Mục lục

Nội dung : trang
phần I: ĐặT VấN Đề 2-3
Phần II: nội dung
A ) quy trình giải bài toán bằng phơng pháp véc tơ 4-5
b) các bài tập minh hoạ 6-12
i) dành cho học sinh trung bình khá 6-8
ii) dành cho học sinh khá giỏi 9-11
C) BàI TậP THAM KHảO 12
D) KếT LUậN 12
PHầN I đặt vấn đề
I ) Lý do chọn đề tài
1) Từ thực tế giảng dạy :
- ở sách giáo khoa chơng trình mới hiện nay đã giảm tải nhiều , phần vectơ
trong không gian đợc trình bày kỹ càng hơn, khuyến khích đợc học sinh sử
dụng hơn so với chơng trình cũ. Song ở sách giáo khoa, kể cả sách bài tập và
các tài liệu tham khảo cũng cha đa ra phơng pháp cụ thể cho từng phần mà chỉ
đa ra các ví dụ rồi giải. mà thời lợng chơng trình nga không có thời gian để
giáo viên hớng dẫn cụ thể cho học sinh.
1
- Chất lợng học sinh trờng thpt dtnt thấp hơn so với các trờng thpt ở miền
xuôi, học lực lại phân hoá không đồng đều . khi học phần vectơ trong không
gian thì đa số học sinh còn lúng túng trong việc chọn và thực hiện các phép
biến đổi về vectơ, các em có xu thế chon phơng pháp thông thờng ( đòi hỏi
phải có t duy, trí tởng tợng cao và phải vẽ hình phức tạp ), điều này là khó đối
với đa số học sinh. nên nhiều bài toán dẫn đến phức tạp và dẫn đến các em
ngại học môn hình. Trong khi Nhiều bài toán hình học không gian, nếu giải
bằng phơng pháp vectơ thì lời giải sẽ ngắn gọn và đặc biệt tránh đợc việc phải
vẽ hình phức tạp.
-

Phần 2 - Nội dung
A quy trình giải bài toán bằng ph ơng pháp véc tơ
1) quy trình
B ớc 1 : lựa chọn một bộ ba véc tơ không đồng phẳng làm hệ véc tơ gốc . Nên
- chọn bộ ba véc tơ xuất phát từ một đỉnh.
- u tiên chọn các véc tơ dã biết độ dài và góc của của hai vecf tơ tơng ứng(đặc
biệt là góc vuông).
B ớc 2: chuyển các giả thiết ,kết luận hình học của bài toán sang ngôn ngữ véc tơ
và biểu diễn các véc tơ liên quan theo hệ véc tơ gốc
2) các dạng hình học chuyển đổi cơ bản:
Giả thiết hình học Ngôn ngữ véc tơ (có thể)
Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng
AB
( )
OBOAOM
MBMA
ABAM
+=
=+
=
2
1
0
2
1
G là trọng tâm tam giác ABC
( )
OCOBOAOM
GCGBGA
++=

+= MPyMNxAB
Bài toán 2: Chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh trong mặt phẳng này
chứa hai đờng thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.( sử dụng bài toán 1
hai lần)
Bài toán 3: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc :
Để chứng minh a

b ta chứng minh
0.
21
=

uu
, trong đó

21
,uu
lần lợt là chỉ phơng của
a và b.
Bài toán 4: Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng :
Để chứng minh
)(ABCMN
ta chứng minh





=
=


*) Gọi

là góc giữa đờng thẳng a và mặt phẳng(P).
Cách1: Ta đa về bài toán xác định góc của đờng thẳng a và đờng thẳng a là hình chiếu
của a lên (P) .sau đó thực hiện nh bài toán xác định góc của hai đờng thẳng .
Cách2: Ta đa về bài toán xác định góc của đờng thẳng a và đờng thẳng b là hình chiếu
của a lên (P) và chú ý



==
21
21
21
.
.
),cos(sin
uu
uu
uu

( trong đó

21
,uu
lần lợt là chỉ ph-
ơng của a và b)
*): Gọi


(trong đó

cba ,,
là bộ ba vectơ đôi một không cùng phơng, đợc xuất phát từ một điểm và
4

cba ,,
, các tích vô hớng

ba .
,

cb .,
,

ac .
là tính đợc và
MNczbyaxMN
++=

22
)()(
B)Các bài tập minh hoạ:
I )dành cho học sinh trung bình khá
Ví dụ1
Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác

Gọi
I
là trung điểm của
BD
, khi đó :

++= CMACAIGM
3
2

)(
3
1
).(
2
1
.
3
2

+++= bcbca


+= ba
3
2
3
1




)//(ABCMG
Vídụ2 (Bài tập 4 SGK trang 91
Cho hình hộp
////
. DCBAABCD
. Gọi
NM ,
lần lợt là trung điểm của
CD
và
/
DD
. Gọi
21
,GG
lần lợt là trọng tâm của các tứ diện
MNDA
//
và
//
DBCC
.
Chứng minh :
)//(
//
21
AABBGG
.
Giải:

4
1
//
2


+++= ADACACABAG
Từ đó:
)(
4
1
////
1221


+++== NDMCCDBAAGAGGG
5
M
I
G
D
c
b
a
C
B
A
c
ba
N

(
4
1
AAABcaccacaca


)//(
//
21
AABBGG
N hận xét: Nếu không sử dụng phơng pháp vectơ thì bài toán này sẽ rất khó vẽ hình
vì xác định đợc trọng tâm cuả hai tứ diện ta phải vẽ rất nhiều đờng và đơng nhiên
việc chứng minh củng nh vậy.
ở ví dụ này ta đã chon hệ véc tơ gốc cùng điểm đầu là A
Ta đã chuyển đổi các giả thuyết hình học sang ngôn ngữ vectơ
1
G
là trọng tâm của tứ diện
MNDA
//
nên
)(
4
1
//
1



+++= ANAMADAAAG

Đặt :



=== cAAbADaAB
/
,,
Ta co


= caBA
/
,


+= baCA
//


++= NCCDPDPN
////
)(
2
1
2
1
2
1
///


)//(
//
BCAMP
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
)//()(
//
BCAMNP
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều
///
. CBAABC
có tất cả các cạnh đều bằng
a
.
M

là trung điểm của
/
BB
. Chứng minh
/
BCAM
Giải:
Đặt :



=== cBBbBCaBA
/
,,

/
===



aabacBCAM

/
BCAM
Ví dụ 5:
6
c
B
/
P
b
a
N
M
D
/
C
/
A
/
D
C
B
A
M









SCBH
SABH
ACBH
Khi đó:
0).(.
0).(.
=++=
=+=


BCSKASHABCHK
SCBKHBSCHK
)(SBCHK
Ví dụ 6:
Cho hình chóp
ABCS.
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
24
.
2=SA

2
1

+= baAN
và
62=AN
12.
4
1
4
1
)(
2
1
).
2
1
(.
2
=+=++=

baabaacANSM
Gọi

là góc giữa hai đờng thẳng
SM
và
AN
, thì
0

.
NM ,
lần lợt là trung điểm của
AE
và
BC
.
Chứng minh
BDMN

.
( trích đề thi ĐH khối B năm 2007 )
Giải:
7
K
H
C
B
A
S
c
b
a
M
N
S
B
C
A
Gọi

2
3

= bBD 2
BDMNbcaBDMN ==

0)2).(
2
1
2
3
(.
Ví dụ 2:
Cho hình chóp
ABCDS.
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Tam giác
SAD
đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
PNM ,,
lần lợt là trung điểm của các
cạnh
CDBCSB ,,
. Chứng minh:
BPAM
( trích đề thi ĐH khối A năm 2007 )Giải:

.
22
22
===

ABHAbaBPAM
BPAM

Ví dụ 3:
Cho hình chóp
ABCDS.
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật ,
aAB
=
,
AD
=
2a
.
)( ABCDSA
,
M
là trung điểm của
AD
. Chứng minh :
)()( SMBSAC
.
( trích đề thi ĐH khối B năm 2006 )

a
P
N
M
E
O
S
D
C
B
A
c
b
a
P
N
M
H
S
D
B
C
A
b
c
a
D
M
B
C

trên
SB
. Tính khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
)(SCD
.
( Đề thi đại học khối D năm 2007)
Giải
Đặt

=== cASbADaAB ,,
Ta có:
0.,0.,0. ===

bacbca

=+== cbSDcbaSCcaSB ,
2
1
,
Gọi
I
là chân đờng vuông góc hạ từ
H
lên mặt phẳng
HISCDHdSCD = ))(;()(
Khi đó :

+= SIH SHI




=+
=++






=
=




3
1
6
5
0)
3
2
()
2
(
0)
3
2

1
12
1
6
1
2
a
cbaHIcbaHI =++=++=

Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều
ABCDS.
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
.
E
là
điểm đối xứng của
D
qua trung điểm của
SA
.
NM ,
lần lợt là trung điểm của
AE
và
BC
. Tính khoảng cách giữa
MN


= ca
2
1
2
3

= aAC 2
Gọi
PQ
là đoạn vuông góc chung của
MN
và
AC
, ta có:
9
H
D
B
C
A
S
c
b
a
P
N
M
E
O






=
=








=+
=+++






=
=




2

1
2
22
a
PQ
a
OBPQbPQ ====

C) Bài tập tham khảo :
Bài 1: cho tứ diện ABCD . Gọi
321
,, GGG
lần lợt là trọng tâm của các tam giác ABC,
ACD, ABD . Chứng minh rằng
)(
321
GGG
// (BCD).
Bài 2:Cho hình chóp
ABCDS.
có đáy là hình thoi cạnh
a
tâm
O
.
)(ABCDSO
, cạnh
bên
aSB
=

)(SBI
Bài4: Cho hình lăng trụ tam giác
///
. CBAABC
. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của
//
,CCAA
và G là trọng tâm
///
CBA
.
a) Chứng minh
)//(
/
NABMG
Chứng minh
)//()(
//
NABMGC
Bài 5:Cho tứ diện
ABCS.
, có
ABCASC ==
2a=
,
)(ABCSC
. Tam giác
ABC
vuông
tại

BA
/
và
DB
/
.
D) Kết luận
Phơng pháp vectơ giải toán hình học không gian giúp học sinh có thể chuyển bài
toán phức tạp thành bài toán đơn giản và sử dụnh các phép biển đổi vectơ để thực hiện.
Tuy nhiên, đây không phải phơng pháp tối u cho tất cả các bài toán .Vì vậy khi giải
toán hình học không gian học sinh cần lu ý lựa chọn ,kết hợp các phơng pháp khác
nhau để giải toán một cách đơn giản nhất.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song đề tài vẫn còn nhiều chỗ cần phải bổ sung. Vì vậy
tôi rất mong có sự góp ý của bạn đọc, đồng nghiệp và học sinh.
Thanh hoá ngày 20 tháng 3năm 2010
Giáo viên
11