ở mục 5.3.2 để ước lượng
( )
X
C λ , chúng ta
có thể dùng trung bình thời gian
()
()
()
T
X
T
T
1
CZ
2T
−
λ=
∫
tdt,
(5.3.13)
với

0
1
lim C d 0.
T
→+∞
τ τ=
∫
(5.3.14)
Nếu bây giờ giả thiết thêm
( )
{ }
X t là quá trinh Gauss thì
( ) ( ) ( ) ( )
2
ZX X X
CC C Cτ = λ+τ λ−τ + τ .
Trong trường hợp này (5.3.5) cho ta
()
()
()
()() ()
T
2
XXXX
T
0
2
DC C C C d
T
⎡ ⎤

ergodic hiệp phương sai chéo nếu từng QT là ergodic tự hiệp phương sai, hơn nữa
hiệp phương sai của chúng
( ) ( )
( )
( )
( )
XY X Y
CE[Xt+ Ytτ= τ−µ −µ ]
có thể được tính thông qua trung bình thời gian

() ()
()
()
(
T
XY X Y
T
T
1
ClimXt Yt
2T
→+∞
−
τ = +τ −µ −µ
∫
)
dt
, (5.3.15)
giới hạn theo bình phương trung bình.
Giống như đã tiến hành ở mục c), bằng cách quy tâm hoá, chúng ta có thể

( )
X
C τ phải được thay bởi
( )
XY
C τ .
Nếu cả ba hàm
( )
X
C,τ
( ) ( )
YXY
C,Cτ τ đều dần đến 0 khi thì τ→∞
( )
{ }
Xt và
( )
{ }
Y t là ergodic hiệp phương sai chéo.
(
☼
)

5.3.4. Các loại ergodic khác
Xét một quỹ đạo
{ }
X(t, ),t Rζ ∈ của QT X. Với x ∈ ¡ cố định, hàm số
1X(t,)
u(x X(t, ))
0X(t,)

54

Hình 5.5.Những thời đoạn trên [-T; T] ở đó quỹ đạo nằm dưới ngưỡng x.
-T
T
X(t)
t
3
x∆
2
x∆
1
x∆

Cho , chúng ta nhận được trung bình thời gian của hàm T →+∞
u(t X(t, ))−
ζ :
[]
T
Au(t X(t, )) lim
→+∞
−ζ=
T
T

X
f (x) A[ (x -X(t, ))], x R,=δ ζ ∀∈ ∀ζ ∈Ω

thì
{ }
X(t) được gọi là ergodic hàm mật độ.
* Nếu với k > 0,
kk
E(X (t)) A[X (t, )],=ζ∀ζ ∈Ω
thì
{ }
X(t) được gọi là QT ergodic mô men cấp k.
Vấn đề trung bình thời gian và ergodic
Một cách đầy đủ nhất:
Nếu tất cả các đặc trưng xác suất của QT tính thông qua trung bình tổng thể
đều có thể được tính thông qua trung bình thời gian của các đặc trung tương ứng
thì QT đó được gọi là QT ergodic.
Người ta cũng tìm được các điều kiện (gọi là điều kiện egrodic), chủ yếu
với quá trình dừng để có được tính chất đó.
Tính ergodic là một dạng rất hạn chế củ
a tính dừng và thật là khó khăn để
kiểm tra xem trong tình huống vật lý cụ thể nào đó, giả thiết ergodic thoả đáng hay
không. Dù sao, chúng ta vẫn thường giả thiết QT là ergodic để đơn giản hoá bài
toán. Trong thế giới thực, chúng ta vẫn buộc lòng phải làm việc với chỉ một hàm
mẫu của quá trình. Khi ấy, dù muốn hay không, chúng ta vẫn phải tìm giá trị trung
bình, hàm tự tương quan… chỉ từ một hàm dạng sóng theo thời gian. Từ giả thiế
t
ergodic, chúng ta có thể coi những giá trị tính được là những tham số thống kê của
quá trình. Nhiều người cảm thấy khó chấp nhận những lời bàn luận này. Tuy nhiên
cần phải nhớ rằng, lý thuyết của chúng ta chỉ phục vụ để mô hình hoá những điều


y(t)
x(t)
A
01
R(t 2T)+
B
Giữ chậm
T
Bộ nhân
()
t2T
1
t
1
1
dt
2T
+
∫
g
Giữ chậm
T −τ
Hình 5.6. Sơ đồ khối tương quan kế

=+τ≈τ=τ
∫
R
.
Cho
thay đổi (thông qua các bộ giữ chậm) ta có thể đo xấp xỉ hàm tương
quan chéo của X và Y.
τ
Khi thay đổi các điểm nối A, B và áp dụng cả hai đầu vào là x(t) hoặc cả hai
đầu vào là y(t), ta có thể đo hàm tự tương quan
X
R()
τ
,
Y
R()
τ
.
Cần lưu ý độ dài đoạn lấy tích phân 2T phải đủ lớn. Với một số QT cụ thể,
ta có thể tính được độ dài 2T tối thiểu để sai số tương đối đủ nhỏ, ví dụ
.
5%
≤
Rất nhiều sơ đồ khác được thiết kế để đo hàm tự tương quan. Ví dụ, ngoài
việc giữ nguyên hai bộ giữ chậm, người ta bố trí bộ cộng thay cho bộ nhân. Sau
bộ cộng là bộ lọc bình phương (dùng điôt) rồi mới đến bộ lọc âm tần.
Đáng lưu tâm nhất phải kể đến các tương quan kế quang học của Michelson.
Chi tiết xem [8 ] tr 439 – 441.

5.3.6. Ước lượng dãy tương quan

định không âm. 56