ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010
MƠN: TỐN LỚP 11
II. Trắc nghiệm
1) Tính
2 1 2
lim
4 2 3
 
−
+
 ÷
+
 
n
n
n
n
ta được kết quả nào sau đây là đúng?
A.
1
2
B.
3
2
C. 0 D. Kết quả khác.
2) Tính
3 sin
lim
2
 
−

→+∞
+ − −
x
x x x
có kết quả là
a/
1
2
b/ –1 c/ 2 d –2
5) Giới hạn
2
3
9
lim
3
→
−
−
x
x
x
có kết quả là
a/ 1 b/ 6 c/ –6 d/
∞
6) Giới hạn
1
3 2
lim
1
→

x x
f x
a x
liên tục tại x = 1 là
a/ 1 b/ 2 c/ 3 d/ Không có
9) x =1 là điểm gián đoạn của hàm số
a/ y = 2x + 3 b/ y = sinx c/ y= 2
x
d/ y =
2
1−x
10) Hàm số y= sinx là liên tục trên
a/
[ ]
1;1−
b/ R c/
0;
2
 
 
 
π
d/Kết quả khác
11) Phương trình x
3
– x – 3 = 0 có nghiệm trên
a/
( )
0;1
b/

− +
+ −
x
x x
x x
và N=
0
sin 5
lim
5
→x
x
x
. Khi đó tổng M + N là:
A.
2
3
B. 1 C.
3
2
D.
3
2
−
14) Tính
2 2
4 1
lim
2 3
→+∞

2
2
sin 2x
D. cot2x
17) Đạo hàm của hàm số
2 1
1
−
=
+
x
y
x
là kết quả nào sau đây?
A.
( )
2
1
'
1
=
+
y
x
B.
( )
2
3
'
1

 
′
=
 ÷
 
f
π
B.
5
2
 
′
=
 ÷
 
f
π
C.
1
2
 
′
= −
 ÷
 
f
π
D. Kết quả khác.
19) Cho hàm số
3 2

1
( ) sin( ) os(2 )
6 2 3
= − − +f x x c x
π π
là kết quả nào sau ?
a.
2
= − +
x k
π π
b.
4 2
9 3
= +
k
x
π π
c.
4 2
2
9 3
= − + = +
k
x k hay x
π π
π π
d.
2
2

= 0 thì k = -3 d. x
0
= 2 thì k = 2
24) Cho đồ thị (C):
1
( )
2
= =
+
y f x
x
, k là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm x
0
. Kết quả
nào sau đây sai?
a. x
0
= 0 thì
1
4
= −k
b. x
0
= -3 thì k = -1
c. k = -1 thì x
0
= -3 hay x
0
= -1 d. k = -4 thì x
0

a. y = 3x – 1 b. y = 3x + 3 c. y = 3x – 1 hay y = 3x + 3 d. y = 3x + 1
29) Gọi y’ ; y’’ là đạo hàm cấp một và cấp hai của y = sin
2
x. Hệ thức giữa y’ và y’’ độc lập đối với
x là :
2 2
.( ') ( '') 1a y y+ =
b.
2 2
( ') 4( '') 1+ =y y
c.
2 2
4( ') ( '') 4+ =y y
d.
2 2
( ') 4( '') 4+ =y y
30) Cho
2
2= −y x x
, hệ thức nào sau đây giữa y và y’’ đúng ?
a. 3y + y’’ + 1 = 0 b.
3
'' 1 0+ =y y
c.
3 '' 1 0+ =yy
d.
3
'' 0+ =y y
31/ Đạo hàm của hàm số
2

2
1
3x
2 x
+
d
2
1
3x
x
+
33/ Đạo hàm của hàm số
y sin 2008=
bằng
a 2008.cos2008 b. cos2008 c. 0 d một kết quả khác
34/ Đạo hàm của hàm số
( ) ( )
y x 2 x 9= + −
bằng
a.2x + 5 b.2x - 5 c.1 d.2x – 7
35/ Đạo hàm của hàm số
x 3
y
2 5x
−
=
−
bằng
a
( )

−
 ÷
 
bằng:
a 0 b -1 c
2
π
d
2
π
−
37/ Đạo hàm của hàm số
2
x 3x 3
y
x 1
− +
=
−
bằng
a
( )
2
2
x 2x
x 1
−
−
b.
( )

34) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a . Khi đó góc giữa đường thẳng AB và mp(BCD) là:
A. 60
0
B. ≈35
0
15’ C. 90
0
D. ≈54
0
45’
35) Hình hộp chữ nhật có các kích thước là 3, 4 và 5 . Khi đó đường chéo của hình hộp có độ dài là:
A. 10 B. 6 C.
5 2
D.
10 2
36) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA
⊥
(ABCD). Biểu thức nào sau đây
SAI:
A. CB
⊥
(SAB) B. CD
⊥
(SAD) C. AC
⊥
(SBD) D. BD
⊥
(SAC)
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A. SA
⊥

HB B. AH
⊥
BC C. BC
⊥
SB D. HC
⊥
SB
39) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA
⊥
(ABCD). Biểu thức nào sau đây
đúng:
A. BD
⊥
SC B. AC
⊥
SB C. SD=SB D. CD
⊥
SD
40) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA vuông góc với đáy. Biểu thức nào sau
đây đúng:
A. BC
⊥
SB B. AC
⊥
SB C. BD
⊥
SC D. CD
⊥
SD
II. Tự Luận

1
lim 2 15 7
x
x x
→
+ +
b/
2
2
4 3
lim
1
x
x
x
→
+
−
c/
(
)
2
3
lim 3 7 2
x
x x
→
+ + −
d/
2

f x x x f x= −
,
( ) ( ) ( )
0 1
g x x x g x= −
khi
đó:
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
=
( )
( )
0
1
1
lim
x x
f x
g x
→
.
☺Nếu
( )
f x

x x
→
− + +
− +
=
2
2
2 4
lim 3
2
x
x x
x
→
+ +
=
+
b/
2
6
4 1 5
lim
7 6
x
x
x x
→
+ −
− +
=

6
4 2
lim
25
1 4 1 5
x
x x
→
=
− + +
Áp dụng:
Bài 1 :
a/
( ) ( )
2
5
25
lim
5 1
x
x
x x
→
−
− +
b/
3
2
1
11 10

→−
+
+
e/
2
2
4
2 13 20
lim
16
x
x x
x
→
− +
−
f/
3
2
1
3 2
lim
10 9
x
x x
x x
→
− +
− +
g/

lim
3
x
x
x x
→
−
−
m/
10
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
Đáp số theo thứ tự là:
5
3
−
; -4;
1
6
; 5;
3
8

3
2 3
lim
3
x
x x
x
→
+ −
−
d/
2
8
1 3
lim
2 15 8
x
x
x x
→
+ −
− −
e/
4
3 4 4
lim
4 9 5
x
x
x

6 1 2 3
lim
16
x
x x
x
→
+ − +
−
k/
2
3
9 2
lim
3 7 6
x
x x
x x
→
− −
− −
. l/
2 3
0
1 2 1
lim
3
x
x x
x x

−
;
1
6
* Dạng 2:
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
với
( ) ( )
0 0
0; 0f x g x≠ =
Cách giải:Sử dụng quy tắc b trang 131.
Ví dụ:
3
5 8
lim
3
x
x
x
+
→
−
−

→
−
= +∞
−
Áp dụng:
a/
2
2 11
lim
2 4
x
x
x
+
→
−
−
b/
2
5
10
lim
5
x
x x
x
−
→
+ −
−

lim
2 3
x
x
x
−
 
→ −
 ÷
 
−
+
Bài toán 2:Tìm giới hạn hàm số khi
x → +∞
(
x → −∞
)
* Dạng 1:
( )
lim
x
f x
→+∞
Với
( )
f x
là một đa thức.
Cách giải:Đặt x có số mũ cao nhất ra làm thừa số, đưa về dạng tích ( khi
x → −∞
giải tương tự)

1 1
lim 2 2 0
x
x x
→−∞
 
+ − = 〉
 ÷
 
Áp dụng:
a/
( )
3 2
lim 20 3 4
x
x x
→−∞
− +
b/
3
3
lim 6 7
x
x
x
→+∞
 
+ +
 ÷
 

Với
( )
f x
,
( )
g x
là một đa thức.
Cách giải:
Chia cả tử và mẫu cho x có số mũ cao nhất,biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.(tương tự
cho trường hợp
x → −∞
)
Ví dụ:a/
2
2
3 7 1
lim
4 7
x
x x
x
→+∞
+ +
− +
=
2
2
7 1
3
3

lim 0
4 3
1
x
x x
x x
→∞
+
=
+
;(Đã chia cả tử và mẫu cho
5
x
)
Tuy nhiên nếu
( )
f x
là đa thức bậc cao hơn
( )
g x
thì ta có thể đưa về dạng tích
Ví dụ:
6 2
3
10 3
lim
4 2 1
x
x x
x x

2 3
1 3
10
lim
2 1
4
x
x x
x
x x
→−∞
+ +
= −∞
+ +
Vì:
3
lim
x
x
→−∞
= −∞
,
4 6
2 3
1 3
10
5
lim 0
2 1
2

→+∞
− + +
+ −
c/
2
4 3
2 3
lim
4 6 9
x
x
x x
→−∞
+
+ +
d/
4 3
2
7 6 13
lim
2 4
x
x x
x x
→−∞
+ −
− +

e/
6 4

f x
có chứa căn bậc hai thì tùy mỗi bài ta có thể đưa về dạng tích hoặc
nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.(Tương tự cho trường hợp
x → −∞
)
Đặc điểm nhận biết:
Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp
Hệ số không phải là hai số đối nhau→Đặt thừa số đưa về dạng tích.
Ví dụ:a/
(
)
2
lim 1
x
x x x
→+∞
+ + −
Nhận xét:
x
−
có hệ số là-1;vì
x → +∞
nên
2
x x x= =
có hệ số là 1
Hai hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp
Giải: a/
(
)

=
2
1
lim
1 1
1
x
x
x x
x x
→+∞
+
+ + +
=
2
1
1
lim
1 1
1 1
x
x
x x
→+∞
+
+ + +
=
1
2
b/

x x
x
→−∞
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
=
1 1
lim 4 3
x
x
x x
→−∞
 
− + + +
 ÷
 ÷
 
=
−∞
Vì:
lim
x
x
→−∞
= −∞
;
1 1

(
)
3 2
lim 3 2 9 1
x
x x
→−∞
+ + +
3 6
4 6
9 1
lim 3 2
x
x x
x x
→−∞
 
 
= + + +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
=
3 3
4 6
9 1
lim 3 2
x

,
3 4 6
2 9 1
lim 3 3 0
x
x x x
→−∞
 
+ − + = >
 ÷
 ÷
 
Áp dụng:
a/
(
)
2
lim 2 3 5 2
x
x x x
→+∞
+ + −
b/
(
)
2
lim 1 10 3
x
x x x
→−∞

2
lim 9 3 7 5 3
x
x x x
→+∞
+ + − +
g/
(
)
4 2
lim 3 9
x
x x x
→−∞
+ + + +
h/
(
)
2 2
lim 3 7 16 4 3
x
x x x x
→+∞
+ − − +
k/
(
)
2
lim 9 3 1
x

2
1 1 1 1
1
1 1
lim lim lim lim 1 3
1 1 1
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x x x
→ → → →
−
− + +
−
= = = + + =
− − −

( )
(
)
( )
(
)
3 3
3 2 3 2
2 2 2
1 1
3 3 2

 ÷
= = = −
 ÷
−
− − + + − +
 
( ) ( )
3
2 2
2
1 1
2
3
2 2 2
3
7 2 1
lim lim
1
1 7 2 7 4
x x
x x
x
x x x
→ →
+ − −
=
 
−
− + + + +
 ÷

Cách giải:
Dùng định nghĩa: Nếu
( )
f x
xác định tại
0
x
và
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
→
=
thì
( )
f x
liên tục tại
0
x
Ví dụ:Cho hàm số
( )
2
17 16
16
16
15 16


2
16 16
17 16
lim lim
16
x x
x x
f x
x
→ →
− +
=
−
=
( ) ( )
16
lim 1 15 16
x
x f
→
− = =
.Vậy
( )
f x
liên tục tại
0
x
=16
Áp dụng:
Xét tính liên tục của ham số

( )
2
0
2 3 20
4
4
4
13 4

− −
≠

= =
 −

=

x x
neáu x
f x Taïi x
x
neáu x
c/
( )
0
5 6 6
6
6
6
5

= =

−
<


x neáu x
f x Taïi x
x
neáu x
e/
( )
2
0
3 2
1
1
1
1
2

− +
>


−
= =


− ≤

x x
neáu x
x
f x Taïi x
x
neáu x
x
Hướng dẫn:d/e/f để tính được
( )
0
lim
x x
f x
→
cần tính
( )
0
lim
x x
f x
+
→
và
( )
0
lim
x x
f x
−
→

6
2 7 10 6

− +
≠

=
−


− + =

x x
neáu x
f x
x
m m neáu x
.Tìm m để h/số
( )
f x
liên tục tại
0
x
=6
Giải:Ta có hàm số
( )
f x
xác định tại
0
x

x
= 6 khi ch khi:
( ) ( )
6
lim 6
x
f x f

=
2
2 7 10 5m m + =
2
2 7 5 0m m + =
1
5
2
m
m
=




=

p dng:
Tỡm m hm s
( )
f x
liờn tc ti

2
0
2 6
2
2
2
3 1 2




= =


+ =

x x
neỏu x
f x Taùi x
x
m neỏu x
c/
( )
3
0
1
1
1
1
2 1



= =


+ =


x
neỏu x
x
f x Taùi x
m m neỏu x
3/Chng V: O HM
Bi 1:Tớnh o hm ca cỏc hm s sau :
a/
3 2
5 3 1y x x x= + +
b/
4 3 2
5 3
10
4 3 2
x x x
y = + +
c/
( ) ( )
2 3 7y x x= +
d/
( )

x
y
x

=
+
m/
2
3 1
5 3 2
x
y
x x
+
=
+
n/
2
3
x
y
x
+
=

o/ Cho
3
( ) 3 1. '(5)= +f x x x Tớnh f
p/ Cho
5

1 3 5
'(7) ; '( 2) ; '(1)
4 2
2 7
= = = f f f
)
t/ Cho
3
3 2. : ) ' 0 ) ' 3= + > <y x x Tỡm x ủeồ a y b y
Gii
Ta cú: a)
2
' 0 3 3 0 0 2> > < >y x x x hoaởc x
b)
2 2
' 3 3 6 3 2 1 0 1 2 1 2< < < < < +y x x x x x
Bi 2:Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:
a/
sin 2 3cos 1y x x= + +
b/
2
3sin5 2cos(3 8)y x x= + +
c/
( )
( )
sin 7 3 3cos 2 1 4y x x= + + +
d/
( )
tan 4 3y x=
e/

ữ
+


f f
Bài 3: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau :
a/
10
1
10
x
y x= + +
b/
3 2
4 1
x
y
x
−
=
+
c/
( )
6
2 5y x= −
d/
cos 2=y x x
e/
2
siny x x=

7
3
x
y = +
e/
2
2 8 1y x x= − +
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:
4 16 0x y− + =
f/
2
3 1
1
x x
y
x
− +
=
−
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2
Hướng dẫn:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại tiếp điểm
( )
;
o o o
M x y
có phương trình

*Nếu biết tiếp tuyến có hệ số góc k thì :
( )
'
o
f x k=
o o
x y⇒ ⇒
áp dụng công thức (1) viết được
phương trình
*Bài tập tương tự:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau:
a/
2
5 6y x x= + +
tại điểm
( )
0
1; 2M − −
b/
3 2
3 5 1y x x x= − + +
tại điểm có hoành độ
0
2x =
c/
2
4 3 5y x x= − −
tại điểm có tung độ
0
2y =

d b d
b
a
α
α
α









⊥
⊂
⊥ ⇒ ⊥
⊂
∩
b/ Hệ quả
a AB
a BC
a AC
⊥

⇒ ⊥

⊥


b
a
α
α



⇒ ⊥
⊥
b/
( )
( ) / /
a
b a b
a b
α
α





⊥
⊥ ⇒
≡
* Tính chất 2
a/
( ) / /( )
( )
( )

( )
/ /a
b a
b
α
α





⇒ ⊥
⊥
b/
A
B
C
a
b
α
a
α
d
β
b
α
a
α
α
.O

α
đgl phép chiếu vng góc lên mp
( )
α
b/ Định lí ba đường vng góc
Cho đường thẳng a nằm trong mp
( )
α
và b là đường thẳng khơng thuộc mp
( )
α

đồng thời khơng vng góc với
( )
α
. Gọi b’ là hình chiếu vng góc của b trên
( )
α
. Khi đó
a vng góc với b khi và chỉ khi a vng góc với b’.
6/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho d và
( )
α
, ta có:
*
( ) ( )
·
(
)

ASC
= 2α
Chứng minh BD vuông góc với mp(SAC)
Bài 3: 2). Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a; cạnh bên SA
= a
2
.
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)
b) Tính khoảng cách từ O đến (SCD)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A có góc A bằng 120
0
,cạnh AB =
SC = a, SC ⊥ (ABC) ,M là trung điểm của SC .Tính khoảng cách từ C đến mp(SAB) .
Bài 5 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA = a
2
Tính khoảng cách từ SC đến (SBC)
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD), đáy ABCD là hình vng. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của cạnh SB và SD. Chứng minh
a)
( )BC SAB⊥

b) MN
⊥
(SAC).
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng tâm O cạnh a, SA vng góc với
(ABCD), SA = a
3
. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng : (SAB) và (SCD) ; (SBC) và (ABC) ;