TÍNH MẬT ĐỘ PHỔ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪNG. PHỔ SÓNG BIỂN
11.1 XÁC ĐỊNH MẬT ĐỘ PHỔ THEO SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM
Trong chương 3 chúng ta đã thấy mật độ phổ S( ω
)
của quá trình ngẫu nhiên dừng là biến đổi
Fourier hàm tương quan R( τ ) của nó và có thể được xác định theo công thức (3.2.12). Khi đó, cần biết sự
biến đổi của hàm tương quan thực trên toàn khoảng vô hạn của đối số.
Khi xác định những đặc trưng thống kê của quá trình ngẫu nhiên
X ( t
)
theo số liệu thực nghiệm,
chúng ta sử dụng các thể hiện của quá trình ngẫu nhiên được ghi trên một khoảng hữu hạn
T
nào đó theo
~
sự biến thiên của đối số t . Khi đó, ta có thể xác định giá trị thống kê của hàm tương quanR( τ ) trên
khoảng τ
ε

∈

[
−
T ,T
]
. Đặc biệt, khi xác định hàm tương quan của quá trình ngẫu nhiên dừng có tính egodic
theo một thể hiện x( t ) có độ dài T , giá trị thống kê của nó được xác định theo công thức (2.6.2).
Như đã thấy trong chương 6, do nhiều nguyên nhân, giá trị thống kê của hàm tương quan là một hàm
~
ngẫu nhiên nào đó, và giá trị tính được của nó, R( τ ) , có thể khác nhiều so với giá trị thực của hàm tương
quan R( τ ) và phương sai sai số tăng đáng kể khi đối số τ tăng.

tìm được sẽ rất khác với giá trị thực của mật độ phổ.
Một vấn đề nảy sinh là, làm thế nào để xác định giá trị phù hợp nhất của mật độ phổ của quá trình ngẫu
nhiên đang xét trong khi không có hàm tương quan thực, mà chỉ sử dụng giá trị thống kê của nó.
~
Ta xét hàm
R( τ ) , bằng giá trị thực của hàm tương quan R( τ ) khi
τ

≤

τ
m
và bằng 0 khi
τ

>

τ
m
.
Hàm này có thể xem như tích của hàm R( τ ) với hàm λ( τ )
~
R
( τ ) = λ( τ )R( τ )
, (11.1.1)
trong đó
~

1
λ( τ ) =

e
−

ωτ

R(
τ
)d
τ

=
2
π

−∞
∫

e
−

ωτ
λ
(
τ
)R(
τ
)d
τ

. (11.1.3)


. (11.1.4)
2
π

−∞
Theo (11.1.3), tích λ( τ )R( τ ) là
biến đổi Fourier của hàm
~
( ω )
∞
~
Mặt
khá
c, ta
có
λ
τ
∞
∞
∫
e
i
S (
ω
)
d
ω

.

2
=
−
∞


∫
1
∫
i
(

ω
−
∞
+

ω

)
τ

2 2 1
=
S(
2
2

Q(
ω

e
i
ωτ



∫

S( ω
1
)Q( ω
−

ω
1
)d
ω
1


d
ω

.
(11.1.6)
−∞


−


của mật độ phổ thực
S(
ω
)
được lấy trung
bình theo toàn
khoảng tần với hàm trọng lượng Q( ω − ω
1
) .
Đối với hàm λ( τ ) dạng (11.1.2), phổ Q( ω ) của nó
được xác định dưới dạng
τ

m
Q
∫

e
−
i
ωτ
d
τ

=

sin
ωτ
m
.

T
, ta sẽ tìm giá trị thống kê của mật độ phổ
~
(
ω
)
theo công thức
~
1
τ

m
~
S
∫

e
−
i
ωτ
λ( τ )
R( τ )
dτ
2π
−

τ
(
1
1

S ( ω )
]
, xác định theo công thức
2 S (  )  M
{

S (  )  S(
 )
}
 2
[
S (  )
]
 b2
[
S (
 )
]
(11.1.10)
[
~
] [
~
]
2
~ ~
Trong công thức này đại lượng
σ
2
[

b
2
[
S (  )
]
 M
[
S (  )  S(
 )
]
(11.1.12)
~ ~
~
được gọi là độ chệch và đặc trưng cho sự lệch của kỳ vọng toán học của các trị số thống kê S ( ω ) khỏi giá
trị thực S( ω ) . Độ chệch đặc trưng cho sự hiện diện của sai số hệ thống, vì nó mà các giá trị
~
( ω ) sẽ tập
trung không phải gần giá trị thực S( ω ) , mà gần một giá trị M
[
S ( ω )
]
nào đó.
Tiêu chuẩn khác, nhờ đó có thể đánh giá độ chính xác của việc xác định đại lượng
hàm làm trơn tối ưu λ
(
τ
)
, là sai số bình phương trung bình tích phân
~
S

)
d
ω



. (11.1.13)
Bài toán chọn hàm làm trơn tối ưu là làm sao với giá trị độ dài khoảng
T
đã cho, phải chọn một hàm
λ( τ
)
làm cho độ lớn của tiêu chuẩn đánh giá đã chọn trở thành cực tiểu. Nghiệm của bài toán này phụ
thuộc nhiều vào dạng của hàm tương quan thực R( τ ) .
Trong công trình của E. Parzen [70] đã nhận được nghiệm bài toán này ứng với tiêu chuẩn (11.1.13) cho hai
dạng hàm tương quan R( τ ) .
Dạng thứ nhất gồm lớp các hàm tương quan giảm theo quy luật hàm mũ với hệ số ρ

>
0,
tức những
hàm thoả mãn bất đẳng thức
R(
τ
)
≤
R e
−ρ τ
, trong đó
R

τ
)
=

sin u
,

τ




u

=


,
1 +
u
và một số hàm khác nữa.


0
khi
u > 1
u

τ
m