Đề số 1
Bài 1: (2 điểm)
1) Chứng minh rằng nếu P và 2P + 1 là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì 4P + 1 là
hợp số.
2) Hãy tìm BSCNN của ba số tự nhiên liên tiếp.
Bài 2: (2 điểm)
Hãy thay các chữ số vào các chữ cái x, y trong
04020 yxN =
để N chia hết cho 13.
Bài 3: (2 điểm)
Vòi nớc I chảy vào đầy bể trong 6 giờ 30 phút. Vòi nớc II chảy vào đầy bể
trong 11 giờ 40 phút. Nếu vòi nớc I chảy vào trong 3 giờ; vòi nớc II chảy vào
trong 5 giờ 25 phút thì lợng nớc chảy vào bể ở vòi nào nhiều hơn. Khi đó lợng nớc
trong bể đợc bao nhiêu phần trăm của bể.
Bài 4: (2 điểm)
Bạn Huệ nghĩ ra một số có ba chữ số mà khi viết ngợc lại cũng đợc một số có
ba chữ số nhỏ hơn số ban đầu. Nếu lấy hiệu giữa số lớn và số bé của hai số đó thì
đợc 396. Bạn Dung cũng nghĩ ra một số thoả mãn điều kiện trên.
Hỏi có bao nhiêu số có tính chất trên, hãy tìm các số ấy.
Bài 5: (2 điểm)
Chứng minh rằng: một số có chẵn chữ số chia hết cho 11 thì hiệu giữa tổng các
chữ số đứng ở vị trí chẵn và tổng các chữ số đứng ở vị trí lẻ, kể từ trái qua
phải chia hết cho 11.
(Biết
110
2

n
và
110
12

và
2003
2=B
So sánh A và B.
3) Tìm số nguyên tố P để P + 6; P + 8; P + 12; P +14 đều là các số nguyên tố.
Câu 3: (4 điểm)
Có 3 bình, nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi rót hết lợng nớc đó vào hai
bình còn lại, ta thấy: Nếu bình thứ hai đầy thì bình thứ ba chỉ đợc 1/3 dung tích.
Nếu bình thứ ba đầy thì bình thứ hai chỉ đợc 1/2 dung tích. Tính dung tích mỗi
bình, biết rằng tổng dung tích ba bình là 180 lít.
Câu 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho
CM = 3cm.
a) Tính độ dài BM.
b) Biết BAM = 80
0
, BAC = 60
0
. Tính CAM.
c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm.
Câu 5: (2 điểm) Cho
na ++++= 321
và
12 += nb
( Với n N,
2n
).
Chứng minh: a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.
Đề số 3
Câu 1: (4 điểm) Hãy xác định câu nào đúng, câu nào sai trong các câu sau:

1
++++=A
. So sánh A với 1 ?
3. Tìm số nguyên tố p để p, p + 2 và p + 4 đều là các số nguyên tố.
Câu 3: (5 điểm)
1. Một lớp học có cha đến 50 học sinh. Cuối năm xếp loại học lực gồm 3 loại:
Giỏi, Khá, Trung bình, trong đó 1/16 số học sinh của lớp xếp loại trung bình, 5/6
số học sinh của lớp xếp loại giỏi, còn lại xếp loại khá. Tính số học sinh khá của
lớp.
2. Có thể rút gọn
78
65
+
+
n
n
(n Z) cho những số nguyên nào ?
Câu 4: (3 điểm) Trên tia Ax lấy hai điểm B, C sao cho AB = 5cm; BC = 2 cm.
a) Tính AC.
b) Điểm C nằm ngoài đờng thẳng AB biết góc AOB bằng 55
0
và góc BOC bằng
25
0
. Tính góc AOC ?
Câu 5: (2 điểm) Tìm số tự nhiên n biết:
2004
2003
)1(
2

nn
S
+
++++=
Chứng minh: S < 1

3) So sánh:
2004.2003
12004.2003
và
2005.2004
12005.2004

Câu 2: (2 điểm)
1) Tìm số nguyên tố P sao cho số nguyên tố P + 2 và P +10 là số
nguyên tố
2) Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ hơn 10 của x và y sao cho 3x - 4y = - 21
3)Cho phân số:

)1;(
1
5

+

= nZn
n
n
A
a) Tìm n để A nguyên.



b) Tìm x biết:













=










3
1
8


66.63
2
63.60
2
++++=A
và
2003
5
80.76
5

48.44
5
44.40
5
++++=B
Bài 3: (2 điểm) Chứng minh rằng số:
3/2003
2/2001
333 33300222 222
sc
sc
là hợp số.
Bài 4: (2 điểm)
Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia nhau một số kẹo đựng trong 6 gói. Gói thứ nhất
có 31 chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc, gói thứ t có 18 chiếc,

2007
2006

4
2006
3
2006
2
2006
++++
++++
=C
Câu 2: (5 điểm)
1) Tìm các giá trị của a để số
5123a
a) Chia hết cho 15
b) Chia hết cho 45
2) Ba xe ô tô bắt đầu cùng khởi hành lúc 6 giờ sáng, từ cùng một bến. Thời gian cả
đi và về của xe thứ nhất là 42 phút, của xe thứ hai là 48 phút, của xe thứ ba là 36
phút. Mỗi chuyến khi trở về bến, xe thứ nhất nghỉ 8 phút rồi đi tiếp, xe thứ hai nghỉ
12 phút rồi đi tiếp, xe thứ ba nghỉ 4 phút rồi đi tiếp. Hỏi 3 xe lại cùng khởi hành từ
bến lần thứ hai lúc mấy giờ ?
Câu 3: (3 điểm)
Cho P là số nguyên tố lớn hơn 3 và 5p +1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh
rằng 7p +1 là hợp số.
Câu 4: (3 điểm)
Tia OC là phân giác của góc AOB, vẽ tia OM sao cho góc BMO = 20
0
. Biết
góc AOB = 144

b) Tìm một số tự nhiên, biết rằng số đó chia cho 26 thì ta sẽ đợc số d bằng hai lần
bình phơng của số thơng.
Câu 3: (2 điểm)
a) Một ngời nói với bạn: Nếu tôi sống đến 100 tuổi thì
7
6
của
10
7
số tuổi của tôi
sẽ lớn hơn
5
2
của
8
7
thời gian tôi còn phải sống là 3. Hỏi ngời ấy bây giờ bao
nhiêu tuổi ?
b) Một số tự nhiên chia cho 4 thì d 3, chia cho 17 thì d 9 còn chia cho 19 d 13. Hỏi
số đó chia cho 1292 thì d bao nhiêu ?
Câu 4: (2 điểm) Ngời ta viết dãy số tự nhiên liên tiếp: 4; 11; 18; 25.Hỏi:
a) Số 2007 có thuộc dãy số trên không ? Vì sao ?
b) số thứ 659 là số nào ?
Câu 5: (2 điểm)
Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung
điểm của OA, OB.
a) Chứng tỏ OA < OB.
b) Trong 3 điểm M, O, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
c) Chứng tỏ rằng độ dài của đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của
điểm O.

chia cho 2; 5 và 9 đều d 1.
Đề số 9
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính
340
1
238
1
154
1
88
1
40
1
10
1
+++++=A
b) So sánh:
910
20042004 +
và
10
2005
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm các số nguyên x sao cho 4x-3 chia hết cho x-2.
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
7
b) Tìm các số tự nhiên a và b để thoả mãn
28
29

1

4.3.2
1
3.2.1
1
+++=S
b) Chứng minh:
462
57
9240
1

60
1
24
1
6
1
2
1
>






++++=A
Câu 2: (2 điểm) Cho

b) Gọi M
1
, M
2
, M
3
, M
4
, lần lợt là trung điểm của các đoạn AB, M
1
B, M
2
B,
M
3
B, Tính độ dài của đoạn thẳng AM
8
.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm các bộ ba số tự nhiên a, b, c khác 0 thoả mãn:
5
4111
=++
cba
Đề số 11
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính tổng:
100001.9999910001.99991001.999101.9911.9 ++++=S
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số trong đó có đúng hai chữ số 3.
Câu 2: (2 điểm)

, góc yOz bằng 130
0
.
a) Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy, Oz của góc yOz.
b) Tính góc tOv.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng:
11810 += nA
n
chia hết cho 81 (n là số tự nhiên).
Đề số 12
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính
5
1
1.
8
5
5625,0:375,08
7
5
:
7
3
5
7
1
6
3
10

a) Tính tổng A.
b) Chứng minh rằng
130A
.
c) A có phải là số chính phơng không ? Vì sao ?
2) Tìm n Z để
31313
2
++ nnn
Câu 3: (2 điểm )
Quãng đờng AB gồm một đoạn lên dốc, một đoạn xuống dốc. Một ô tô đi từ
A đến B hết 2,5 giờ và đi từ B đến A hết 4 giờ. Khi lên dốc (cả lúc đi và lúc về) vận
tốc của ô tô là 20 km/h. Khi xuống dốc (cả lúc đi lẫn về), vận tốc của ô tô là 30
km/h. Tính quãng đờng AB.
Câu 4: (2 điểm)
Cho hai tia Oz và Ot là hai tia nằm giữa hai cạnh của góc xOy sao cho xOz = yOt
= 40
0
.
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
10
a) So sánh góc xOt và yOz.
b) Cho góc zOt = 20
0
. Tính góc xOy.
Câu 5: (2 điểm)
Cho 14 số tự nhiên có 3 chữ số. Chứng minh rằng trong 14 số đó tồn tại 2 số mà
khi viết liên tiếp nhau thì tạo thành số có 6 chữ số chia hết cho 13.
Đề số 13
Bài 1: (2 điểm)

cùng nhau.
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
11
Đề số 14
Câu 1: (2 điểm)
a) Rút gọn:
401
1
41
5
29
5
5
2005
4
41
4
29
4
4
:
2005
3
43
3
19
3
3
2004
2

; AOC = 30
0
b) AOB = 130
0
; AOC = 80
0
Câu 5: (1 điểm)
Viết thời gian trong một ngày(tính bằng giây) bằng cách dùng chữ số La Mã.
Đề số 15
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm chữ số tận cùng của số A =
20052005
32 +

b) So sánh:
12004
12004
2004
2003
+
+
=A
;
12004
12004
2005
2004
+
+
=B

Cho
12
1

4
1
3
1
2
1
1
100

+++++=P
. Chứng tỏ rằng P > 50
Đề số 16
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính:
2005.2004
2

15
1
10
1
6
1
3
1
+++++=M

10032
2
1

2
1
2
1
2
1
1 +++++=A
và B = 2.
Đề số 17
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính nhanh:
13
11
13
7
13
17
13
2004
13
2004
5
17
5
7
5

20044659 =+ yx
Bài 3: (2 điểm)
Trong một hội nghị học sinh giỏi, số học sinh nữ chiếm 2/5, trong đó 3/8 số nữ là
học sinh lớp 6. Trong số học sinh nam dự hội nghị 2/9 là số học sinh lớp 6. Biết số
học sinh dự hội nghị khoảng từ 100 đến 150. Tính số học sinh nam, số học sinh nữ
lớp 6.
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
14
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AB, N là điểm nằm giữa M và B.
a) Biết ABC = 85
0
, ACM = 50
0
, BCN = 20
0
. Tính BCM và MCN.
b) Biết AN = a, BN = b. Tính MN.
Bài 5: (1 điểm)
Tính
22222
10099 321 +++++=S
Đề số 18
Câu 1: (2 điểm) Tính:
a)
32.24.816.12.48.6.24.3
32.16.816.8.48.4.24.2
+++
+++
b)

Đề số 19
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính
5
3
16.65,5
20
1
7
05,0:8
2
1
6
+














=M
b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với

0
a) Tính zOt
b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của zOy.
c) Tính zOt nếu xOz = , yOt =
)180(
0
+

Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng:
2
1
4010
1

6
1
4
1
2
1
2222
<++++
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
16
Đề số 20
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính:



7
6
5
3
2
3
3
2
23
A
b) Tìm chữ số x để
3)3212( x+
Bài 2: (2 điểm) Tổng
18
1
17
1

3
1
2
1
1 +++++
bằng
b
a
với
b
a
là phân số tối giản.

+
+
+
+
Đề số 21
Câu 1: (2 điểm) Tính
a)
123 9899100101
123 9899100101
++++
+++++++
=A
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
17
b)
423134846267.423133
423133846267.423134
+

=B
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng:
810
28
+
chia hết cho 72.
b) Cho
20022001432
22 2223 ++++++=A
và

Đề số 22
Câu 1: (2 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau bằng phơng pháp hợp lí:
a)
61.59
4

9.7
4
7.5
4
+++
b)
9
11
9
7
9
13
9
1001
9
13
3
1001
3
11
3
7
3
3

; AOB = 75
0
; xOC
= 40
0
a) Tính các góc xOA, xOB.
b) Chứng tỏ ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm các số nguyên x, y sao cho:
4)3.()2(
2
= yx
Đề số 23
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính hợp lí
4
1
.
3
1
.
2
1
4
1
3
1
2
1
4

a) Chứng minh rằng
1732 yx +
khi và chỉ khi
1759 yx +
.
b) Gọi S(N) là tổng các chữ số của N. Tìm N biết N + S(N) = 94.
Bài 4: (3 điểm)
Cho các tia OB, OC thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA. Gọi OM là
tia phân giác của BOC. Tính AOM biết rằng:
a) AOB =100

; AOC = 60
0
b) AOB = m ; AOC = n (m > n)
c) Vẽ p tia chung gốc. Trong hình vẽ có bao nhiêu góc.
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng tổng sau không là số chính phơng:
cabbcaabcA ++=
Đề số 24
Bài 1: ( 2 điểm) Tính nhanh:
a)






+++



mảnh thành 5 mảnh nhỏ hơn. Hỏi sau một số lần xé liên tục nh vậy ta có thể có đ-
ợc 2004 mảnh, 2005 mảnh hay không ?
2) Tìm số có hai chữ số khác nhau dạng
ab
sao cho
ba
cũng là số nguyên tố và
hiệu
baab
là số chính phơng.
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
20
Bài 4: (3 điểm) Cho đờng thẳng xx và một điểm O thuộc đờng thẳng ấy. Hai
điểm A, B nằm trong cùng một nửa của mặt phẳng bờ xx và một điểm C nằm
trong nửa mặt phẳng đối vủa nửa mặt phẳng bờ xx có chứa điểm A.
Biết xOB = 115
0
; AOB = 75
0
; xOC = 40
0
.
a) Chứng minh rằng OA nằm giữa hai tia OB, Ox.
b) Tính xOA, xOB.
c) Chứng tỏ ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Bài 5: (1 điểm) Tính giá trị của biểu thức:

2005.2004 4.33.22.1
1.2004 2002.32003.22004.1
++++

2
1
++++=A
Bài 3: (2 điểm)
Để trở hết một số hàng có thể dùng một ô tô lớn chở 12 chuyến hoặc một ô
tô nhỏ chở 15 chuyến. Ô tô lớn chở một số chuyến rồi chuyển sang làm việc khác,
ô tô nhỏ chở tiếp cho xong. Nh vậy 2 xe chở tổng cộng 14 chuyến. Hỏi mỗi ô tô
chở mấy chuyến?
Bài 4: (2 điểm)
Tìm hai số tự nhiên liên tiếp, trong đó có một số chia hết cho 9 và tổng của
hai số đó là một số có đặc điểm sau:
- Có 3 chữ số
- Là một bội số của 5
- Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị chia hết cho 9
- Tổng của chữ số hàng trăm và chữ hàng chục chia hết cho 4.
Bài 5: (2 điểm)
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
21
Cho góc AOB. Goi Ot là tia phân giác của góc AOB, Om là tia phân giác của
góc AOt. Tìm giá trị lớn nhất của góc AOm.
Đề số 26
Bài 1: (5 điểm)
a) Biết rằng số
987 xxx
chia hết cho 7, cho 11, cho 13. Tìm số đó ?
b) Bạn An nghĩ ra hai số tự nhiên liên tiếp trong đó có một số chia hết cho 9. Tổng
của hai số đó là một số có đặc điểm sau:
1. Có ba chữ số
2. Là bội của số 5
3. Tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là một bội số của 9.

8
1
)37,0(
4
3
4 +++++=A
11124
956
63.8
120.69.4

+
=B
Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm các số nguyên dơng a và b sao cho:
2
)1(13 +=+ b
a
b) Cho các số nguyên dơng a, b, x, y thoả mãn các đẳng thức: a + b = x + y;
ab + a = xy. Chứng tỏ rằng x = y.
Bài 3: (2 điểm)
Chứng minh rằng:
4
3
2005
1

4
1
3

1

3
2002
2
2003
1
2004
2005
1

4
1
3
1
2
1
++++
++++
=P
Đề số 28
Bài 1: (2 điểm) Tính:
200420022000 161412108642 ++++++=A
12 222
200320042005
=B
Bài 2: (2 điểm)
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
23
1) Một số tự nhiên khi cho 15 d 5, chia cho 18 d 17. Hỏi số đó khi chia cho 90 d

ợc thơng là các số tự nhiên.
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:
132
2323
+++
+++
nnnn
chia hết cho 10.
b) Tìm x biết:
570)100( )3()2()1( =++++++++ xxxx
Câu 3: (2 điểm)
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
24
I
H
G
C
A
F
E
B
D
Hai bạn Hồng và Hà đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan.
Hồng đa cho cô bán hàng 2 tờ 100000 đồng và đợc trả lại 72000 đồng. Hà nói: Cô
tính sai rồi. Em hãy cho biết Hà nói đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
Bài 4: (3 điểm)
Trong hình vẽ bên:
a) Có bao nhiêu tam giác nhận EF làm cạnh ?
b) Có bao nhiêu góc có đỉnh là E ?

1
++++=A
b) Cho
20042003432
33 3334 ++++++=B
và
2005
3=C
So sánh B và C.
c) Tìm chữ số tận cùng của số
nnnn
A 2323
22
+=
++
(với n N)
Bài 2: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 3 thì d 1, chia cho 4 thì d 2, chia cho 5 thì
d 3, chia cho 6 thì d 4 và chia hết cho 13.
Bài 3: (2 điểm)
Vào lúc 12 giờ hai kim phút và kim giờ trùng nhau. Hỏi sau ít nhất thời gian
bao lâu kim phút và kim giờ lại trùng nhau ?
Bài 4: (2 điểm)
Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là
trung điểm của OA, OB.
a) Chứng tỏ OA < OB.
b) Trong 3 điểm M, O, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán HVH_THCS tân thanh LG (0976471036)
25