ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯƠNG HOÀI TRUNG
QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN LOẠI ORNSTEIN – UHLENBECK
SINH BỞI ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP PHÂN TÁN Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Mã số: 60 46 15
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Xin cảm ơn các bạn lớp cao học Toán ngành Lý thuyết Xác suất và Thống kê
toán học khóa 18 trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt
tình giúp đỡ, đóng góp ý kiến trong suốt quá trình học cũng như trong thời gian làm
luận văn.
Từ tận đáy lòng, con xin cảm ơn Cha mẹ đã sinh thành, dưỡng dục, luôn bên
cạnh động viên và tạo mọi điều kiện để con ăn học, khôn lớn nên người.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do kiến thức còn hạn chế cũng như sự eo hẹp về
điều kiện và thời gian nên rất mong nhận được sự chia sẻ, thông cảm và góp ý nhiệt
tình của quý Thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2011
Trương Hoài Trung

i
LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên, khi giải phương trình vi phân tuyến tính
dạng Langevin ta sẽ gặp quá trình Ornstein – Uhlenbeck. Quá trình Ornstein –
Uhlenbeck là quá trình ngẫu nhiên được đặt theo tên của hai nhà Vật Lý Leonard
Ornstein (1900 – 1988) và George Eugene Uhlenbeck (1880 – 1941). Tuy loại quá
trình này đã được nhiều nhà Toán học đề cập đến nhưng nó có khá nhiều ứng dụng
trong thực tế nên quá trình Ornstein – Uhlenbeck vẫn luôn được các nhà khoa học
nghiên cứu và mở rộng.

Khi xét lớp các quá trình ngẫu nhiên liên quan đến quá trình dẫn Levy, chúng ta
sẽ gặp những quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck. Để nghiên cứu về loại quá trình này
ta cần xét đến sự liên quan của nó với những lớp quá trình ngẫu nhiên khác như quá
trình
α

(
)
d
\P
: lớp các phân phối xác suất trên
d
\
(
)
(
)
{
}
:
dd
I
khả phân vô hạn=μ∈ μ\\P

()
(
)
()
()
1
1()
0
()
0
1()
0

∫
∫
L
L
L

()
,
0
()
0
lim ( ) ( ) :
() ()
t
fes s
t
t
s
pfsdXqtqthỏa
f s dX q t hội tụ theo xác suất khi t
μ
→∞
μ
⎧
⎛⎞
⎛⎞
⎪
Φ= − −
⎜⎟
⎜⎟

() (1 )
f
tt
−
=+
.

()
(
)
()
()
()
()
log
*
1
0
,0
,0
,0 1
,1
,1 2
d
d
d
d
d
I
I

d
dd
IIxdx
α
α
⎧⎫
⎪⎪
=μ∈ μ <∞ α>
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
∫
\
\\ 0
1
.
() ()
0
:()0,
d
dd
IIxdx
αα
⎧⎫
⎪⎪
=μ∈ μ = α≥
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
∫

iii
() ()
()
{} ( )
()
log
() ()
1
0
:log ()
log log 0
,
:
,: _
d
dd
d
t
d
IIxdx
xx
x là chuẩn Euclide x
X quá trình Levy với X
L b Q lớp c ác phân phối Q tự phân trên
+
+
μμ
⎧⎫
⎪⎪
=μ∈ μ <∞

∫
\
\\

trong đó:
(
)
log log 0
,
d
xx
x là chuẩn Euclide x
+
⎧
=∨
⎪
⎨
∈
⎪
⎩
\{
}
(
)
() ()
1
:

1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính 18
1.3.4 Phương trình Langevin 19
1.4 Quá trình tự đồng dạng 20
1.5 Phân phối ổn định và quá trình ngẫu nhiên ổn định 22
1.5.1 Phân phối ổn định 22
1.5.2 Quá trình ngẫu nhiên ổn định 26

Chương II Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo
ngẫu nhiên độc lập phân tán
2.1 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck 28
2.2 Quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck dừng 32

iv
2.3 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck sinh bởi độ đo ngẫu
nhiên độc lập phân tán 38

Chương III Quá trình loại Ornstein – Uhlenbeck không ngặt
3.1 Phân phối -tự phân 47
α
3.2 Quá trình ngẫu nhiên loại Ornstein – Uhlenbeck không ngặt 49

KẾT LUẬN 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO 59v


n
tt… , các đại
lượng ngẫu nhiên
01 0 1
,,,
nn
tt t t t
X
XX XX
−
−−… độc lập.
(2)
(
)
00X = hầu chắc.
(3)
X
thuần nhất theo thời gian: với
0t ≥
, phân phối của
st s
X
X
+
− không
phụ thuộc vào
0s ≥ .
(4)
X
liên tục ngẫu nhiên:

2
• Quá trình ngẫu nhiên
{
}
:0
t
XXt
=
≥ thỏa các điều kiện (1), (2), (4) và
(5) được gọi là quá trình cộng tính.
• Quá trình ngẫu nhiên
{
}
:0
t
XXt
=
≥ thỏa các điều kiện (1), (2) và (4)
được gọi là quá trình cộng tính theo luật.

Định nghĩa 1.1.2 (Khả phân vô hạn)
Cho
X
là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị trên

. Khi đó
X

 được định nghĩa bởi


(
)
,
(),
d
iz x
d
ze dxzμ= μ ∈
∫


Hàm đặc trưng của phân phối
X
P
của một biến ngẫu nhiên
X
trên
d
 được kí
hiệu là

(
)
ˆ
X
Pz và được xác định bởi:


 thì

3


()
(
)
,
1
exp , ,
2
1,1()(),
d
iz x
d
D
zzAziz
eizxxdxz
⎡
μ= − +γ
⎢
⎣
⎤
+−− ν∈
⎥
⎥

và
d
γ∈ .
(ii) Cách biểu diễn của

(
)
z
μ trong (i) theo ,
A
ν
và
γ
là duy nhất.
(iii) Ngược lại nếu
A
là một ma trận cấp dd
×
, đối xứng, xác định không
âm,
ν là một độ đo thỏa (1.2) và
d
γ∈ thì tồn tại một phân phối khả phân
vô hạn
μ
với hàm đặc trưng cho bởi (1.1).

Định nghĩa 1.1.5 (Bộ ba cơ sở)
Ta gọi
(

liên tục.
Ta thấy rằng nếu
B
là chuyển động Brown tiêu chuẩn thì hàm đặc trưng của nó
được cho bởi

4


2
()
1
ˆ
() exp
2
Bt
utu
⎧
⎫
μ=−
⎨
⎬
⎩⎭
với
d
u∈ và 0t ≥ .
Cho

{
}
:0
t
Xt≥ trên  là một quá trình Poisson với tham số
0c>
nếu nó là một quá trình Levy và với mỗi
0t >
,
t
X
có phân phối Poisson với
kì vọng
ct .

Ví dụ 3 (Quá trình Poisson phức hợp)
Cho
0c> và
σ
là phân phối thỏa
{
}
(
)
00
σ
= . Nếu
{
}
:0

:0
t
XXt=≥ là quá trình Gamma, do tính chất số gia dừng, độc lập ta có
với
0 st≤<<∞ thì
ts ts
X
XX
−
=+

, trong đó
ts
X
−

là một bản sao độc lập của
ts
X
−
. Vì
ts
X
−
là dương ngặt với xác suất 1, tức
ts
X
X> hầu khắp nên quá trình
Gamma là một ví dụ của quá trình Levy với đường dẫn không âm hầu khắp.


0
00
ˆ
() exp ,
exp , . exp ,
ˆˆ
() ()
ts
ts
st
ts
st
xEixXXX
E
ixX E ixX
xx
+
+
μ= −+
=
=μ μ

Lấy logarit hai vế hệ thức trên ta có

000
ˆˆˆ
log ( ) log ( ) log ( )
ts st
x
xx


0
() ( )
x
tt x⇒ϕ = ψ
Vậy suy ra
0
log ( )
t
x
μ =
0
()txψ
Suy ra
0
ˆ
()
t
x
μ =
0
exp{ ( )}txψ .
Định nghĩa 1.2.2 (Định nghĩa hàm bậc thang)
Cho
01
0 tt≤<<∞. Khi đó một hàm ()
f
s trên
01
,tt

Khi
()
f
s là hàm bậc thang dưới dạng này, ta định nghĩa tích phân

6

(
)
1
1
0
1
() .
jj
t
n
sjss
j
t
fsdZ a Z Z
−
=
=−
∑
∫
(1.4)

j
Ee Ee
−
−
=
∫
=
∏10
()()
1
jj j
ss az
n
j
e
−
−ψ
=
=
∏10
1
()()
n
j

. Khi đó
(
)
,
000 0
1
1
() , , 1 , 1 () ( ).
2
n
izx
x
z
zAz iz e izx x dx
≤
ψ=− +γ+ −− γ
∫
Tính chất 1.2.3
Giả sử
()
f
s là hàm thực đo được và bị chặn trên
01
,tt
⎡
⎤
⎣

n
 .
Giới hạn X đó không phụ thuộc vào cách chọn dãy
n
f
f→ . Phân phối của X là khả
phân vô hạn và được biểu diễn bởi

()
1
0
0
()
,
.
t
t
z
fs ds
izX
Ee e
ψ
∫
= (1.6) 7

Do (1.3) nên ta có

11
00
() () 0
tt
nsms
tt
f s dZ f s dZ−→
∫∫
theo xác suất.
Vì vậy tồn tại một biến ngẫu nhiên X là giới hạn theo xác suất của biến ngẫu nhiên
1
0
ˆ
()
t
ns
t
f
sdZ
∫
. Do tính chất khả phân vô hạn của
1
0
()
t
ns
t
f

1
1
0
0
0
,()
()
t
t
ns
t
t
iz f sdZ
f
szds
Ee e
ψ
∫
∫
→
Vậy ta thu được (1.4) ứng với định lí về tính liên tục. Để thấy rằng giới hạn X không phụ thuộc vào dãy xấp xỉ, ta đặt
() ()
n
f
sfs→ và
() ()
n

00
() () 0
tt
nsms
tt
f s dZ f s dZ−→
∫∫
theo xác suất. 8
Định nghĩa 1.2.4 (Tích phân theo quá trình Levy) Biến ngẫu nhiên nhận giá trị
trong
n
 nêu ra trong tính chất trên là tích phân ngẫu nhiên của hàm ()
f
s đo được
và bị chặn trên
01
,tt
⎡
⎤
⎣
⎦
theo quá trình Levy
{
}

}
:0
t
Yt≥ sao cho với mọi 0t > ta có

1
0
ˆ
() 1.
t
ts
t
PY fsdZ
⎡⎤
=
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫

Để chứng minh tính chất này ta chỉ cần sử dụng tính chất số gia dừng, độc lập của
quá trình Levy và hệ thức (1.5).

Tính chất 1.2.6
Cho f(s) và g(s) là các hàm đo được bị chặn trên
01
,tt
⎡
⎤

f
udX ft X ft X Xdfs=− −
∫∫

9
Chứng minh.
Nhận thấy rằng

11 1
00 0
11
() () () ()
tt t
uuu
tt t
f
udX ft fu dX ft dX
⎡⎤
=− − +
⎣⎦
∫
∫∫() ()
1
010
0
1
() ( )
t
st t t
t
X
Xdfs ftXX=− − + −
∫()
1
010
0
10 1
() ( ) ( ) ( )
t
st tt
t
X
dfs X ft ft ft X X
⎡⎤
=− + − + −
⎣⎦

(), ()ttαβlà các hàm số của t;
t
W là quá trình Wiener với điều kiện ban
đầu
0
(0)
X
X= .

10
Cách giải phương trình vi phân hình học
Trước hết ta tìm cách giải phương trình (1.8) trong trường hợp đặc biệt, khi
() 0tα≡.

(1) Giải phương trình:
() () ()
(0) 1
t
dX t t X t dW
X
⎧
=β
⎪
⎨
=
⎪
⎩

() () ()
2
2
2
1
,() ,() () ,() ()
2
t Kt dt t Kt dKt t Kt tdt
tx
x
∂ϕ ∂ϕ ∂ ϕ
=+ +β
∂∂
∂() 2 2
11
() () ()
22
Kt
t
etdttdWtdt
⎡⎤
=−β+β +β
⎢⎥
⎣⎦()

=
bởi điều kiện
0
(0)
X
X= thì nghiệm của
phương trình
0
() () ()
(0)
t
dX t t X t dW
XX
⎧
=β
⎪
⎨
=
⎪
⎩
là quá trình ngẫu nhiên:

2
0
00
1
() exp () ()
2
tt
s

⎨
=
⎪
⎩
(1.11)
Ta tìm nghiệm của (1.11) dưới dạng:
12
() (). ()
X
tXtXt= , trong đó
1
()
X
t thỏa điều
kiện

11
10
() () ()
(0)
t
dX t t X t dW
XX
⎧
=β
⎪
⎨
=
⎪
⎩


12 1
() () () () ()
t
tXtdW XdX tX tBtdt=β + +β
Ta chọn
()
A
t
và
()Bt
sao cho:

22
() () () () ()dX t t B t dt t X t dt+β =α
Cụ thể lấy
2
() () ()
A
ttXt≡α và
() 0Bt
≡

Từ (1.13) sẽ cho ta :

22
2
() () ()
(0) 1
dX t t X t dt

00
1
() exp () ()
2
tt
s
X
tX sds sdW
⎡
⎤
=−β+β
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
∫∫

Kết hợp
1
()
X
t và
2
()
X
t ta có nghiệm của phương trình (1.11) là:
(
)
1
12
( ) ( ), ( ), , ( ) ; 0
T
n
Wt W t W t W t t=≥ là chuyển động Brown
1
n - chiều và độ
đo ngẫu nhiên Poisson
2
n - chiều:

()
(
)
22
11
, ( , ), , ( , ) ; 0
T
nn
N dt dz N dt dz N dt dz t=≥
trong đó

(
)
()
2
2


(
)
1
( , ) ( , ) , , ( , ) : [0, ]
n
n
tt t Tαω=α ω α ω ×Ω→

(
)
1
1
(, ) (, ) :[0, ]
nn
ij
nn
tt T
×
×
βω=β ω ×Ω→

(
)
22
2
0
(,,) (,,) :[0, ]( )
nnn
ij

⎛⎞
αω+β ω+γ ων <∞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑∑∑
∫
(1.17)
trong đó
2
( ), 1, ,
kk
dz k nν= là những độ đo Levy tương ứng với các độ đo ngẫu
nhiên Poisson bù

(
)
(
)
,,()
k
kk kkk
N
dt dz N dt dz dz dt=−ν.

Từ (1.16) ta có biểu thức tương đương với nó là:


2
0


0
() (, ) (, ) () (, , ) ( , ) , 1,2.
ii i i
dX t t dt t dW t t z N dt dz i=α ω +β ω + γ ω =
∫



Ta sẽ có:

(
)
0
12 1221
12 1 2
(). () ( ) () ( ) ()
(, ) (, ) (, , ) (, , ) ( , )
dXtX t Xt dX t X t dXt
t t dt tz tz Ndtdz
−−
=+
+β ωβ ω + γ ωγ ω
∫
Định lí 1.3.3
Cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô – Levy dạng:


0, ,tz≥∈ω∈Ω và
(, )t
α
ω
,
(, )tβω, (, )
A
t ω , (, )
B
t ω , (, , )tzγω, (, , )Gt z
ω
là những quá trình ngẫu nhiên khả
đoán cho trước với
)
0
(, , ) 1 (, , ) 0,tz tz
⎡
γω>−∀ω∈∞××Ω
⎣
 và thỏa các điều kiện

0
22
0
1
(, ) (, ) (, , )( ) .
2
t
s s s z dz ds h c
⎡⎤

1
1
() ( ) (, ) (, ) (, )
()
(, , ) (, , )
()
1(,,)
t
X
tXtx As sBs
Xs
sz Gsz
dz ds
sz
−
−
⎡
=+ ω−βωω
⎣
⎤
γω ω
−ν
⎥
+γ ω
⎥
⎦
∫
∫



1
0
1
() exp (, ) (, ) log1 (, , ) (, , ) ( )
2
t
X
tss szszdzds
⎧
⎡
⎤
⎪
⎡⎤
=αω−βω+ +γω−γων
⎢
⎥
⎨
⎣⎦
⎢
⎥
⎪
⎣
⎦
⎩
∫∫
()
0

=αω+βω+γω
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫


(1.22)
với điều kiện ban đầu
(0) 1
X
=
, trong đó:
0
0, ,tz≥∈ω∈Ω và (, )tαω , (, )t
β
ω ,
(, , )tzγω là những quá trình ngẫu nhiên khả đoán cho trước với

)
0
(, , ) 1 . , (, , ) 0,tz hc tz
⎡
γω>− ∀ω∈∞××Ω
⎣


và thỏa điều kiện

0

H
t xác định bởi

()
()
0
0
2
0
00
1
() (, ) (, ) log1 (, , ) (, , ) ( )
2
(, ) () log1 (,, ) ( , )
t
tt
H
ts s sz szdzds
sdWs st Ndsdz
⎡⎤
⎡⎤
=αω−β ω+ +γ ω−γ ων
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
+β ω + +γ ω
∫∫
∫∫∫


⎝⎠
⎣⎦
∫
() 2
1
(, ) (, ) ()
2
Ht
etdttdWt
⎡
⎤
+βω+βω
⎢
⎥
⎣
⎦(
)
0 0
() ( )
(,,)log1 (,,) () (,,)(, )
Ht Ht
etz tz dzdtetzNdtdz
−
⎡⎤
Chứng minh Định lí 1.3.3
Ta tìm nghiệm của phương trình (1.12) bằng phương pháp tách nghiệm, nghĩa là ta
tìm nghiệm của nó dưới dạng tích

12
() ( ). ( )
X
tXtXt
−
−
=
(1.23)
trong đó:

1
()
X
t là nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng, nghĩa là nó
là nghiệm của phương trình (1.22) đã đề cập trong Định lí 1.3.4 .

2
()
X
t là nghiệm của phương trình

0
** *
2

t
−
của phương trình (1.22) cho bởi hệ thức
(1.21). Áp dụng hệ quả 1.3.2 cho tích
12
() ( ). ( )
X
tXtXt
−
−
= nêu trên, ta thu được:

(
)
0
12
1221
**
11
() ( ). ( )
() () () ()
(, ) ( ) (, ) (, , ) ( ) (, , ) ( , )
dX t d X t X t
Xt dXt Xt dXt
tXtBtdt tz XtGtzNdtdz
−−
−−
−−
=
=+

tGtzNdtdz tXtBtdt
t z X t G t z N dt dz
−− −−
−−
−−
−−
−
=α ω +β ω
+γ ω
+ω+ω
+ω+βωω
+γ ω ω
∫
∫
∫






(1.25)
Mặt khác
()
X
t là nghiệm của phương trình (1.19), từ đó so sánh giữa (1.19) và
(1.25) ta thu được hệ phương trình

()
0

ω= +γωω
⎪
⎪
⎪
⎩
∫
∫∫


Suy ra:

()
0
*
1
*
1
*
1
1(,,)(,,)
(, ) (, ) (, ) (, ) ( )
1(,,)
()
(, )
(, )
()
(, , )

⎨
⎪
⎪
ω
⎪
ω=
+γ ω
⎪
⎩
∫


Đặt
1
()
X
t cho bởi hệ thức (1.21) và các biểu thức của
*
(, )
A
t ω ,
*
(, )
B
t
ω
,
*
(, , )Gtzω đã xác định được vào biểu thức (1.24) ta sẽ có nghiệm của (1.20).


Ta tìm nghiệm của phương trình (1.26) dưới dạng:
12
() (). ()
X
tXtXt= , trong đó
1
()
X
t là nghiệm của phương trình vi phân hình học tương ứng:

11 1
1
() () () () ()
(0) 1
t
dX t t X t dt t X t dW
X
⎧
=α +β
⎪
⎨
=
⎪
⎩
(1.27)
và
2
()
X
t là nghiệm của phương trình:

11
() () () () () () () ()
tt
X
t Atdt BtdW tX tBtdt f tdt gtdW
⎡⎤
++β =+
⎣⎦

Ta sẽ thu được:

1
1
1
(): () ()()
()
()
():
()
A
tftgtt
Xt
gt
Bt
Xt
⎧
⎡
⎤
=−β
⎪