Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

1 Lời nói đầu

Là bộ môn toán học nghiên cứu tìm ra các quy lật chi phối và đa ra các
phơng pháp tính toán xác suất của các hiện tợng, biến cố ngẫu nhiên, lý thuyết
xác suất giữ một vị trí quan trọng cả về phơng diện lý thuyết lẫn ứng dụng thực
tiễn. Nó là công cụ không thể thiếu trong việc nghiên cứu các vấn đề ngẫu nhiên
nh: Dự báo các hiện tợng ngẫu nhiên hay đánh giá những cơ may, nguy cơ rủi
ro,
Một trong những cơ sở để nghiên cứu và xây dựng lý thuyết các quá trình ngẫu
nhiên là một số kiến thức của giải tích theo quan điểm hiện đại.Tuy nhiên trong
chơng trình xác suất thống kê dành cho sinh viên toán hệ đại học s phạm, việc
nghiên cứu lý thuyết xác suất nhìn chung chủ yếu dựa trên quan điểm cổ điển của
xác suất, vấn đề đa cơ sở toán học hiện đại vào nghiên cứu bản chất và lý thuyết
các quá trình ngẫu nhiên cha có điều kiện đề cập toàn diện, sâu sắc và đầy đủ.
Chính vì vậy, việc nghiên cứu đề tài: Một số cơ sở của quá trình ngẫu nhiên
nhằm làm sáng tỏ các cơ sở lý thuyết xác suất, những khái niệm, quy luật đặc thù
của lý thuyết xác suất, chỉ rõ ý nghĩa thực tế của những khái niệm và quy luật này
một cách chặt chẽ, đầy đủ theo cơ sở toán học hiện đại là cần thiết và có ý nghĩa to
lớn trong việc khai thác sâu kiến thức toán học của sinh viên s phạm.
Tuy nhiên, trong khuân khổ luận văn tốt nghiệp em cũng chỉ hạn chế trong
phạm vi những cơ sở của giải tích ngẫu nhiên- nền tảng của lý thuyết các quá trình
dừng cũng nh tích phân và vi phân ngẫu nhiên.
Luận văn gồm ba chơng:
Chơng 1: Các khái niệm cơ bản.
Chơng 2: Một số quá trình ngẫu nhiên thờng gặp.
Chơng 3: Hội tụ, liên tục, đạo hàm, tích phân của các quá trình ngẫu

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

3 Chơng 1: các khái niệm cơ bản

1.1. Các khái niệm:
1.1.1. Đại số và

-đại số:
Đại số và

- đại số
Định nghĩa:
Giả sử

là một tập không rỗng, phần tử của nó đợc ký hiệu là

. Tập hợp gồm
mọi tập con của

đợc ký hiệu là
( )
P

. Một tập con C

đôi một không giao
nhau,
k
A

C , i =1,, n sao cho:
1
\
n
k
k
B A A
=
=


Lớp A

P (

) đợc gọi là một đại số nếu
+)


A
+) A

A
\
A A

A A

F
1
n
k
k
A
=


F
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

4

Giả sử C

P (

). Một họ

- đại số F

P (

) bé nhất chứa C đợc gọi là

- đại số sinh bởi C và viết F =


R
mỗi phần tử của

B
BB
B đợc gọi là tập Borel.
Định nghĩa 2: (

- đại số các tập Borel trong
m
R
)
Giả sử
n
R
=
, K là lớp của hình hộp chữ nhật dạng
{ }
1
1
( , ) : ( , , ) : , 1,
m
i i m i i i
i
a b x x x x a x b i n
=
= = =




,

, {4},{6},{2, 3},{1, 5},{4, 6},{2, 3, 4},{1, 4, 5},{2, 3, 6},
{1, 5, 6}, {1, 2, 3, 6}, {2, 3, 4, 6}, {1, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5}}
Bài tập 2:
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

5

Giả sử C =
{
}
1 2
, , ,
n
A A A
là một phân hoạch của

( nghĩa là
i j
A A
=
với
i j

) và
1
n
i
i

,
1k
I I
=
với
1
k

, k = 1,,m thì
1
m
k i
k i J
B A
=
=

,
1
m
k
k
J I
=
=

.
Ngoài ra



, với
A

C .
Để tránh biểu thức không xác định

ta luôn quy ớc :

không nhận giá trị

.
Nói rằng :

hữu hạn, nếu
( )
A

là số thực hữu hạn với
A

C :
( ) ( , )
A

+
,
A

C .
Để tránh trờng hợp tầm thờng ta luôn giả thiết


C ,
B

C , .A B

=
và
A B
+
C .
Hàm tập

đợc gọi là

- cộng tính hoặc cộng tính đếm đợc, nếu:

1 1
( )
k k
k k
A A= =

=

( ) 0

=

b)
1 1
( )
n n
k k
k k
A A

= =

=

c) Nếu
B A

và

(B) hữu hạn thì
( | ) ( ) ( )
A B A B

=
.

( ,

A ) là không gian đo đợc nào
đó.
Định nghĩa:
Ta gọi hàm tập
à
là độ đo trên không gian đo đợc
( ,

A ) nếu:
+) Miền xác định của
à
là

- đại số A .
+)
à
không âm và

- cộng tính
Với
A

A ,
à
(A) đợc gọi là độ đo ( hay số đo ) của tập A.
Nói rằng
à
là độ đo hữu hạn nếu nó là hàm tập hữu hạn , tức là 0 ( )A


- đại
số các tập con của

,
à
là độ đo xác định trên A .
Các tính chất cơ bản của độ đo
+)
à
(

) = 0
+) Nếu A, B

A , B

A, và ( )B
à
< +
thì
à
(A / B) =
à
(A)

à
(B)
+) Tính đơn điệu:
Nếu A, B

1
( ) ( )
k
k
A A
à à

=



Đặc biệt nếu thêm điều kiện
( ) 0
k
A
à
=
,
1, 2,
k
=
thì
( ) 0
A
à
=
.
+) Nếu
k
A

1.1.3. Hàm thực đo đợc.
Định nghĩa:
Cho không gian đo đợc (

,A). Theo định nghĩa tổng quát ánh xạ nhận giá trị thực
:f


đợc gọi là hàm thực đo dợc (theo nghĩa Borel) nếu nghịch ảnh của mỗi
tập Borel là tập đo đợc, tức là tập thuộc A.
Hơn nữa, nếu
=

thì mỗi
f
nh thế đợc gọi là hàm số Borel. Nh vậy, :f
là hàm số Borel khi và chỉ khi nghịch ảnh của mỗi tập Borel là tập Borel. Ta ký
hiệu
=
0 0
L L
(

, A) là tập tất cả các hàm (thực) đo đợc.


- đại số Borel
của
n

thì ta gọi

là véc tơ ngẫu nhiên n chiều và viết


thay cho

. Trong trờng
hợp
1
n
=
, ta viết

thay cho


và gọi

là đại lợng ngẫu nhiên.
1.1.5. Tơng đơng ngẫu nhiên.
Ta gọi hàm ngẫu nhiên là họ các đại lợng ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t
chạy trên tập T bất kỳ, ta sẽ viết tham số này hoặc dới dạng chỉ số hoặc trong dấu
ngoặc, chẳng hạn: Hàm ngẫu nhiên
t

1
R

với

- đại số các tập Borel
1
B
(hay là mặt phẳng phức với

- đại số các tập Borel
tơng ứng).

Khi T là tập con của đờng thẳng thực, còn tham số t đợc coi nh là thời
gian, thì ta thờng dùng thuật ngữ quá trình ngẫu nhiên thay cho thuật ngữ hàm
ngẫu nhiên. Khi T gồm các số nguyên ta dùng thuật ngữ dãy ngẫu nhiên.
Về cơ bản ta sẽ nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên chứ không phải là các
hàm ngẫu nhiên trên tập T phức tạp hơn. Quá trình ngẫu nhiên đôi khi còn đợc gọi
là quá trình xác suất, đôi khi chúng ta còn gọi quá trình ngẫu nhiên là quá trình
cho đơn giản (vì ngoài quá trình ngẫu nhiên ta không xét quá trình nào khác)
Trong hàm
( )
t
X

, khi cố định
t T

ta sẽ nhận đợc một đại lợng ngẫu
nhiên. Gắn liền với khái niệm tơng đơng của các đại lợng ngẫu nhiên là định

X
,
t T

, là quá trình ngẫu nhiên thì
1
( , , )
n
t t
X X
với mọi
1
,
n
t t T


là véc tơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong
( , )
n n
X B
. Phân phối của nó
1
, ,
t t
n
X X


ta ký hiệu

X X t s T

, là một
số và đợc ký hiệu là cov (
,
t s
X X
):
cov (
,
t s
X X
) =
( )( )
t t s s
E X EX X EX

Khi đó: Hàm tơng quan K(t,s) ( hay cov (
( , )
X
K t s
hay
( , )
XX
K t s
) của các đại lợng
ngẫu nhiên
,
t s
X X

t
, các đại lợng ngẫu nhiên :
1
t
X
-
0
t
X
;
2
t
X
-
1
t
X
;;
n
t
X
-
1
n
t
X

độc lập.
c : Đại lợng ngẫu nhiên
t


1.3. Quá trình Wiener ( chuyển động Brown ):
Ta gọi quá trình Wiener xuất phát từ 0 là quá trình ngẫu nhiên
t
X
, 0

t <

, có
các tính chất sau:
a :
0
X
=0.
b : Với mọi 0


0
t
<
1
t
<
2
t
<<
n
t
, các đại lợng ngẫu nhiên

s
X
, 0

s

t , có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán 0
và phơng sai t-s ( viết tắt là: với tham số (0 , t-s)).
Nếu thay yêu cầu
0
X
=0 bằng
0
X
= x thì ta nhận đợc định nghĩa quá trình
Wiener xuất phát từ x .
1.4. Quá trình Cauchy:
Ta gọi quá trình Cauchy xuất phát từ 0 là quá trình ngẫu nhiên
t
X
, 0

t


, thoả
mãn các điều kiện:
a :
0
X

t
X
,,
n
t
X
-
1
n
t
X

độc lập.
c : Gia số
t h
X
+
-
t
X
có phân phối với mật độ :
f(x) =
1
2 2
h
h x


+
( Phân phối Cauchy)

Tức là véctơ ngẫu nhiên (
1
t
X
,
n
t
X
) có phân phối chuẩn , nghĩa là hàm mật độ có
dạng :

f (
1
t
x
,,
n
t
x
) =
2
1
(2 ) . det
n
A

.
1 ,
1
2

là quá trình
có gia số độc lập , nếu các gia số của nó tại các đoạn rời nhau không phụ thuộc vào
nhau, tức là
0 1

n
t t t

, với
i
t

T, các đại lợng ngẫu nhiên

1 0 1 1
2
, , ,
n n
t t t t t t
X X X X X X

độc lập.

2.3. Quá trình có gia số không tơng quan :
Quá trình ngẫu nhiên
t
X
, E
2
/ /


.
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

12
Thật vậy, trong trờng hợp này với:
0 1 2 3
t t t t

:

cov
X
(
1 0 3 2
,
t t t t
X X X X
) =
cov
(
1 0 3 1
,
t t t t
X X X X
)
1 0 2 1
cov( , )
t t t t
X X X X

= nếu
1 1
, , , , ,
n n
t t t h t h T
+ +

Dùng làm tập T các giá trị của tham số thời gian ngời ta thờng lấy
1
R
,
hay
(0, )
R
+
=
hay
1
Z
- tập tất cả các số nguyên hay
{
}
0,1, 2,
Z
+
= hay tập các số tự
nhiên
{
}
1,2,3,

P
n
X X n

hay lim( )
n
n
P X X

=
nếu:
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

13

{
}
,
lim ( ) 0
n
n
P X X


=
hay
{
}
lim ( , ) 1
n

à à
3.1.3. Định nghĩa 3: Ta nói đại lợng ngẫu nhiên
n
X
hội tụ hầu chắc chắn về
X
khi
n

, nếu:

{
}
: lim ( ) ( ) 1
n
n
P X X


= =

Hay
{
}
: lim ( ) ( ) 0
n
n

nếu:

0
lim 0
p
t
t t
E X X

=
.
Khi p = 2 ta đợc sự hội tụ theo bình phơng trung bình và ký hiệu:

0
lim
t
t t
X X

=
.
3.1.5: Mệnh đề: Từ sự hội tụ theo bình phơng trung bình suy ra sự hội tụ theo xác
suất.Từ sự hội tụ hầu chắc chắn suy ra sự hội tụ theo xác suất. Từ sự hội tụ theo xác
suất suy ra sự hội tụ yếu của các phân phối tơng ứng.
Chứng minh:
a, Hội tụ theo bình phơng trung bình

hội tụ theo xác suất.
Giả sử đại lợng ngẵu nhiên
n




0

>

Do
2
2
0
n
n
E X X





{
}
0
n
P X X




0



0

>

( )
{
}
0
k
k n
P X X





0

>

Mà
( )
{
}
{ } { }
0
k k k
k n
P X X P X X P X X


( )
( ) ( )
P
n
f X f X


Dựa vào lý thuyết tích phân ta có:
( ) ( ) ( )
n
F F
f x d Ef x f x d
à à
= =Trong đó:
1
.
n n
P X
à

=1
.
P X

điều kiện cần và đủ là tồn tại gới hạn hữu hạn
.
t s
EX X
khi
0
,
t s t

(hay
,
t s

)

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

15
Chú ý: Có thể thay điều kiện này bằng điều kiện tồn tại các giới hạn hữu hạn của
t
EX
khi
0
t t

và của hàm tơng quan
( , )
K t s
khi
0

t
X X

khi
0
t t
(
)
(
)
,
,
t s o o
X X X X


khi
0
,
t s t

(do tính chất liên tục của tích vô hớng )
0 0
. .
t s
EX X EX X


( )( )
t s t s
E X X X X
= . . . . 0
t t s s t s t s
EX X EX X EX X E X X
= +
khi
0
,
t s t

.

Dãy
t
X
là dãy cơ bản theo nghĩa bình phơng trung bình.
t
X

hội tụ theo nghĩa bình phơng trung bình .
Vậy tồn tại
0
lim
t
t t

t
X
là dãy cơ bản theo nghĩa bình phơng
trung bình
2
0
t s
E X X


khi
0
,
t s t

.
Xét
2
0
t s t s t s
EX EX E X X E X X


khi
0
,
t s t

(theo Bunhiacopxki).
t

t s t s
EX X EX E X
=

Theo chứng minh trên tồn tại
0
0
lim
t t t
t t
EX EX m


khi
0
t t


Theo giả thiết tồn tại
0
lim
t
t t
EX


tồn tại
0
,
lim .

0
,
lim ( , )
t s t
K t s

.
Ngợc lại :
Từ
( , )
K t s
. .
t s t s
EX X EX E X
= . ( , ) .
t s t s
EX X K t s EX EX

= +

Do
( , )
K t s k

khi
0
,

t s t
EX X


Tồn tại
0
lim
t
t t
X

.
Vậy định lý đợc chứng minh.
3.1.7. Định lý 2 (Điều kiện Cauchy): Chuỗi
1
n
n
X

=

gồm các đại lợng ngẫu nhiên
không tơng quan hội tụ theo bình phơng trung bình khi và chỉ khi các chuỗi
1
n
n
EX

=



cov( , ) cov( , )
n m m m m
Y Y Y Y Y
= +

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

17

1
cov( , )
m n m m
X X Y DY
+
= + + +0
m
DY
= +
(do các
i
X
không tơng quan)

1

m m

Lại có:
1
n
n
X

=

hội tụ theo bình phơng trung bình



=






1
hội tụ
Hàm tong quan hội tụ
n
n
E X



=


( hay khi
t

), điều kiện cần và đủ là tồn tại giới hạn khi
0
,
t s t

( hay khi
,
t s

) của phân phối hai chiều
,
t s
X X

theo nghĩa hội tụ yếu.
Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử
( )
P
t
X X

khi
0
t t

. Khi đó vectơ ngẫu nhiên

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

18
Trên
2
R
ta xét :
{
}
( , ) :
D x y x y


= <{
}
( , ) :
D x y x y
= =

Xét hàm f liên tục, bị chặn và không âm:

2 1
:
f R R




R
EI Ef X X f x y d x y






Trong đó

là phân phối giới hạn hai chiều.
Vì
,
t s
X X

tập trung trên đờng phân giác của góc toạ độ thứ nhất và thứ ba. Do đó,
phân phối giới hạn cũng tập trung trên tập hợp này .
Mặt khác
( , )
f x y
lại triệt tiêu trên đờng phân giác của góc toạ độ thứ nhất và thứ
ba.
Do đó
2
( , ) ( , ) 0
R
f x y d x y

=

, , ,
n
X X
là các đại lợng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với
0
i
EX
=
;
2
0
i
DX

= >
. Biết rằng tồn tại phân phối giới hạn đối với
1
( ) /
n n
Y X X n

= + +
(phân phối chuẩn tiêu chuẩn). Tồn tại hay không
lim( )
n
n
P Y

.
Giải: Giả sử tồn tại

= + + +1 2
.
cov , cov ,
2 2
n n n
n n
n Y X X
Y Y
n n


+

+ +

= +

1
cov( , ) 0
2
n n


= =

Véc tơ ngẫu nhiên
2
( , )
n n
Y Y
có ma trận tơng quan
1
1
2
1
1
2
cố định.


Phân phối giới hạn cũng phải có ma trận tơng quan là
1
1
2
1
1

có ma trận tơng quan là
1 1
1 1
cố định


Phân phối giới hạn cũng phải có ma trận tơng quan là
1 1
1 1

Nh vậy: Phân phối giới hạn là phân phối chuẩn suy biến vì nó tập trung trên một
đờng.
Do đó, phân phối giới hạn của hai véctơ ngẫu nhiên
2
( , )
n n
Y Y
và
(
)
,
n n
Y Y
là khác nhau.

t t


Tính liên tục ngẫu nhiên của hàm ngẫu nhiên rõ ràng là loại tính chất đợc xác
định đơn trị bởi các phân phối hai chiều của nó .
Những quá trình đã đợc nêu ở trên ( quá trình Poisson, Wiener, Cauchy ) đều
là liên tục ngẫu nhiên , mặc dù thể hiện của chúng có thể gián đoạn. Điều đó xảy ra
là vì: Các gián đoạn trên mỗi thể hiện là các gián đoạn tại các điểm của nó, và xác
suất để gián đoạn xảy ra tại điểm t đã cho bằng 0.
Định nghĩa 2: Hàm ngẫu nhiên ,
t
X t T

đợc gọi là liên tục trung bình cấp
1
p

tại điểm
0
t T

nếu
0
t
t
X X
theo nghĩa hội tụ theo trung bình cấp p khi
0
t t


0
t t

, ta có:
{
}
0
( ). ( )
t t
x y
P X X f x f y dxdy



=

(tính chất của hàm mật độ )
Khi
0


ta đợc:
( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) 1
x y x y
f x f y dxdy f x f y dxdy f x f y dxdy

+ +

= =


không liên tục ngẫu nhiên tại bất kỳ điểm nào.
3.2.2. Một vài tính chất:
Mệnh đề 1: Nếu hàm ngẫu nhiên
t
X
liên tục ngẫu nhiên trên tập compact
A T


thì nó liên tục ngẫu nhiên đều trên tập này, tức là:
0

>
và
0

>
tồn tại
0

>
sao
cho
{
}
0
t t
P X X

<

}
0
t t
P X X


(1)
với
,
t s A

nào đó,
( , )
t s

<

Từ đó, đối với mỗi
n N

, tồn tại ,
n n
s t A

sao cho (1) xảy ra với
0 0
,
t t s s
= =
và

nên
0
k
n
s t
Theo giả thiết, ta có:

0
( )
n
k
P
t t
X X
0
( )
n
k
P
s t
X X


Do đó:

Vậy
t
X
liên tục ngẫu nhiên đều.

Mệnh đề 2: Nếu hàm ngẫu nhiên
t
X
liên tục trung bình cấp
1
p

trên tập compact
A thì nó liên tục trung bình cấp
1
p

đều trên tập này.
Chứng minh:
Không gian
p
L
gồm các biến ngẫu nhiên khả tích bậc
1
p

là không gian giả
định chuẩn ( do đó giả metric). Nên ta có thể sử dụng kết quả tơng ứng của giải
tích thông thờng. Điều phải chứng minh.


bị chặn, nghĩa là:

sup
t
p
A
X M


Trong đó: M > 0 là hằng số,
(
)
1
p
p
t
p
X E X=p
p
t
E X M C

< =

t A
khi
0 0
,
t t t T

bất kỳ
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

23

0 0
( )
, ,
t t t t
P
X X X X theo nghĩa hội tụ yếu khi
0
,
t s t
,
t t
X X



t t
X X

theo nghĩa bình phơng
trung bình khi
0 0
,
t t t T

bất kỳ.

t s
EX X

hội tụ khi
0
,
t s t


t s
EX X

liên tục theo (t,s).
Hơn nữa:
0
t t
X X

theo nghĩa bình phơng trung bình khi

Đạo hàm của quá trình ngẫu nhiên X
t
đợc

định nghĩa nh là giới hạn của
(
)
/
t h t
X X h
+

khi h 0 theo nghĩa hội tụ tơng ứng.
Dễ thấy từ tính khả vi theo trung bình (theo xác suất) rút ra tính liên tục
tơng ứng.
Quá trình Wiener không khả vi ngay theo nghĩa hội tụ theo xác suất. Thật
vậy:
Giả sử nó khả vi tại điểm t nào đó. Khi đó: theo định nghĩa sẽ tồn tại giới hạn
yếu của phân phối
(
)
/
t h t
X X h
+

khi h 0.
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

24


nào. Thật vậy:
Giả sử X
t
là quá trình Poisson với tham số a.
Do X
t+h
X
t
có phân phối Poisson, và nhận giá trị nguyên không âm nên:

}
{
t h t
t h t
X X
P X X h
h

+
+



< = <




Với

p
t h t
X X
h
+



Giả sử tồn tại giới hạn của
(
)
/
t h t
X X h
+

theo nghĩa trung bình thì giới hạn đó
phải bằng 0 hầu chắc chắn.
Nghĩa là:
( )
/ 0
p
t h t
E X X h
+

khi h 0
Do X
t+h
X

.
. . . . .
! !
m m
ah
ah ah ah
t h t
m o m
ah e ah
E X X k e ah ah e e ah
m m
+
+
= =
= = = = Vì:
(
)
(
)
1/ 1/
q p
q p
E X E X


/
khi h 0

( )
/ 0
p
t h t
E X X h
+

/
khi
0
h


Vậy X
t
không khả vi theo trung bình
1
p Điều này chứng tỏ việc xây dựng giải tích ngẫu nhiên dựa trên khái niệm
khả vi theo xác suất không có ý nghĩa lớn. Để có thể phát triển lí thuyết xa hơn,
cần phải có điều kiện: Hàm số đợc xác định một cách đơn trị bởi đạo hàm của nó
(sai khác một hằng số), tơng tự nh đạo ánh trong giải tích.
Mệnh đề: Giả sử f(t) là hàm xác định trên
[
]

( ) ( )
f t f a

với t

[
]
,
a b
.
Chứng minh:
Theo định lý số gia giới nội:

[
]
, , ,
t s a b t s
<
ta có:

[
]
,
( ) ( ) sup ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ,
s t
f t f s f f s f t f t f a t a b



= = =

có đạo hàm hỗn hợp đến cấp hai liên
tục. Với
(
)
,
t a b

tuỳ ý nhng cố định.