NGUYỄN HỒNG ĐIỆP
Hình học tọa độ trong không gian
A
B
C
a
uv
F
16 tháng 05, 2014
3
rd
−L
A
T
E
X−2014
02
HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Copyright c 2014 by Nguyễn Hồng Điệp
Phần I
Hình học
3

Chương 1
Phương pháp tọa độ trong không gian
A. Vectơtrongkhônggian
Trong không gian cho các vectơ
−→
u
1
=

⇔



x
1
= x
2
y
1
= y
2
z
1
= z
2
•
−→
u
1
±
−→
u
2
=

x
1
± x
2

= x
1
.x
2
+ y
1
.y
2
+ z
1
.z
2
Hai vectơ vuông góc nhau ⇔
−→
u
1
.
−→
u
2
= 0 ⇔ x
1
.x
2
+ y
1
.y
2
+ z
1


−→
u
1
,
−→
u
2

=
−→
u
1
.
−→
u
2


−→
u
1


.


−→
u
2

+ y
2
2
+ z
2
2
•
−→
AB =

x
B
− x
A
, y
B
− y
A
, z
B
− z
A

AB =

(
x
B
− x
A

B
2
,
z
A
+ z
B
2

 Tọa độ trọng tâm G của tam giác AB C : G

x
A
+ x
B
+ x
C
3
,
y
A
+ y
B
+ y
C
3
,
z
A
+ z

+ z
B
+ z
C
+ z
D
4

• Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông góc cả hai vectơ xác định bởi
−→
u =

−→
u
1
,
−→
u
2

=





y
1
z
1

x
1
z
1
x
2
z
2





• Một số tính chất của tích có hướng

−→
a và
−→
b cùng phương ⇔

−→
a ,
−→
b

=
−→
0
A, B,C thẳng hàng ⇔



.
−→
AD =
−→
0
5
6 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN





−→
a ,
−→
b




=


−→
a


.


 Diện tích tam giác: S
AB C
=
1
2




−→
AB ,
−→
AC




 Thể tích khối hộp: V
AB C D .A

B

C

D

=







B. Phương trình mặt phẳng
• Phương trình tổng quát
(
α
)
: a x + b y + c z + d = 0 với (a
2
+ b
2
+ c
2
= 0).
• Phương trình mặt phẳng
(
α
)
qua M

x
0
, y
0
, z
0

và có vectơ pháp tuyến
−→

0
a
+
y − y
0
b
+
z − z
0
c
= 1, với a , b , c = 0
• Nếu
−→
n = (a , b, c ) là vectơ pháp tuyến của
(
α
)
thì k
−→
n ,k = 0 cũng là vectơ pháp tuyến của
(
α
)
.
Do đó một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Trong một số trường hợp ta có thể tìm vectơ
pháp tuyến bằng cách chọn một giá trị cụ thể cho a (hoặc b hoặc c ) và tính hai giá trị còn lại
đảm bảo đúng tỉ lệ a : b : c .
C. Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Cho
(


⇔ a
1
: b
1
: c
1
= a
2
: b
2
: c
2
•
(
α
)
song song

β

⇔
a
1
a
2
=
b
1
b

c
1
c
2
=
d
1
d
2
•
(
α
)
vuông góc

β

⇔ a
1
a
2
+ b
2
b
2
+ c
1
c
2
= 0

d :
x − x
0
a
=
y − y
0
b
=
z − z
0
c
E. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Đường thẳng d
1
qua M
1
và có vectơ chỉ phương là
−→
u
1
, d
2
qua M
2
và có vectơ chỉ phương là
−→
u
2
thì:

1
song song d
2
⇔






−→
u
1
,
−→
u
2

=
−→
0

−→
u
1
,
−−−→
M
1
M

−→
u
1
,
−→
u
2

=
−→
0
• d
1
và d
2
chéo nhau ⇔

−→
u
1
,
−→
u
2

.
−−−→
M
1
M


(
α
)
,

β

=


cos

−→
n
α
,
−→
n
β



=


−→
n
α
.

u
2
,
khi đó góc giữa d
1
và d
2
tính bằng
cos
(
d
1
, d
2
)
=


cos

−→
u
2
,
−→
u
2




(
α
)
có vectơ pháp tuyến là
−→
n , khi đó góc giữa d và
(
α
)
là ϕ được tính bằng
sin ϕ =


−→
u .
−→
n




−→
u


.


−→
n

+ c z
0
+ d



a
2
+ b
2
+ c
2
8 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
• Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng ∆ qua M
0
và có vectơ chỉ phương
−→
u là
d (A,∆) =




−−−→
M M
0
,
−→
u


(
∆
1
, ∆
2
)
=




−→
u
1
,
−→
u
2

.
−−−→
M
1
M
2






• Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
song song nhau là khoảng cách từ M
1
∈ ∆
1
tới ∆
2
.
• Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng
(
α
)
song song nhau là khoảng cách từ điểm
M
0
∈ d tới
(
α
)
.
H. Phương trình mặt cầu
• Mặt cầu tâm I (a , b, c ), bán kính R có phương trình
(S) : (x −a )
2
+ (y − b )
2
+ (z − c )

và S(I , R), khi đó nếu
• d (I ,
(
α
)
) > R : mặt phẳng không cắt mặt cầu.
• d (I ,
(
α
)
) = R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu, khi đó mặt phẳng còn gọi là tiếp diện của mặt cầu.
Tọa độ tiếp điểm M
0
là tọa độ hình chiếu vuông góc của I xuống
(
α
)
.
• d (I ,
(
α
)
) < R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn C (I

, r ), còn gọi là đường tròn giao
tuyến, khi đó
 Tâm I

là tọa độ hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng
(

3
và mặt cầu (S) : (x − a )
2
+ (y − b )
2
+ (z − c )
2
= R
2
. Xét vị
trí tương đối của d và (S) ta dùng một trong hai cách:
1. Lập phương trình giao điểm (phương trình (∗)) của d và (S), bằng cách lấy x , y , z từ phương trình
đường thẳng thay vào phương trình (S) và giải phương trình theo ẩn t
• Phương trình (∗) vô nghiệm: d và (S) không có điểm chung.
• Phương trình (∗) có 1 nghiệm: d tiếp xúc với (S).
• Phương trình (∗) có 2 nghiệm phân biệt: d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.
2. So sánh khoảng cách d
(
I , d
)
và R
• d
(
I , d
)
> R: d và (S) không có điểm chung.
• d
(
I , d
)

−R
2
| ⇔
(
S
1
)
,
(
S
2
)
trong nhau.
• I
1
I
2
> |R
1
−R
2
| ⇔
(
S
1
)
,
(
S
2

(
S
1
)
,
(
S
2
)
tiếp xúc ngoài.
• |R
1
−R
2
| < I
1
I
2
< R
1
+ R
2
⇔
(
S
1
)
,
(
S

∈ (α).
(
α
)
: a
(
x − x
0
)
+ b

y − y
0

+ c
(
z − z
0
)
= 0
 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB
1. Tìm tọa độ I là trung điểm của AB , tính
−→
AB .
2. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
qua I và có vectơ pháp tuyến là
−→

a , b, c
)
.
2. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
.
 Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
qua M và vuông góc với đường thẳng d có vectơ chỉ phương
−→
u =
(
a , b, c
)
1. Do
(
α
)
song song

β

nên vectơ pháp tuyến của
(
α
)

−→
AB ,
−→
AC
2. Vectơ pháp tuyến của (ABC ) là
−→
n =

−→
a ,
−→
b

3. Viết phương trình mặt phẳng
(
AB C
)
.
A
B
C
3 Dạng 3
Viết phương trình mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng chéo nhau
1. Tìm
−→
a ,
−→
b là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó.
2. Vectơ pháp tuyến của
(

)
là
−→
n =

−→
u ,
−→
AN

3. Viết phương trình
(
α
)
.
A
α
d
d
M
5 Dạng 5
Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
1. Tìm
−→
a ,
−→
b là các vectơ chỉ phương của d

α
d
1
M
d
2
6 Dạng 6
Viết phương trình mặt phẳng đi qua d
1
và song song d
2
(d
1
và d
2
chéo nhau).
1. Tìm
−→
a ,
−→
b là các vectơ chỉ phương của d
1
, d
2
.
2. Vectơ pháp tuyến của
(
α
)
là

2
. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
và

β

sao cho
(
α
)
chứa d
1
,

β

chứa d
2
và
(
α
)
song song

β

.

−→
u là vectơ chỉ phương của d và
−→
n
β
là vectơ pháp tuyến của

β

.
2. Vectơ pháp tuyến của
(
α
)
là
−→
n
α
=

−→
u ,
−→
n
β

.
3. Chọn 1 điểm M ∈ d .
4. Viết phương trình
(

10 Dạng 10
Viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với

β

và

γ

.
1. Tìm
−→
n
β
,
−→
n
γ
là các vectơ pháp tuyến của

β

và

γ

.
2. Vectơ pháp tuyến của
(
α

)
và

β

1. Gọi M (x, y , z ) là điểm cách đều
(
α
)
và

β

2. Ta có: d
(
M ,
(
α
))
= d

M ,

β

.
3. Từ biểu thức trên ta xác định mặt phẳng cần tìm.
12 Dạng 12
Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d và cách M một khoảng k .
1. Phương trình mặt phẳng

(
α
))
= k nên ta được phương trình (3).
5. Từ (1), (2) ta khử d , và từ (3) tìm mối liên hệ giữa a , b, c .
6. Cho a một giá trị cụ thể và tìm b, c ,d (đảm bảo điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
= 0).
13 Dạng 13
Cho đường thẳng d và điểm A nằm ngoài d . Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
chứa d sao cho khoảng
cách từ A đến
(
α
)
là lớn nhất.
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc M của A lên d
2. Giả sử

β

là mặt phẳng tùy ý chứa d , khi đó M ∈


là
−→
I H .
3. Viết phương trình mặt phẳng
(
α
)
.
15 Dạng 15
Viết phương trình mặt phẳng song với

β

: a x + b y + c z + d = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
1. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
2. Do
(
α
)
song song với

β

nên phương trình
(
α
)
có dạng
(
α

2
2. Vectơ pháp tuyến của
(
α
)
là
−→
n =

−→
u
1
,
−→
u
2

= (a, b , c )
3. Phương trình mặt phẳng
(
α
)
có dạng
(
α
)
: a x + b y + c z + d = 0
4. Ta có d
(
I ,

3. Tìm tọa độ A, B là hai điểm phân biệt thuộc d
4. Do A, B thuộc
(
α
)
nên ta được phương trình (1),(2). Khử d và tìm một ẩn theo hai ẩn còn lại ta được
phương trình (3)
5. Ta có: d
(
I ,
(
α
))
= R, ta được phương trình (4). Thay (3) vào (4) ta được phương trình (5) gồm hai ẩn
6. Từ (5) ta cho một ẩn một giá trị cụ thể và tìm được a , b, c , d (lưu ý a
2
+ b
2
+ c
2
= 0)
7. Viết phương trình mặt phẳng
1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
(
α
)
15
18 Dạng 18
Viết phương trình mặt phẳng qua A,B ,C là tọa độ hình chiếu của D (a , b, c ) xuống các trục tọa độ.
1. Tọa độ hình chiếu của D xuống các trục tọa độ là A(a ,0, 0); B(0, b, 0);C (0, 0, c )

−→
H A.
−→
B C = 0,
−−→
H B .
−→
AC = 0,
−−→
H C .
−→
AB = 0. Từ đó ta được 3
phương trình và giải tìm được a , b, c
3. Viết phương trình mặt phẳng.
A
B
C
H
16 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Cách 2:
1. Chứng minh O H ⊥
(
AB C
)
• Ta có : O C ⊥ AB,C H ⊥ AB nên AB ⊥
(
O C H
)
⇒ AB ⊥ O H .
• Tương tự AO ⊥ B C , AH ⊥ B C nên B C ⊥

x
0
, y
0
, z
0

và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho O A = kO B =
l O C .
1. Mặt phẳng
(
α
)
có phương trình
(
α
)
: a
(
x − x
0
)
+ b

y − y
0

+ c
(
z − z

Viết phương trình mặt phẳng qua M

x
0
, y
0
, z
0

và cắt các trục tọa độ tại A, B,C sao cho thể tích tứ diện
O AB C nhỏ nhất.
1. Gọi giao điểm của
(
α
)
với các mặt phẳng tọa độ là A(a ,0, 0); B (0, b, 0); C (0, 0, c ) với a , b, c > 0
2. Mặt phẳng
(
α
)
có phương trình
(
α
)
:
x
a
+
y
b

·O A.O B.O C =
1
6
a b c
5. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm
x
0
a
,
y
0
b
,
z
0
c
ta được
1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
(
α
)
17
x
0
a
+
y
0
b
+

0
y
0
z
0
6. Dựa vào bất đẳng thức trên và điều kiện trở thành đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy rút ra kết
luận.
7. Viết phương trình mặt phẳng.
24 Dạng 24
Viết phương trình mặt phẳng cách đều 4 đỉnh tứ diện AB C D .
Một mặt phẳng muốn cách đều hai điểm M , N thì
• Hoặc nó đi qua trung điểm I của M N
• Hoặc nó song song với M N .
Vì vậy để mặt phẳng
(
α
)
cách đều 4 đỉnh của tứ diện thì :
• Hoặc mặt phẳng
(
α
)
qua trung điểm của 3 cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh. Có 4 mặt phẳng như
vậy.
• Hoặc mặt phẳng
(
α
)
chứa hai đường trung bình của tứ diện. Có ba mặt phẳng như vậy.
Tóm lại ta có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

5
)
qua M N và SR
(b)
(
α
6
)
qua N P và QS
(c)
(
α
7
)
qua M P và QR.
4. Kết luận: có 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A
B
C
D
M
N
R
S
Q
P
18 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Lưu ý
• Mặt phẳng cách đều A, B: là mặt phẳng qua trung điểm I của AB khi đó d
(


một góc là x
◦
.
1. Tìm
−→
n
β
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

β

và tìm tọa độ hai điểm phân biệt A,B nằm trên d
2. Phương trình mặt phẳng
(
α
)
có dạng
(
α
)
: a x + b y + c z + d = 0 với a
2
+ b
2
+ c
2
= 0
3. Do A, B ∈
(



−→
n
α
.
−→
n
β




−→
n
α


.


−→
n
β


, ta được phương trình (4)
6. Thay (3) vào (4) ta được phương trình (5) gồm 2 ẩn
7. Cho 1 ẩn một giá trị cụ thể ta tìm được các ẩn còn lại, lưu ý điều kiện a
2

2.
−−→
M H và
−→
n
α
cùng phương nhau.
2 Dạng 2
Tìm tọa độ M

là điểm đối xứng của M qua
(
α
)
.
1. Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M xuống
(
α
)
.
2. Khi đó H là trung điểm M M

.
20 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
3 Dạng 3
Cho tứ diện AB C D tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng
(
α
)
sao cho


= 4



−−→
M G



. Vậy



−−→
M A +
−−→
M B +
−−→
M C +
−−→
M D



ngắn nhất ⇔



−−→

(
α
)
⇔
−→
I A và
−→
I B cùng hướng.
A
α
d
d
M
B
I
α
B
I
A
Cách 2:
Khoảng cách đại số từ A

x
A
, y
A
, z
A

tới

(
α
))
> 0
• A và B nằm khác phía
(
α
)
⇔ d
(
A,
(
α
))
.d
(
B,
(
α
))
< 0
5 Dạng 5
Cho hai điểm A, B và mặt phẳng
(
α
)
. Tìm điểm M ∈
(
α
)

.
• Gọi H là tọa độ hình chiếu vuông góc của M xuống
(
α
)
, A

là điểm đối xứng của A qua
(
α
)
.
Tìm tọa độ H và A

.
• Ta có: M A + M B = M A

+ M B ≥ A

B . Dấu bằng xảy ra ⇔ M nằm trên đường thẳng A

B . Do
đó M A + M B bé nhất ⇔ M là giao điểm của A

B và
(
α
)
.
• Viết phương trình tham số A

2.
Trường hợp 1: A, B nằm cùng phía với
(
α
)
.
• Ta có: |M A − M B | ≤ AB . Dấu bằng xảy ra ⇔ M nằm trên đường thẳng AB và không nằm trên
đoạn thẳng AB . Do đó |M A − M B | lớn nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng
AB và
(
α
)
.
• Viết phương trình tham số AB và tìm tọa độ M .
22 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A
α
M
B
Trường hợp 2: A, B nằm khác phía với
(
α
)
• Gọi H là tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên
(
α
)
, A

là tọa độ đối xứng của A qua

• Viết phương trình tham số của A

B , tìm tọa độ giao điểm M của A

B và
(
α
)
.
A
α
d
M
B
H
A

∗ Nếu thay điều kiện
(
α
)
là đường thẳng ∆ ta cũng lập luận tương tự bài toán trên.
7 Dạng 7
Trong mặt phẳng tọa độ O x y z cho ba điểm A(a ;0; 0), B(0, b, 0), C (0; 0; c ) với a , b, c là những số dương
thay đổi sao cho a
2
+ b
2
+ c
2

b
2
+
1
c
2
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
≥ 3
3


1
a
2
b
2
c
2
và k = a

là vectơ chỉ phương của ∆. Do d song song ∆ nên d có vectơ chỉ phương là
−→
u
d
=
−→
u
∆
.
2. Viết phương trình đường thẳng d .
α
M
−→
u
∆
∆
d
∗ Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng
(
α
)
. .
1. Tìm
−→
n
α
là vectơ pháp tuyến của
(
α
)

−→
u
1
,
−→
u
2

.
2. Viết phương trình đường thẳng d .
∗ Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d
1
, d
2
.
1. Tìm
−→
u
1
,
−→
u
2
là các vectơ chỉ phương của d
1
, d
2
. Vectơ chỉ phương của d là
−→
n =


β

.
Ta có : d :

(
α
)

β

(1)
Cách 1: Trong hệ (1) cho x = t (hoặc y = t , hoặc z = t ) và giải tìm 2 ẩn còn lại theo t . Khi đó ta được
phương trình tham số của d .
Cách 2: Tìm tọa độ điểm A thuộc d và tìm vectơ chỉ phương của d rồi viết phương trình.
1. Tìm tọa độ A thuộc d : trong hệ (1) cho x , y, z một giá trị cụ thể và giải hệ phương trình tìm hai ẩn
cón lại.
2. Tìm vectơ chỉ phương của d
• Tìm vectơ pháp tuyến
−→
n
α
,
−→
n
β
của
(
α

4 Dạng 4
Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng
(
α
)
và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
.
1. Tìm tọa độ giao điểm A của d
1
và
(
α
)
, B của d
2
và
(
α
)
.
2. Khi đó d là đường thẳng qua A, B . Viết phương trình đường thẳng d .
d
A
B
d
1
d

1
, d
2
. Do d ⊥ d
1
và d ⊥ d
2
nên vectơ chỉ phương của d là
−→
u
d
=

−→
u
d
1
,
−→
u
d
2

.
2. Gọi
(
α
)
là mặt phẳng chứa d và d
1


là mặt phẳng chứa d và d
2
:
• Chọn một điểm B ∈ d
1
• Vectơ pháp tuyến của

β

là:
−→
n
β
=

−→
u
d
,
−→
u
d
2

• Viết phương trình

β

.