PHÒNG GD&ĐT HOÀI ĐỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

(ĐỀ CHÍNH THỨC) NĂM HỌC 2009-2010
MÔN: TOÁN

( Thời gian làm bài 150 phút, không tính thời gian giao đề )
Câu 1:
(3 điểm)
Cho a > 0, b > 0. Rút gọn biểu thức:

a
2
a b
b a
+
+ b
2
a b
b a
+

2
a ab
ab
+
+
2
a ab
ab
+
Câu 2:

2
= NB.NF
c) Chu vi tam giác BMF không đổi khi M di động trên cạnh AB.
Câu 6:
(4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB
=
c, AC=b, đường phân giác trong AD=d. Gọi E, F thứ tự
là hình chiếu của D trên AB và AC.
a) Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF ?
b) Chứng minh:
2
d
=
1
b
+
1
c
c) Chứng minh:
1
sin
2
A
+
1
sin
2
B
+

+ b.
2a b
a b+
=
2 2 )ab a ab b
a b
+
+

=
2 .( )ab a b
a b
+
+
= 2ab
Có:
2
a b
b a
+
+
2
a b
b a
+
=
2
( )
ab
a a b+

0,5đ
0,5đ
Câu 2:
(3 điểm)
áp dụng bất đẳng thức: 2 (a
2
+

b
2
) ≥ (a +

b)
2

⇒
2 (x - 2 +

4 - x) ≥ (
2x −
+

4 x−
)
2
⇔
4 ≥ (
2x −
+
4 x−

4 x−
= 2

⇔

x
2
- 6x + 11 = 2

⇔
x = 3
Kết luận
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
Câu 3:
(3 điểm)
a) Đồ thị HS (d) cắt đt y = -2 tại điểm có hoành độ = 1
Ta có x = 1 thì y = -2
Thay vào tính được m = - 1,5
Kết luận
b) Chia m = 0 thì K/c = 1 ≠
2
m = -1 thì K/c = 0 ≠
2
Vậy có m ≠ 0; m ≠ 1

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 4:
(3 điểm)
Số học sinh dự thi của 2 trường là 480 :
96
100
= 500 (học sinh)
Gọi số học sinh dự thi của trường A là x (x nguyên; 0<x<500)
0,25đ
0,25đ
-1 -1
-1 -1
Phương trình:
94
100
x +

99
100
(500 – x) = 480

⇒
x = 300 (thoả mãn điều kiện)
Vậy số học sinh dự thi của trường A là 300 học sinh
số học sinh dự thi của trường B là: 200 (học sinh)

b) ΔFDN và ΔDBN có FDN = DBN = 45
o
; N chung
⇒
ΔFDN

ΔDBN (g.g)
⇒
ND
2
= NB.NF (đpcm)
c) Chu vi ΔBMF = BM +

BF +

MF = BM +

BF + FN
= BM +

BF +

FC +

CN
= (BM +

AM) +

(BF +

ΔABD
=
2
4
cd; S
ΔACD
=
2
4
bd; S
ΔABC
=
2
4
bc
⇒

2
bd +
2
dc = 2bc
⇒

1
b
+

1
c
=

BC
+
Tương tự có
1
sin
2
B
≥
AB BC
AC
+
;

1
sin
2
C
≥
AC CB
AB
+
Chú ý không đồng thời xẩy ra dấu " = " vì ΔABC không đều
Cộng từng vế chỉ ra được đpcm
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,25đ
0,25đ