Phòng giáo dục
trờng trung học cơ sở
******************
Sáng kiến kinh nghiệm
Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh phơng pháp sử dụng
bất đẳng thức cô-si dạng nghịch đảo
Ng ời thực hiện :
Trờng Trung học cơ sở
H . - T .

tháng 4 năm 2008.
A- Phần mở đầu
I/ Lý do chọn đề tài:
Trong thời kỳ đổi mới của đất nớc thì một trong những yêu cầu của nền giáo
dục là phải tạo ra một lớp ngời mới, năng động sáng tạo. Họ sẵn sàng tiếp nhận cái
mới, những tinh hoa tri thức khoa học của nhân loại, áp dụng một cách khoa học
vào thực tiễn đất nớc. Vậy làm thế nào để phát huy đợc tính chủ động sáng tạo của
học sinh đây là một trong những yêu cầu trớc mắt, nhằm tập dợt khả năng sáng tạo
của học sinh ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trờng.
Hiện nay sách giáo khoa môn toán mới đợc biên soạn theo hớng đổi mới,
phơng pháp dạy học hiện nay là: Tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi
dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực độc
lập sáng tạo nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề rèn luyện khả năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui và hứng
thú học tập cho học sinh. Sách giáo khoa mới có những bài toán mở, mục có thể
em cha biết nhằm khơi dậy và định hớng cho các em sự sáng tạo. Tuy nhiên sự h-
ớng dẫn chỉ bảo tận tình của ngời thày là rất cần thiết.
Nội dung kiến thức về bất đẳng thức đợc trình bày trong chơng IV - Đại số 8
. Đây là một phần kiến thức hay nhng khó đối với học sinh . Bất đẳng thức Cô-Si đ-
ợc giới thiệu trong mục " Có thể bạn cha biết". Nhằm giới thiệu học sinh tìm tòi,
khám phá và sử dụng nó. Vậy để giúp các em làm việc này thì trớc hết ngời thày

+Với hai số không âm a và b ta có :
ab
ba

+
2
(1)
Bất đẳng thức này còn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân do nhà toán học Cô-Si (Cauchy) ngừời Pháp (1789-1857) nghiên cứu.
+Chứng minh:
Với hai số a và b không âm ta có :

0)(
2
ba

02 + baba

abba 2+
Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra a = b .

2/Bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo
+Ta có :
2+
x
y
y
x
Với x.y > 0
Thật vậy : áp dụng (1) với a =

*Chú ý: a =
y
x
và b =
x
y
là hai số nghịch đảo của nhau .
II/ áp dụng :
Để áp dụng bất đẳng thức trên ta cần biến đổi làm xuất hiện các biểu thức có
dạng nghịch đảo " hoàn toàn" hoặc không hoàn toàn tuỳ thuộc vào cái đích mà
bài toán cần đạt tới . Vậy biến đổi nh thế nào ? có những phơng pháp nào ?.
1/Ph ong pháp biến đổi đồng nhất:
3
a, Một số bài toán đơn giản ta chỉ cần thực hiện phép tính nhân hoặc chia là
xuất hiện dạng nghịch đảo.
+Bài toán 1: Cho a ; b ; c là các số dơng , CM rằng :

8)1)(1)(1( +++
a
c
c
b
b
a
(1)
Giải: Ta có VT =
b
a
c
b

a
a
b
b
a
++++++

VP
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
==+++=+++ 82222.2.2.22
Ta có điều phải chứng minh, dấu đẳng thức sảy ra a = b = c .

* Với phơng pháp trên mời các em làm tiếp bài toán sau:
+Bài toán 2: Cho a ; b ; c là các số dơng , CM rằng :

9)
111
)(( ++++
cba

x
x
x
Nên
62
4
++
x
x
Hay A
6
dấu đẳng thức sảy ra
x
x
4
=
x = 2 (vì x > 0 )
Vậy A
min
= 6 x = 2.
4
+Bài toán 4: Cho a, b, c là các số thực dơng thoả mãn a + b +c = 1. Chứng minh
rằng:
2
+
+
+
+
+
+

áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

)(2
))(())((
ba
ac
cbab
cb
caba
+
+
++
+
+
++

)(2
))(())((
)(2
))(())((
cb
ba
bcac
ca
cbab
ca
ba
bcac
cb
caba

C =
52
3568056164
2
234
++
++++
xx
xxxx
.
Gợi ý : Thực hiện phép chia đa thức ta đợc :
C =
52
256
)52.(4
2
2
++
+++
xx
xx
.

b, Đôi khi chúng ta phải "tách" , "nhân trộn" rồi chia mới xuất hiện đợc dạng
nghịch đảo.
+Bài toán5 : Tìm GTNN của :
D =
2
22
)2712)(4816(

=
xx
xxxx
.
)36.13)(36.15(
22
++++
=
)13
36
)(15
36
( ++++
x
x
x
x
Việc làm tiếp theo là rất đơn giản !
+Bài toán 6 : Tìm GTNN của :
E =
2
22
)12022)(3011(
x
xxxx ++++
(với x là số dơng )
* Bài này mời các em tự thực hiện .
2/Ph ơng pháp thêm bớt :
a/ Ta có thể thêm và bớt cùng một số vào biểu thức rồi biến đổi làm xuất hiện dạng
nghịch đảo.

+

+

=
x
x
x
x
Ta có
52
)1(5
.
1
2
)1(5
1
=




+
x
x
x
x
x
x
x

1
2
+

( Với 0 < x < 1 )
Nhận xét: Phải đồng thời làm xuất hiện nhân tử x trên tử và nhân tử (1 - x ) dới
mẫu.
Có
x
x
x
=
1
2
2
1
2
Còn
x
x
x

=
1
1
1
Giải : Ta có B =
31
1
2


+
x
x
x
x
x
x
x
x
Nên có B
322 +
dấu đẳng thức sảy ra
x
x
x
x
=

1
1
2
x =
12
Vậy B min =
322 +
x =
12
.
Bài3: Cho a ; b ; c ; d là các số dơng CM rằng :





+
+
+
+






+
+
+
+






+
+
+

ac
abc

+
+






+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+

a
ba
ac
c


+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+

x
x
( với x > 1 )
E =
2
2
2
2
1
)1(






+
+
++
x
x
x
( với x
1
)
Hớng dẫn : E =
2
2
2
1

=
2
)1(
1
)1(2
2
2
+
+
++
x
x
b, Nhiều khi việc thêm bớt phải dựa trên việc xác định điểm rơi (điểm cực trị).
Bài1: Cho a ; b ; c ; d là các số dơng CM rằng :

dcba
a
d
d
c
c
b
b
a
++++++
2222
Nhận xét: Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d .
Khi ấy :
b
b

+ a
a
d
2
2d

Nh vậy :
)(2
2222
dcbadcba
a
d
d
c
c
b
b
a
++++++++++
Hay
dcba
a
d
d
c
c
b
b
a
++++++

Giải : Ta có :
a
cb
cb
acb
cb
a
=
+
+

+
+
+ 4
.2
4
22
Tơng tự ta có :

+
+
+ 4
2
ca
ca
b

b



cba
ba
c
ac
b
cb
a ++

+
+
+
+
+
.
Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra a = b = c .
* Bằng cách trên mời các em làm tiếp bài toán sau :
Bài3: Cho a ; b ; c là các số dơng . CM rằng:
a,
.
333
bcacab
a
c
c
b
b
a
++++
9
b,

1000000
11
;
10000
1
;
100
1
===
c
b
b
a
a
.
HD giải: Có A =
)
1
1000000
(
100000 0
999999
)
1
10000
(
10000
9999
)
1

2
100
10.99
+++++
=
1000
2
1000
999999
100
2
100
9999
10
2
10
99
+++++
=
Bài 2: Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn : x + y = 1 . Tìm GTNN của:
B =
)
1
)(
1
(
2
2
2
2

22
==
yx
yx
Giải : Ta có B =
2222
22
256
255
)
256
1
(
yxyx
yx ++
Có
8
1
256
1
.2
256
1
22
22
22
22
=+
yx
yx

A =
.
111
cba
cba +++++
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng

cba
111
++
Dự đoán điểm rơi là
2
1
=== cba
khi đó
c
c
b
b
a
a
4
1
;4
1
;4
1
===
Giải : Có A =
)(3)


+
c
c
1
4
4
Còn - 3 ( a+b+c )
2
9

Vậy A
2
15

dấu đẳng thức xảy ra
2
1
=== cba
Amin =
2
15

2
1
=== cba
11
Bài 4: Cho a ; b ; c là các số dơng thoả mãn :
6
111

Giải :Ta có:
1
4
1
.2
4
1
=+
a
a
a
a
Tơng tự
+
b
b
4
1

1

+
c
c
4
1

1
Còn
2

Nên :
2
3
++ cba

6
111
++
cba
Tuy nhiên mỗi bài lại phải có cách tách khác nhau .Ta sẽ có bài toán mới nếu ta
thay giả thiết là : a ; b ; c là các số dơng thoả mãn:

++
22
ba
4
3
2
c
Hoặc:









+

4
5
23
4
5
23
22
22
22
ac
cb
ba
12
Bài 5 : Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn :
1
22
=+ yx
Tìm GTNN của:
C =
)
1
1)(1()
1
1)(1(
x
y
y
x +++++
Nhận xét :
2

2
1
()
2
1
( ++++++++=
yxx
y
y
x
y
y
x
xC
Có:
2
2
1
.2
2
1
=+
x
x
x
x
Tơng tự :
+
y
y


Bài 5 : Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn :
6+ yx
Tìm GTNN của:
D =
yx
yx
86
23 +++
Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng

yx
86
+
Rõ ràng với x = y = 3 không giải quyết đợc vấn đề, phải chăng
yx

?
Thử tới x = 2 ; y = 4 thì ổn . Khi đó :
y
y
x
x
8
2
;
2
36
==
Giải : Ta có

xD
dấu đẳng thức xảy ra x = 2 ; y = 4
13
Vậy Dmin = 19 x = 2 ; y = 4 .
Bài 7: Giả sử x
1
và x
2
là các nghiệm của phơng trình : x
2
- 4x +7 - m = 0 (1)
với m là tham số . Tìm GTLN của :
22
21
7
1
xx
xxP =
.
Nhận xét: Trớc hết ta phải tìm m để (1) có nghiệm , đó cũng là cơ sở để xác định
điểm rơi .
Giải : Ptrình (1) có nghiệm
0


074
+
m

3

(
9
81
=+++=+
m
m
m
mm
m
m
dấu đẳng thức xảy ra m = 3 ( T/m điều kiện)
Nên
)
1
(7
1
7
m
m
m
mP +==
3
11
3
10
7 =
Vậy Pmax =
3
11
m = 3.

acb
a
A
+
+
+
+
+
=
1694
14
Hd : Đặt b + c - a = 2x thì có : x , y , z dơng và a = y + z
a + c - b = 2y b = z + x
a + b - c = 2z c = x + y
Khi đó
z
yx
y
xz
x
zy
A
+
+
+
+
+
= .16.9.4.2
=
)

+
+
+
+
+
=
1625
>8 .
HDẫn: Đặt : b + c = 2x
c + a = 2y
a + b = 2z
Ta có : a = -x + y + z ; b = x y + z ; c = x + y z
và x ; y ; z là các số dơng .
Khi đó ta có :
z
zyx
y
zyx
x
zyx
P
22
)(16
2
)(25 +
+
+
+
++
=

x
z
y
x
x
y
++++++=
>
Bài 3: Cho a ; b ; c là các số dơng . CMrằng :

4
3
222

++
+
++
+
++ bac
c
acb
b
cba
a
Hớng dẫn: Đặt x = 2a+b+c; y = 2b+c+a; z = 2c+a+b thì suy ra:
x; y; z là các số dơng và:
3x (y+z) = 4a; 3y (x+z) = 4b; 3z (x+y) = 4c.
Từ đó với
bac
c

x
z
z
x
x
y
y
x
z
yxz
y
zxy
x
zyx
T
*Bằng cách tơng tự mời các em giải bài toán sau:
Bài 4: Cho a ; b ; c là các số dơng . CMrằng :

.
2
3

+
+
+
+
+ ba
c
ac
b

11
)(( ++
ba
ba


baba +
+
411
(2)
b/ Tổng quát hoá bài toán ta có:
+
9)
111
)(( ++++
cba
cba
với a , b , c là các số dơng.
+
2
21
21
)
1

11
)( ( n
aaa
aaa
n

ab
ba
C ++
+
=
Bài tập 2 : Cho a ; b ; c là 3 số dơng . CMrằng :
).
111
(
4
1
2
1
2
1
2
1
,
cbacbacbacba
a ++
++
+
++
+
++
.
2
1
2
1


+

+

với p là nửa chu vi .
Bài tập 4: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn :
3++ cba
CMrằng:

.
2
31
1
1
1
1
,
+
+
+
+
+ acba
a

.
2
3
1
1

Bài tập 6: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn :
4
111
=++
cba
CMrằng:

.1
2
1
2
1
2
1

++
+
++
+
++ cbacbacba
Bài tập 7: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn :
3
222
++ cba
Tìm GTNN:

bcacab
P
+
+

a
aA
1
=
b) Cho
2
1
0 a
Tìm GTNN của
b
aB
3
2 +=
Bài tập 10: Cho a ; b là 2 số dơng thoả mãn :
2008
2009
=+ ba
Tìm GTNN của:

2008
12008
+=
a
P
Bài tập 11: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn : Tìm GTNN của:

c
ba
b
ac

việc tham khảo ý kiến đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và nhà trờng .
- Từ 3/2007 đến 4/2007 : Triển khai hớng dẫn học sinh .
- Từ 4/2007 đến 15/5/2007 : Tổ chức dạy nâng cao cho học sinh khá
giỏi , kết hợp với việc kiểm tra đánh giá học sinh .
Năm học 2007-2008:
- Từ 7/ 2007 đến 10/2007: Chỉnh sửa và hoàn thiện đề tài.
- Từ 1/ 2008 đến 3/ 2008: Tổ chức dạy cho HS lớp 9 dự thi HSG cấp tỉnh.
-Từ 4/2008 đến 5/ 2008: Đánh giá kết quả việc thực hiện đề tài.
D/Kết quả đạt đợc
Với việc triển khai đề tài này thì bớc đầu tôi đã thu đợc một số kết quả đáng
khích lệ:
+ Học sinh đã tự tin và chủ động hơn trong việc học phần kiến thức này.
17
+ Đa số các em đã tự giải quyết đợc các bài toán về BĐT và các bài toán có liên
quan trong chơng trình.
+ Các em ở đối tợng khá, giỏi đã giải đợc các bài toán trong các sách tham khảo.
+ Khích lệ hơn nữa khả năng chủ động sáng tạo trong việc học tập bộ môn.
+ Kết quả khảo sát : - Loại Giỏi : 36%
- Loại Khá : 47 %
- Loại Tb : 17%
+ Trong kỳ thi HSG cấp tỉnh năm học 2007- 2008 đã có 3 em đạt giải trong đó
có hai giải ba.
E /Kết luận
Trong việc dạy và học nhất là đối với môn toán thì việc tổ chức cho học sinh
chủ động sáng tạo trong việc nắm bắt và vận dụng kiến thức là rất quan trọng .Sau
đó việc hớng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu là rất cần thiết. Cho nên ở mỗi
đơn vị kiến thức nhất là đối với phần kiến thức mở trớc hết ngời dạy phải đầu t thời
gian tìm tòi nghiên cứu kiến thức, tìm phơng pháp hớng dẫn cho học sinh học tập
một cách tích cực chủ động. Có nh vậy thì việc dạy và học mới đạt hiệu quả cao, và
trớc hết là rèn cho học sinh những phẩm chất của ngời lao động mới năng động