ĐỀ THI GVG HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN: TOÁN
( Thời gian làm bài 120 phút )

Câu 1. a)Cho
a
b
là phân số tối giản . Chứng minh rằng
2
a
a b+
cũng là phân số tối giản.
b) Cho a;b;c là các số nguyên thỏa mãn: a
2
(b-c) + b
2
(c-a) + c
2
(a-b) = a+b+c. Chứng minh
rằng a+b+c
M
27
Câu 2. a) Cho hệ phương trình
ax+by=5
bx+ay=5



( với a,b nguyên dương và khác nhau)
Tìm a,b để hệ có nghiệm (x;y) với x;y là các số nguyên dương.
b) Giải phương trình: 2(x

MI MK MH
+ =
b) Giả sử
∆
ABC đều , xác định vị trí của M trên cung
»
BC
để MA + MB + MC =
Max (đạt giá trị lớn nhất)
Câu 6.Tìm giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của phân thức sau cũng là số
nguyên :
12
422
23
+
+++
x
xxx

HƯỚNG DẪN CHẤM THI GVG HUYỆN NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN: TOÁN
Câu 1. ( 4 điểm)
a) ( 2 đ) Vì
a
b
là phân số tối giản nên (a;b) = 1
Giả sử a
2
và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d
Khi đó vì a

2
, r
3
lần lượt là các số dư khi chia a; b; c cho 3
Trường hợp 1: Nếu các số dư khác nhau (0;1;2) thì r
1+
r
2+
r
3
= 3 => a+b+c
M
3
Nhưng các hiệu a-b;b-c;a-c đều không chia hết cho 3 nên đẳng thức 1 không xẩy ra
điều này trái với giả thiết.
Trường hợp 2: Nếu có 2 số dư bằng nhau thì a+b+c không chia hết cho 3 nhưng tích
(a-b)(b-c)(c-a)
M
3 điều này vô lý.
Trường hợp 3: Cả 3 số dư bằng nhau
Khi đó (a-b); (b-c); (a-c) đều chia hết cho 3 => (a-b)(b-c)(a-c)
M
3.3.3
Vậy từ (1) => a+b+c
M
27
Câu 2: (4điểm)
a)(2đ)
ax+by=5
bx+ay=5

= x + 1 ; b
2
= x
2
-x +1 => x
2
+2 = a
2
+b
2
và x
3
+1

= a
2
b
2

Phương trình trở thành 2(a
2
+b
2
) = 5 ab <=> (2a – b) (a – 2b) = 0 <=> a = 2b hoặc b =
2a
Với a = 2b ta có
1x +
= 2
2
1x x− +

+ + + + + + ≥
+ + + +
⇒ + ≥ ≥
+ + + + + +
(1)
Mặt khác từ ab+bc+ca
≤
a
2
+b
2
+c
2
=> ab + bc + ca
2
( ) 2007 2007
3 669
3 3
a b c
ab bc ca
+ +
≤ ≤ ⇒ ≥ =
+ +

(2)
Từ (1) và (2) ta có
2 2 2
1 2009
670
a b c ab bc ca

AMD => AN
⊥
MD vì AN//BM mà AN
⊥
DM => BM
⊥
DM
Câu 5.(4 điểm)
a) (2đ) giả sử AC
≥
AB ta có
AB AC AI BI AK KC AI AK
MI MK MI MK MI MK
− +
+ = + = +
(1)
Do góc C
1
= góc A
1
nên cotgA
1
= cotgC
1
=>
AI CH
MI MH
=
(2) và góc A
2

MB MC BD CD
MA MA AB
+
+ =
 MA+MB+MC = 2 MA
≤
4R . vậy Max( MA+MB+MC)= 4 R khi AM là đường
kính khi dó M là trung điểm của cung BC
A
B C C

I
M
Câu 6.( 2,5 điểm) biến đổi
12
3
1
12
3)12()12(
12
422
2
223
+
++=
+
++++
=
+
+++