Chương 7: Nội dung của phương pháp
phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số đặc biệt có
hi
ệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền
xác định V của nó. Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn không
tìm d
ạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn bộ miền V mà chỉ trong
t
ừng miền con V
e
(phần tử) thuộc miền xác định V. Do đó, phương
pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kĩ thuật
trong đó hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp
g
ồm nhiều vùng nhỏ có được tính hình học, vật lý khác nhau, chịu
nh
ững điều kiện biên khác nhau. Phương pháp ra đời từ trực quan
phân tích k
ết cấu, rồi được phát biểu một cách chặt chẽ và tổng
quát như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có
trọng số nhưng được xấp xỉ trên mỗi phần tử.
Để giải một bài toán biên trong miền xác định V, bằng phép
tam giác phân, ta chia thành một số hữu hạn các miền con V
e
(e =
1, , n) sao cho hai mi
ền con bất kì không giao nhau và chỉ có thể
chung nhau đỉnh hoặc các cạnh.
Mỗi miền con V
e

k
là các số cần tìm. Thông thường người ta đưa
việc tìm các c
k
về việc giải một phương trình đại số với ma trận
thưa (chỉ có các phần tử trên đường chéo chính v
à trên một số
đường song song sát với đường chéo chính l
à khác không) nên dễ
giải. Có thể lấy cạnh của các phần tử hữu hạn là đường thẳng hoặc
đường cong để xấp xỉ các miền có dạng h
ình học phức tạp. Phương
pháp phần tử hữu hạn có thể dùng để giải gần đúng các bài toán
biên tuy
ến tính, phi tuyến và các bất phương trình.
Thông thường với bài toán cơ vật rắn biến dạng và cơ kết cấu
tùy theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ, người ta có thể phân tích
bài toán theo 3 dạng mô hình sau:
 Trong mô hình tương thích:
Người ta xem chuyển vị là đại lượng cần t
ìm trước và hàm xấp
xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phân tử.
Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình được thiết lập trên cơ
sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng, hay nguyên lý biến phân
Lagrange.
 Theo mô hình cân bằng:
Hàm xấp xỉ được biểu diễn dạng gần đúng phân bố của ứng suất
hay nội lự trong phần tử. Các ẩn số được xác định từ hệ phương
trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng
hay nguyên lý biến phân về ứng suất (Nguyên lý Castigliano).

}.
Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử hay thiết lập ma trận độ
cứng phần tử [K
e
] và vectơ tải phần tử {P
e
}
Có nhiều cách thiết lập: trực tiếp hoặc sử dụng nguyên lý biến
phân, hoặc các phương pháp biến phân…
Kết quả nhận được có thể biểu diễn một cách hình thức như một
phương tr
ình phần tử: [K
e
] .{q
e
} = {P
e
}
Bước 4: Ghép nối các phần tử trên mô hình tương thức mà kết quả
là hệ thống phương trình
[K
e
] .{q
e
} = {P
e
}
Trong đó:
[K
e

khó khăn. Kết quả là tìm được chuyển vị của các nút.
Nhưng với b
ài toán phi tuyến thì nghiệm sẽ đạt được sau một
chuỗi các bước lặp mà sau mỗi bước ma trận cứng [K
e
] thay đổi
(trong bài toán phi tuyến vật lý) hay vectơ lực nút {P
e
} thay đổi (trong
bài toán phi tuyến hình học).