Bài tập toán Đại số_Giải tích 11. Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
Bài 1. góc và cung lợng giác.
1. Đổi số đo các góc sau ra radian:
a) 32
0
30 b) 150
0
39 c) 47
0
23 d) 225
0
36 e) 1845
0
f) -480
0
g) -184
0
32
2. Đổi số đo các góc sau ra độ:
a)
16
5

b)
5
7

c)
18
5
d)

e)
2
17

6. Trên đờng tròn lợng giác, xác định các điểm M khác nhau biết rằng cung AM có số
đo:
a) k b)
3

k
c)
3
2

k
d)
2
3

k
7. Trên đờng tròn lợng giác, xác định các điểm M khác nhau biết rằng cung AM có số
đo:
a) 45
0
+ k90
0
b) -75
0
+ k180
0

bán
kính.
Trang 1
Bài tập toán Đại số_Giải tích 11. Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
Bài 2. các hàm số lợng giác.
1. Tính các giá trị lợng giác của cung có số đo:
a) -750
0
b) 660
0
c) 390
0
d) -420
0
e)
3
7

f)
6
13

g)
2
21

h)
3
23


4. Chứng minh các đẳng thức lợng giác:
a)
xx
xx
xx
cossin1
cossin
cossin
33
=
+
+
b)
xxgxxg
2222
cos.cotcoscot
=
c)
x
tgx
x
x
gx
sin
cos
cos
cot
=
d)
xg

1
sin1
cos
=+
+
g)
xx
x
x
x
sin
2
sin
cos1
cos1
sin
=
+
+
+
h)
1
cot
1cot
.
1
2
2
=


+
xx
x
x
xx

l) (1 - sin
2
x)cotg
2
x + 1 - cotg
2
x = sin
2
x. m)
xtg
xxx
xxx
4
422
422
sinsincos
coscossin
=
+
+
n)
x
gx
x


+

,
q)
aaatg
atg
222
2
cossin
1
1
1

=

+
q)
aag
aatg
aga
atga
33
33
3
cos.cot1
cos
cos.cot1
cos
+

x
tgxx
cos.cot
sin
.cos
2

6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) A = 3(sin
4
x + cos
4
x) - 2(sin
6
x + cos
6
x)
b) B = cos
6
x + 2sin
4
xcos
2
x + 3sin
2
xcos
4
x + sin
4
x.


+x) + cos(2 - x) + cos(3 + x),
Trang 2
Bài tập toán Đại số_Giải tích 11. Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
b) B = 2cosx + 7cos( + x) + 5sin(7
2

- x) + cotg(7
2

- x),
c) C = 2sin(
2

+x) + sin(5 - x) + sin(3
2

+ x) + cos(
2

+ x),
d) D = cos(11 - x) - sin(9
2

+ x) + tg(3
2

-x) + cotg(3 - x),
e) E = sin(9 + x) - cos(5
2

4

) + cos(x +
6

)cos(x + 3
4

),
i) I = cos
2
x + cos
2
(2
3

+ x) + cos
2
(2
3

- x),
k) K =
)36(.
)216cos()144sin(
)216cos()234sin(
0
00
00
tg

,
n) N = sin
2
10
0
+ sin
2
20
0
++ sin
2
170
0
+ sin
2
180
0
.
8. Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:
a) sin(A + B) = sinC, b) cos(A + B) = - cosC, c) sin
2
BA +
= sin
2
C
d) sin
2
3CBA ++
= cosC, e) cos(A + B - C) = - cosC f) tg
2

x =
6
5
. Tính sin
4
x + 5cos
4
x.
Trang 3
Bài tập toán Đại số_Giải tích 11. Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
Bài 3. Sự biến thiên và đồ thị của các hàm số lợng giác.
1. Tìm tập xác định của các hàm số lợng giác:
a) y =
x
x
sin1
cos21

+
, b) y =
x
x
cos1
cos1
+

c) y = cotg(2
3

+ 3x)

2
3x,
g) y =
1cos
4sin3cos2cos
2
x
xxx
, h) y =
2
1
2sin
x
xx

+
, i) y =
x
tgx
sin1
.
3. Chứng minh các hàm số sau là hàm số tuần hoàn với chu kì đã chỉ ra, vẽ đồ thị của
chúng:
a) y = |sinx| với chu kì , b) y = sin2x với chu kì ,
c) y = tg2x với chu kì
2

, d) y = 1 + |cosx| với chu kì ,
4. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
a) y = 3cos(x -

, b) sinx > cosx khi
4

< x <
2

.
Trang 4
Bài tập toán Đại số_Giải tích 11. Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
Bài 4. công thức lợng giác.
I. Công thức cộng.
1. Tính giá trị lợng giác của các cung có số đo:
a) 15
0
b)
12
7

c)
12
5

d)
12
13

e) 285
0

2. a) Biết cos = -

13
12
(
2

< < ) và sin = -
17
15
( < < 3
2

). Tính sin( + ) + cos( -
).
e) Cho hai góc và nhọn biết sin =
17
15
, tg =
17
8
. Tính sin( + ), cos( + ),
tg( - ).
f) Biết cos =
3
1
và cos =
4
1
. Tính cos( + ).cos( - )
g) Cho cos(a + b) = k cos(a - b), k -1. Chứng minh rằng: tga.tgb =
k

a - sin
2
b = cos
2
b - sin
2
a,
c) sin(
4

+a) - sin(
4

- a) =
2
sina, d)
batgtg
ba
baba
22
22
1
coscos
)cos().cos(
=
+
,
e)
ba
bgatg

3

- x),
c) C = sin
2
x + cos(
3

+ x).cos(
3

- x),
d) D = tgx.tg(x +
3

) + tg(
3

+ x) tg(2
3

+ x) + tg(2
3

+ x) tgx.
Bài 5. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Trang 5
Bài tập toán Đại số_Giải tích 11. Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
a) sinA = sinB.cosC + sinC.cosB, b) sin
2

2
A
= 1,
e) cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1,
f) ) cotg
2
A
+ cotg
2
B
+ cotg
2
C
= cotg
2
A
. cotg
2
B
.cotg
2
C
.
I. Công thức nhân.
1. Tính sin2, cos2, tg2 biết:
a) cos = -
13
5
(3
2


, ). Tính sin(a - 2b), cos(2a + b),
b) sin2a =
5
4
, (a (
2

, 3
2

). Tính sina, cosa.
3. Chứng minh: sinx.cosx.cos2x.cos4x =
x8sin
8
1
Tính giá trị các biểu thức:
a) A = cos
7

.cos4
7

.cos5
7

, b) B = sin10
0
sin50
0

, f) F = cos20
0
cos40
0
cos80
0
,
g) G = cos10
0
cos50
0
cos70
0
, h) H = cos
65

cos2
65

cos4
65

cos8
65

cos16
65

cos32
65

4
3
4cos
4
1
+
x
,
e) cos3x.sin
3
x + sin3x.cos
3
x =
x4sin
4
3
, f)
gx
x
x
cot
2sin
2cos1
=
+
,
g) sin
6
x + cos
6

xx
.
Trang 6
Bài tập toán Đại số_Giải tích 11. Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) A = sin8x + cos
2
(
4

+ 4x), b) B =
x
xx
x
xx
sin
3sinsin
cos
3coscos
33
+
+

c) C =
x
xx
sin.
cos1
1
cos1

e) E = sin(x + 30
0
).cos(a -30
0
) f) F = sin
5

.sin2
5

,
g) 2sinx.sin2x.sin3x, h) H = 8cosx.sin2x.sin3x.
2. Tính giá trị các biểu thức:
a) A = cos75
0
cos75
0
, b) B = sin
12
11

cos
12
5

, c) C = sin20
0
sin40
0
sin80

- tg27
0
- tg63
0
+ tg81
0

h) cos
9

+ cos5
9

+ cos7
9

.
3. Biến đổi thành tích:
a) A = 1 + cosx + cos2x + cos3x b) B = cosa + cosb + cos(a + b) + 1,
c) 1 + sinx - cos2x, d) 1 - 2cosx + cos2x,
e) sinx.cos3x + sin4x.cos2x, f) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x - 1,
g) sin
2
x - sin

cos3x,
c) cos5x.cos3x + sin7x.sinx = cos2x.cos4x,
d) cosx -
2
1
cos3x -
2
1
cos5x = 8sin
2
x.cos
3
x,
e) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x) = sin7x,
5. Cho tam giác ABC. Chứmh minh:
a) sinA + sinB + sinC = 4
2
cos.
2
cos.
2
cos
CBA
,
Trang 7
Bài tập toán Đại số_Giải tích 11. Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
b) cosA + cosB + cosC = 1 + 4
2
sin.
2

1
222222
=++
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg
,
h) bcosB + ccosC = acos(B - C),
i) S = 2R
2
sinA.sinB.sinC,
j) S = 2R
2
sinA.sinB.sinC,
k) 2S = R(acosA + bcosB + ccosC),
l) r = 4R
2
sin.
2
sin.
2

0
< x < 90
0
), e) cos(2x + 1) =
2
1
(- < x < ),
e) cos3x + sin4x = 0, f) tg(x -
6

) + cotgx = 0, g) tg2x.tg(3x -
4

) = 0,
h) sin
2006
x + cos
2006
x = 1, i) sin
2
3x + cos
2
2x = 1,
k) sin
2
(5x +
5
2

) = cos

3
= 0, g) 2tg
2
x + 3 =
xcos
3
,
i) 4cos
2
x - 2(
3
+ 1)cosx +
3
= 0, h) tg
2
x - 4cotgx + 3 = 0,
k) 2cos2x + cosx - 1 = 0, i) 2tg
2
x + 3 =
xcos
3
,
j) sin
2
2x - 2cos
2
x +
4
3
= 0, k) tg

a) 4sin
2
x + 3
3
sin2x - cos
2
x = 4,
b) sin
2
x +
3
sinx.cosx + 2cos
2
x =
2
23
+
,
c) (1+
3
)sin
2
x -
3
sin2x + (
3
- 1)cos
2
x = 0,
d) 3sin

Trang 9
Bài tập toán Đại số_Giải tích 11. Giáo viên: Nguyễn Văn Tại
e)
3
cos2x + sin2x + 2sin(2x -
6

) = 2
2
, f)
3
sin4cos3
2
sin4cos3
=

+
xx
xx
,
V. Giải các ph ơng trình sau: (pt đối xứng với sinx và cosx).
a) 2sin2x - 3
3
(sinx + cosx) + 8 = 0, b) (1 -
2
)(1 + sinx - cosx) = sin2x,
c) cosx - sinx + 3sin2x - 1 = 0, d) sin2x - 12(sinx - cosx) + 12 = 0,
e) sin
3
x + cos

4
x =
4
6cos3 x

,
j) 2cos
2
5x + sin10x = 1, k) 2sinx.cos2x - 1 + 2cos2x - sinx = 0,
l) 3 + sinx.sin3x = 3cos2x, m) (1 - tgx)(1 + sin2x) = 1 +tgx,
VII. Giải các ph ơng trình sau: (các đề thi đại học và cao đẳng)
1)
2sin2
coscot
)cot(cos3
=

+
x
xgx
gxx
, 2) sin
3
x.cosx - cos
3
xsinx =
4
1
,
3) sinx.cosx + |sinx + cosx| = 1, 4) 2

xx
2sin8
1
2cot
2
1
2sin5
cossin
44
=
+
12) 3cos4x - 8cos
6
x + 2cos
2
x - 3 = 0,
13)
1
1cos2
)
42
(sin2cos)32(
2
=


x
x
x


1
2
,
17) 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tg
2
x, 18) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx,
19) 2cos2x - 8cosx + 7 =
xcos
1
, 20) 3 - tgx(tgx + 2sinx) + 6cosx = 0,
21) cos3x + 2cos2x = 1 - 2sinx.sin2x, 22) 4cos
2
x - 2cos
2
2x = 1 + cos4x,
23)
3
cos4x - 2cos3x = sin4x, 24) 5(sinx +
x
xx
2sin21
3sin3cos
+
+
) = cos2x + 2,
Trang 10
Bµi tËp to¸n §¹i sè_Gi¶i tÝch 11. Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n T¹i
25) sin
2
3x - cos

x2sin
2
, 30) cotgx + 1 =
xx
tgx
x
2si n
2
1
sin
1
2cos
2
++
−
,
31) 4(sin
4
x + cos
4
x) +
3
sin4x = 4, 32) 2sin
3
x - sinx = 2cos
3
x - cosx + cos2x,
33)
x
tgx

2x + sin
2
3x =
2
3
, 38)
22
(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x,
39) 2cos
2
x + 2cos
2
2x + 2cos
2
3x - 3 = cos4x(2sin2x + 2)
40)
1
)cos(sin
1cos2)3sin2(cos
2
2
=
+
−−+
xx
xxx
. 41) (cos2x - 1)(sin2x + cosx + sinx) =
sin
2
2x

2
x
x
 
+ =
 ÷
 
47)
( ) ( )
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x
+ + + = +
48) 2sin
2
2x + sin7x - 1 = sinx 49)
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 ÷
 
50) tgx + cosx - cos
2
x = sinx(1 + tgxtg
2
x
) 51)

58)
xtg
xsinxcos
xcosxsin
2
8
13
22
66
=

+
59)
( )
1
2
2
1


=
+ gxcot
xsinxcos
xgcottgx
60) sin3x = cosx.cos2x.(tg
2
x + tg2x)
61) cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + 2
62)
xcos

tan ( ) 2.
2 sin
x
x
x


=
65) cos
2
3x.cos2x - cos
2
x = 0
66)
4 4
3
sin cos cos( ).sin(3 ) 0
4 4 2
x x x x

+ + =
67)
3
sin cos sin 2 3 cos3 2(cos 4 sin )x x x x x x+ + = +
68)
3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0x x x x =
69)
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x =
70)

a) Giải phơng trình khi m = -
4
1
,
b) Xác định m để pt có hai nghiệm thuộc (0, ),
c) Xác định m để pt có nghiệm,
d) Xác định m để pt có hai nghiệm thuộc (-
2

,
2

).
2. Cho phơng trình: 2(sin
4
x + cos
4
x) + cos4x + 2sin2x - m = 0.
a) Giải phơng trình khi m = 3,
b) Xác định m để pt có nghiệm thuộc [0,
2

].
3. Cho pt:
,1
3cos2sin
1cossin2
=
+
+

4
x = msin2x -
4
1
= 0.
a) Giải phơng trình khi m = 1,
b) Chứng minh rằng khi |m| 1 phơng trình luôn có nghiệm.
6. Cho ph ng trỡnh:
( )
061232
2
=++ mxcosxsinmxsin
a) Gi i ph ng trỡnh v i m = 1.
b) V i giỏ tr no c a m thỡ ph ng trỡnh (1) cú nghi m.
Trang 13