Trờng THPT hoàng mai
Tổ :Toán - Tin

Đề thi học sinh giỏi trờng năm học:2009-2010
Môn :Toán 10
Câu 1 (6 điểm)
a) Giải phơng trình :
2 2
1 1 2x x x x + + =
b) Giải bất phơng trình :
( ) ( )
4
2 3 2 2 3 3 2 2x x x x + + +
Câu 2. (6,0 điểm)
a) Tìm m để Phơng trình sau có nghiệm:
( ) ( )
3 2 3 0m x m x m + + =
b) Tìm m để hệ phơng trình:
2 2
2
4x y
x y m

+ =

=

có nghiệm
Câu3(2,5 điểm)
Cho cặp số thực (x;y) thoả mãn diều kiện : x - 2y + 4 = 0.Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức :

1.a.
Giải phơng trình :
2 2
1 1 2x x x x + + =
(1)
ĐK:
1x
Nhận xét :
2 2
1. 1 1x x x x + =
Đặt :
2
1t x x=

( )
0t
PT (1) có dạng:
1
2 1t t
t
+ = =
PT (1)
2
1 1 1x x x = =
1.b
Giải BPT:
( ) ( )
4
2 3 2 2 3 3 2 2x x x x + + +
(1)

BPT
2
1
2 3 1 0 0
2
t t t +
hoặc
1t

Với
4
1 3 2 1 2 34
0
2 2 2 3 47
x
t x
x


+
Với
4
3 2
1 1 2
2
x
t x
x



TH2: PT(2) có nghiệm :
1 2
0
5
0 0 2
3
0
t t S m
P



< > <


>

TH3: PT(2) có nghiệm:
1 2
0t t< <
2 3m < <
+Nếu m=2thì PT (2) có 1 nghiệm t=1 (t/m)
2
Vậy PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
5
3
3
m
2.b
Tìm m để hệ PT:


+ =


( )
2
4 0
x m
y x m
x x m



=


+ =

+Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi PT:
( )
2
( ) 4 0f x x x m= + =
có
nghiệm trong
[ ; )m +
(*)
Ta có :
4 17m
= +
nên f(x) = 0 PT có nghiệm khi:

+


+






+ +



Cách 2: Nhận xét : Từ PT:
2 2
4x y+ =

2 2
2 2
4 0 2 2
4 0 2 2
x y y
y x x

=


=


4 (*)
y x m
x y
x x m

=


+ =

( )
2
4 0x x m + =
có nghiệm trên [-2;2].
Xét đồ thị hàm số
2
4y x x= +
trên [-2;2] và đồ thị hàm số y = m
Ta có; nghiệm của PT :
2
4x x m + =
trên [-2;2] là giao điểm của hai đồ
thị hàm số.
Vậy;
17
2
4
m
Bài 3
Tìm GTNN của


5
9
2
x
y
=




=


Kết kuận:Min P = 6
5
9
2
x
y
=




=


Bài4
4.a

= =
Do đó:
5
3 1
(1) . . 2
2 2
2
a b
=
5 3a b =
8
2
a b
a b
=



=

Toạ độ:
5 5
;
3 3
a b
G
+

ữ


r
P
= =
+ +
TH2:
( )
3 4 1
1; 1
2 1
a b a
C
a b b
= =



= =

Chu vi tam giác ABC:
3
2 2 2 5
2 2 5
P r= + =
+
4
5