ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 1
TOÁN CAO CẤP A 3 ðẠI HỌC
Tài liệu tham khảo:
1. Giáo trình Toán cao cấp A3 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM.
2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP.HCM.
3. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 3) – ðỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM.
4. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 4) – ðỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM.
5. Phép tính Vi tích phân (tập 2) – Phan Quốc Khánh – NXB Giáo dục.
6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – Nguyễn ðình Trí (chủ biên) – NXB Giáo dục.
7. Tích phân hàm nhiều biến – Phan Văn Hạp, Lê ðình Thịnh – NXB KH và Kỹ thuật.
8. Bài tập Giải tích (tập 2) – Nguyễn Thủy Thanh – NXB Giáo dục.

Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. ðịnh nghĩa
• Cho
2
D
⊂
ℝ
. Tương ứng
:f D
→
ℝ
,

( , ) ( , )
x y z f x y
=

= ∈ = ∀ ∈ℝ
là mi
ề
n giá tr
ị
.

– N
ế
u M(x, y) thì D là t
ậ
p h
ợ
p
ñ
i
ể
m M trong
2
ℝ
sao cho
f(M) có ngh
ĩ
a, th
ườ
ng là t
ậ
p liên thông. (T
ậ
p liên thông D

ậ
p h
ợ
p
ñ
i
ể
m M trong
2
ℝ
sao cho
f(M) có ngh
ĩ
a, th
ườ
ng là mi
ề
n liên thông (n
ế
u M, N thu
ộ
c
mi
ề
n D mà t
ồ
n t
ạ
i 1
ñườ

ở
i 1
ñườ
ng cong kín
D
∂
(biên) ho
ặ
c không. Mi
ề
n liên thông D
là
ñơ
n liên n
ế
u D
ñượ
c gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i 1
ñườ
ng cong kín (Hình
a);
ñ
a liên n
ế

∈∂ ⇒ ∈
, mi
ề
n m
ở

n
ế
u
M D M D
∈∂ ⇒ ∉
.
Chú ý
• Khi cho hàm s
ố
f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hi
ể
u
MX
ð
D là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
(x, y) sao cho f(x, y) có ngh
ĩ
a.
• Hàm s

ñị
nh trên
2
ℝ
.
VD 2.
Hàm s
ố

2 2
( , ) 4
z f x y x y
= = − −
có MX
ð
là hình
tròn
ñ
óng tâm O(0; 0), bán kính R = 2.

VD 3.
Hàm s
ố

2 2
( , ) ln(4 )
z f x y x y
= = − −
có MX
ð

n
(x
n
; y
n
) d
ầ
n
ñế
n
ñ
i
ể
m M
0
(x
0
; y
0
) trong
2
ℝ
,
ký hi
ệ
u
0
n
M M
→

n D (có th
ể
không
ch
ứ
a M
0
), ta nói L là gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a f(x, y) khi
ñ
i
ể
m M(x, y)
d
ầ
n
ñế
n M
0
n
ế
u m
ọ
i dãy
ñ

lim ( , ) lim ( )
x y x y M M
f x y f M L
→ →
= =
.

Nhận xét

• N
ế
u khi
0
n
M M
→
trên 2
ñườ
ng khác nhau mà dãy
{f(x
n
, y
n
)} có hai gi
ớ
i h
ạ
n khác nhau thì
0
lim ( )

( , )
xy
f x y
x y
=
+
, tính
( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y
→
.

VD 7.
Cho hàm s
ố

2 2
3
( , )
xy
f x y
x y
=
+
.

0
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
0 0
( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y
→
và
0 0
0 0
( , ) ( , )
lim ( , ) ( , )
x y x y
f x y f x y
→
=
.

• Hàm s
ố
f(x, y) liên t
ụ
c trong D n

ị
l
ớ
n nh
ấ
t và nh
ỏ
nh
ấ
t trong D.

VD 8.
Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
:
2 2
, ( , ) (0,0)
( , )
0, ( , ) (0,0)
xy
x y
x y
f x y
x y

≠


thì ta gọi ñạo hàm ñó là ñạo hàm riêng theo biến x của f(x,
y) tại (x
0
, y
0
).
Ký hiệu:
0 0
( , )
x
f x y
hay
/
0 0
( , )
x
f x y
hay
0 0
( , )
f
x y
x
∂
∂
.
Vậy
/
0 0 0 0

∆ →
+ ∆ −
=
∆
.
VD 1. Tính các ñạo hàm riêng của z = x
4
– 3x
3
y
2
+ 2y
3
–
3xy tại (–1; 2).
VD 2. Tính các ñạo hàm riêng của f(x, y) = x
y
(x > 0).
VD 3. Tính các ñạo hàm riêng của
cos
x
z
y
=
tại
( ; 4)
π
.
• Vớ
i hàm n bi

y
có các
ñạ
o hàm riêng (f
x
)
x
, (f
y
)
y
, (f
x
)
y
,
(f
y
)
x

ñượ
c g
ọ
i là các
ñạ
o hàm riêng c
ấ
p hai c
ủ

f f
f f f
y y y
 
∂ ∂ ∂
= = = =
 
∂ ∂ ∂
 
,
( )
2
//
x xy xy
y
f f
f f f
y x y x
∂ ∂ ∂
 
= = = =
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
,
( )
2
//
y yx yx
x

ñạ
o hàm riêng c
ấ
p hai c
ủ
a
2
( , )
x y
f x y xe
−
=
.

• Các
ñạ
o hàm riêng c
ấ
p hai c
ủ
a hàm n bi
ế
n và
ñạ
o hàm
riêng c
ấ
p cao h
ơ
n

= f
yx
.
2.2. Vi phân
a) Vi phân cấp 1
• Cho hàm s
ố
f(x, y) xác
ñị
nh trong
2
D
⊂
ℝ
và
0 0 0
( , )
M x y D
∈
,
0 0
( , )
M x x y y D
+ ∆ + ∆ ∈
.
N
ế

ố
không ph
ụ
thu
ộ
c
,
x y
∆ ∆
và
, 0
α β
→
khi
( , ) (0,0)
x y
∆ ∆ →
, ta nói f kh
ả
vi t
ạ
i M
0
.
• Bi
ể
u th
ứ
c
. .

Ký hi
ệ
u df(x
0
, y
0
).
• Hàm s
ố
f(x, y) kh
ả
vi trên mi
ề
n D n
ế
u f(x, y) kh
ả
vi t
ạ
i
m
ọ
i (x, y) thu
ộ
c D.

Nhận xét• N

0 0 0 0
0
( , ) ( , )
lim
x
f x x y f x y
A
x
∆ →
+ ∆ −
⇒ =
∆
,
t
ươ
ng t
ự

0 0 0 0
0
( , ) ( , )
lim
y
f x y y f x y
B
y
∆ →
+ ∆ −
=
∆

Tính vi phân c
ấ
p 1 c
ủ
a
2 3 5
x y
z x e xy y
−
= + −
t
ạ
i (–1; 1).
VD 8.
Tính vi phân c
ấ
p 1 c
ủ
a
2
2
( , ) sin( )
x y
f x y e xy
−
=
.

ðịnh lý
• N

ấ
p 2:
(
)
2 2
2
// 2 // // 2
( , ) ( , )
( , ) 2 ( , ) ( , )
xy
x y
d f x y d df x y
f x y dx f x y dxdy f x y dy
=
= + +
.

• Vi phân c
ấ
p n:
( )
1 ( )
0
( , ) ( , ) ( , )
k n k
n
n n k n k n k
n
x y
k


0 0
/ /
0 0 0 0 0 0
( , )
( , ) ( , ). ( , ).
x y
f x x y y
f x y f x y x f x y y
+ ∆ + ∆ ≈
≈ + ∆ + ∆
.
VD 11. Tính gần ñúng
1,02
0,97
arctg
.

2.3. ðạo hàm của hàm số hợp
• Cho hàm số f(u, v), trong ñó u = u(x) và v = v(x) là những
hàm số của x. Nếu f(u, v) khả vi của u, v và u(x), v(x) khả
vi của x thì
/ /
. .
u v
df du dv
f f
dx dx dx
= +
. Với

= + =
. Tính
df
dx
. 2.4. ðạo hàm của hàm số ẩn
• Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y) = 0 (*).
Nếu y = y(x) là hàm số xác ñịnh trong 1 khoảng nào ñó sao
cho khi thế y(x) vào (*) ta ñược ñồng nhất thức thì y = y(x)
là hàm số ẩn xác ñịnh bởi (*).

VD 14.
Xác ñịnh hàm số ẩn y(x) trong phương trình x
2
+ y
2
– 4 = 0.
• ðạo hàm hai vế (*) theo x, ta ñược:
/
/ / /
/
( , )
( , ) ( , ). 0 , ( , ) 0
( , )
x
x y y
y
F x y

x y arctg
x
+ =
. Tính
y
′
.
• Cho hàm số ẩn hai biến z = f(x, y) xác ñịnh bởi
F(x, y, z)) = 0, với
/
( , , ) 0
z
F x y z
≠
ta có:
/ / /
/
/
/
/ / /
/
/
/
( , , ) ( , , ). ( , ) 0
( , , )
( , ) ,
( , , )
( , , ) ( , , ). ( , ) 0
( , , )
( , ) .

z z
.

§3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ
3.1. ðịnh nghĩa
• Hàm s
ố
z = f(x, y)
ñạ
t c
ự
c tr
ị
(
ñị
a ph
ươ
ng) t
ạ
i
ñ
i
ể
m
M
0
(x
0
; y
0

) > 0 thì f(M
0
) là c
ự
c ti
ể
u và M
0
là
ñ
i
ể
m
c
ự
c ti
ể
u; f(M) – f(M
0
) < 0 thì f(M
0
) là c
ự
c
ñạ
i và M
0
là
ñ
i

t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i O(0; 0).

3.2. ðịnh lý
a) ðiều kiện cần

• N
ế
u hàm s
ố
z = f(x, y)
ñạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i M
0
(x
0
, y
0
) và t

( , ) ( , ) 0
x y
f x y f x y
= =

ñượ
c g
ọ
i
là
ñ
i
ể
m d
ừ
ng, có th
ể
không là
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a z.
b) ðiều kiện ñủ.
Gi

0 0 0 0 0 0
( , ), ( , ), ( , )
xy
x y
A f x y B f x y C f x y
= = =
.
Khi
ñ
ó:
+ N
ế
u AC – B
2
> 0 và A > 0 thì hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
ñ
i
ể
m M
0

(
ñ
i
ể
m M
0

ñượ
c g
ọ
i là
ñ
i
ể
m yên ng
ự
a).
+ N
ế
u AC – B
2
= 0 thì ch
ư
a th
ể
k
ế
t lu
ậ
n hàm s

D, ta th
ự
c hi
ệ
n các b
ướ
c sau:
B
ướ
c 1. Tìm
ñ
i
ể
m d
ừ
ng M
0
(x
0
; y
0
) b
ằ
ng cách gi
ả
i h
ệ
:
/
0 0

// 2
0 0
( , )
y
C f x y AC B
=
⇒ ∆ = −
.
B
ướ
c 3.
+ N
ế
u
∆
> 0 và A > 0 thì k
ế
t lu
ậ
n hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i

và c
ự
c
ñạ
i là f(M
0
).
+ N
ế
u
∆
< 0 thì k
ế
t lu
ậ
n hàm s
ố
không
ñạ
t c
ự
c tr
ị
.
+ N
ế
u
∆
= 0 thì không th
ể


Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
z = x
2
+ y
2
+ 4x – 2y + 8.

VD 4.

Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
z = x
3
+ y
3
– 3xy – 2.

0
; y
0
) thuộc ñường cong
( , ) 0
x y
ϕ
=
. N
ế
u t
ạ
i
ñ
i
ể
m M
0

hàm s
ố
f(x, y)
ñạ
t c
ự
c tr
ị
thì ta nói
ñ
i

tìm c
ự
c tr
ị
có
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a hàm s
ố
f(x, y) ta dùng
phương pháp khử
ho
ặ
c
nhân tử Lagrange
.

Phương pháp khử

T
ừ
ph
ươ
ng trình
( , ) 0

ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n x + y + 3 = 0.

VD 7.
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
f(x, y) = xy v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n:
2x + 3y – 5 = 0.

Phương pháp nhân tử Lagrange

L
L
λ

=

= ⇒


=


ñ
i
ể
m d
ừ
ng M
0
(x
0
; y
0
)
ứ
ng v
ớ
i
λ
0

(1)
và
(dx)
2
+ (dy)
2
> 0 (2).

Bước 4
T
ừ

ñ
i
ề
u ki
ệ
n (1) và (2), ta có:
+ N
ế
u
2
0 0
( , ) 0
d L x y
>
thì hàm s
ố

ñạ

+ N
ế
u
2
0 0
( , ) 0
d L x y
=
thì
ñ
i
ể
m M
0
không là
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
.

VD 9.

Tìm c
ự
c tr
ị

ñ
i
ề
u ki
ệ
n
2 2
1
8 2
x y
+ =
. Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

§1. TÍCH PHÂN BỘI HAI (KÉP)

1.1. Bài toán mở ñầu (thể tích khối trụ cong)
• Xét hàm s
ố
z = f(x, y) liên t
ụ
c, không âm và m
ộ
t m
ặ
t tr
ụ


i ph
ầ
n là
∆
S
i
(i=1,2,…,n). Nh
ư

v
ậ
y kh
ố
i tr
ụ
cong
ñượ
c chia thành n kh
ố
i tr
ụ
nh
ỏ
. Trong
m
ỗ
i
∆
S
i

n
i i i i i i i
i
V f x y S V f x y S
=
∆ ≈ ∆ ⇒ ≈ ∆
∑
. G
ọ
i
{
}
max ( , ) ,
i i
d d A B A B S
= ∈∆
là
ñường kính
c
ủ
a
i
S
∆
.
Ta có:
max 0

i,
ñ
o
ñượ
c D trong Oxy. Chia mi
ề
n D m
ộ
t cách tùy ý thành n
ph
ầ
n không d
ẫ
m lên nhau, di
ệ
n tích m
ỗ
i ph
ầ
n là
∆
S
i

(i=1,2,…,n). Trong m
ỗ
i
∆
S
i

ủ
a hàm
f(x, y) trên D (
ứ
ng v
ớ
i phân ho
ạ
ch
∆
S
i
và các
ñ
i
ể
m M
i
).
N
ế
u
max 0
1
lim ( , )
i
n
i i i
d
i

m M
i
thì s
ố
I
ñượ
c g
ọ
i là
tích phân bội hai
c
ủ
a f(x, y) trên D.

Ký hi
ệ
u
( , )
D
I f x y dS
=
∫∫
.
ðịnh lý.
Hàm f(x, y) liên t
ụ
c trong mi
ề
n b
ị

i các
ñườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i các tr
ụ
c
t
ọ
a
ñộ
thì
∆
S
i
=
∆
x
i
.
∆
y
i
hay dS = dxdy.
V
ậ
y
( , ) ( , )

là thể
tích hình trụ có các ñường sinh song song với Oz, hai ñáy
giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = f(x, y).
1.3. Tính chất của tích phân kép
• Tính chất 1. Hàm số f(x, y) liên tục trên D thì f(x, y) khả
tích trên D.
• Tính chất 2. Tính tuyến tính:

[ ( , ) ( , )]
D D D
f x y g x y dxdy fdxdy gdxdy
± = ±
∫∫ ∫∫ ∫∫
;

( , ) ( , ) ,
D D
kf x y dxdy k f x y dxdy k
= ∈
∫∫ ∫∫
ℝ
.

• Tính chất 3
Nếu chia D thành D
1
và D

∈
cố ñịnh
2
1
( )
( )
( , )
y x
y x
f x y dy
∫
tồn tại thì:
2 2
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , )
y x y x
b b
D a y x a y x
f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy
 
= =
 
 
 
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
.

Tương tự,

nh
ậ
t) thì:
( , ) ( , ) ( , )
b d d b
D a c c a
f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx
= =
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(hoán v
ị
c
ậ
n).
2)
1 2
{( , ) : , ( ) ( )}
D x y a x b y x y y x
= ≤ ≤ ≤ ≤
và
f(x, y) = u(x).v(y) thì:
2
1
( )
( )
( , ) ( ) ( )

3) N
ế
u D là mi
ề
n ph
ứ
c t
ạ
p thì ta chia D ra thành nh
ữ
ng
mi
ề
n
ñơ
n gi
ả
n nh
ư
trên.

VD 1.
Xác
ñị
nh c
ậ
n
ở
tích phân l
ặ

2
và x + y = 2.

VD 2.

Tính
D
I xydxdy
=
∫∫
v
ớ
i D gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i y = x – 4, y
2
= 2x.
ðổi thứ tự lấy tích phân

2
1
( )
( )


1)
2
1 2
0
( , )
x
x
I dx f x y dy

=

;
2)
2
3
1 0
( , )
y
I dy f x y dx
=

;
3)
2 2
1 3 1
0 1
9 9
( , ) ( , )
x

trong D
uv
thỡ:
( , ) ( ( , ), ( , ))
xy uv
D D
f x y dxdy f x u v y u v J dudv
=

.
Trong ủú:
/ /
/ /
/ /
/ /
( , ) 1 1
( , )
( , )
( , )
u v
x y
u v
x y
x x
x y
J
u v
u v
u u
y y

bin hỡnh D
xy
= g(D
uv
).
VD 5. Cho min D
uv
l phn t hỡnh trũn ủn v trong
mpOuv. Gi min D
xy
l nh ca D
uv
qua phộp bin hỡnh
g: (x, y) = g(u, v) = (u
2
v
2
, 2uv). Tớnh tớch phõn ca hm
2 2
1
( , )f x y
x y
=
+
trờn min bin hỡnh D
xy
.
VD 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi bn Parapol:
y = x
2


c


. Khi
ủ
ú, mi

n D
xy
tr

thnh:
1 2 1 2
{( , ): , ( ) ( )}
r
D r r r r


=

v
/ /
/ /
cos sin
( , )
sin cos

xy r
D D
r
r
f x y dxdy f r r rdrd
d f r r rdr


=
=.

Chỳ ý

1)

i bi

n trong t

a
ủ
c

c th

a biờn D.
3) N

u c

c O n

m trong D v m

i tia t

O c

t biờn D khụng
quỏ 1
ủ
i

m thỡ:
( )
2
0 0
( cos , sin ) ( cos , sin )
r
r
D
f r r rdrd d f r r rdr




.
5) N

u biờn D l elip thỡ
ủ
t:
cos
{( , ) : 0 2 , 0 1}
sin
r
x ra
D r r
y r b




=

=

=

.
VD 7.
Bi

u di

n tớch phõn

m trong (C
2
): (x 2)
2
+ y
2
= 4.
VD 8.
Tớnh di

n tớch hỡnh ellip:
2 2
2 2
1
x y
a b
+
.

VD 9.
Tớnh tớch phõn
2 2
( )x y
D
I e dxdy
+
=

v


2 2
0 0
( 1)!!
,
!!
sin cos
( 1)!!
. ,
2 !!
n n
n
n
n
xdx xdx
n
n
n






= =







+ + =
(mặt elipxoit);
3)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − =
(hyperboloit 1 tầng);
4)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − = −
(hyperboloit 2 tầng);

5)
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
+ − =
(nón eliptic);
6)
2 2
2 2

(mặt trụ hyperbolic);
10)
2
2
y px
=
(mặt trụ parabolic).
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 8

∆
V
i
ta l
ấ
y
ñ
i
ể
m P
i
(x
i
; y
i
; z
i
) và
ñườ
ng kính c
ủ
a
∆
V
i
là
d
i
. Kh
ố

i i i i
d
i
x y z V
ρ
→
=
∆
∑
thì
ñ
ó là kh
ố
i l
ượ
ng m
c
ủ
a v
ậ
t th
ể
V.

2.2. ðịnh nghĩa

• Cho hàm s
ố
f(x, y, z) xác
ñị

ỗ
i
∆
V
i
ta l
ấ
y P
i
(x
i
; y
i
; z
i
) tùy ý và l
ậ
p t
ổ
ng tích phân
1
: ( , , )
n
n i i i i
i
I f x y z V
=
= ∆
∑
.

ọ
n
ñ
i
ể
m P
i
thì s
ố
th
ự
c
I
ñượ
c g
ọ
i là
tích phân bội ba
c
ủ
a f(x, y, z) trên V.
Ký hi
ệ
u
( , , )
V
I f x y z dV
=
∫∫∫
.

u tích phân; x, y, z là các bi
ế
n tích phân.
Nhận xét
1) N
ế
u chia V b
ở
i các
ñườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i các tr
ụ
c
t
ọ
a
ñộ
thì
∆
V
i
=
∆
x
i
.

kh
ố
i l
ượ
ng v
ậ
t th
ể
V, v
ớ
i kh
ố
i l
ượ
ng riêng v
ậ
t ch
ấ
t chi
ế
m
th
ể
tích V là f(x, y, z).
N
ế
u f(x, y, z) = 1 thì I là th
ể
tích V.
3) Tích phân b

n d
ướ
i b
ở
i z = z
1
(x, y), gi
ớ
i h
ạ
n xung quanh b
ở
i m
ặ
t tr
ụ

có
ñườ
ng sinh song song v
ớ
i tr
ụ
c Oz. G
ọ
i D là hình chi
ế
u
c
ủ


• N
ế
u
1 2
{( , ) : , ( ) ( )}
D x y a x b y x y y x
= ≤ ≤ ≤ ≤
thì:
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
y x z x y
b
V a y x z x y
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
.
• N
ế
u
1 2
{( , ) : ( ) ( ), }
D x y x y x x y c y d
= ≤ ≤ ≤ ≤
thì:
2 2

ề
u ng
ượ
c v
ớ
i tia Oy)
b
ở
i hai m
ặ
t y = y
2
(x, z) và m
ặ
t y = y
1
(x, z), gi
ớ
i h
ạ
n xung
quanh b
ở
i m
ặ
t tr
ụ
có
ñườ
ng sinh song song Oy.

ế
u
1 2
{( , ) : , z ( ) ( )}
D x z a x b x z z x
= ≤ ≤ ≤ ≤ thì:
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
z x y x z
b
V a z x y x z
f x y z dxdydz dx dz f x y z dy
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
.
• N
ế
u
1 2
{( , ) : ( ) ( ), e }
D x z x z x x z z f
= ≤ ≤ ≤ ≤ thì:
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )

x y z
V D x y z
x y z
D x y z
f x y z dxdydz f x y z dx dydz
dydz f x y z dx
 
=
 
 
 
=
∫∫∫ ∫∫ ∫
∫∫ ∫
.
• Nếu
1 2
{( , ): , z ( ) ( )}
D y z c y d y z z y
= ≤ ≤ ≤ ≤
thì:
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , ) ( , , )
z y x y z
d
V c z y x y z
f x y z dxdydz dy dz f x y z dx

a b c d e f
= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
= × ×

thì:
( , , ) ( , , )
f
b d
V a c e
f x y z dxdydz dx dy f x y z dz
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
.
VD 1. Tính tích phân
8
V
I xyzdxdydz
=
∫∫∫
với
V = [1, 2]
×
[–1, 3]
×
[0, 2].

VD 2. Tính tích phân lặp


=


=

và
/ / /
/ / /
/ / /
( , , )
( , , )
u v w
u v w
u v w
x x x
x y z
J y y y
u v w
z z z
∂
= =
∂
.
Giả sử các hàm x, y, z có ñạo hàm riêng liên tục trong miền
ñóng, giới nội ño ñược V
uvw
trong không gian Ouvw và
0
J

2 2 2
:
x y z
V R
a b c
+ + ≤
.
2.3.3. ðổi biến trong tọa ñộ trụ
ðặt
cos
sin
x r
y r
z z
ϕ
ϕ
=


=


=

, với
0, 0 2
r
ϕ π
≥ ≤ ≤
ho

Khi
ñ
ó ta có:
( , , ) ( cos , sin , ). .
r z
V V
f x y z dxdydz f r r z r drd dz
ϕ
ϕ ϕ ϕ
=
∫∫∫ ∫∫∫
.
VD 6.
Tính th
ể
tích kh
ố
i V gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các m
ặ
t
2 2
4
x y z
+ = −

+ =
, z = 0 và z = 1. VD 8.
Tính tích phân
2 2 2
( )
V
I x y z dxdydz
= + +
∫∫∫
v
ớ
i V là
mi
ề
n hình nón gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các m
ặ
t:
2 2 2
x y z
+ =
và z = 1.

π ϕ π
− ≤ ≤
.

Ta có:
/ / /
/ / /
/ / /
cos sin 0
( , , )
sin cos 0
( , , )
0 0 1
r z
r z
r z
x x x r
x y z
J y y y r r
r z
z z z
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
−
∂
= = = =

V
I dxdydz
x y z
=
+ +
∫∫∫
với V là
miền giới hạn bởi các mặt cầu:

2 2 2
1
x y z
+ + =
và
2 2 2
4
x y z
+ + =
.

VD 10. Tính tích phân
2 2
( )
V
I x y dxdydz
= +
∫∫∫
với V là
miền giới hạn bởi:
2 2 2

y
≤ ≤
.
• Giá tr
ị
trung bình c
ủ
a hàm s
ố
f(x, y, z) trên mi
ề
n
ñ
óng
Ω

là:
1
( , , )
( )
f f x y z dxdydz
V
Ω
=
Ω
∫∫
.
VD 2.
Tính giá tr
ị

l
ượ
ng riêng (m
ậ
t
ñộ
kh
ố
i l
ượ
ng) t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(x, y) thu
ộ
c D là
hàm
( , )
x y
ρ
liên t
ụ
c trên D. Kh
ố
i l
ượ
ng c

ng riêng t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(x, y, z) thu
ộ
c V là hàm
( , , )
x y z
ρ

liên t
ụ
c trên V. Kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a v
ậ
t th
ể
là:
( , , )
V
m x y z dxdydz
ρ

x
≥
và
0
y
≥
. Bi
ế
t kh
ố
i l
ượ
ng riêng là
hàm
( , )
x y xy
ρ
=
.

3.4. Momen tĩnh
ðịnh nghĩa
• Momen t
ĩ
nh c
ủ
a m
ộ
t ch
ấ

x=0
= mx.
• Momen t
ĩ
nh c
ủ
a m
ộ
t ch
ấ
t
ñ
i
ể
m có kh
ố
i l
ượ
ng m
ñặ
t t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(x, y, z) trong Oxyz
ñố
i v
ớ

ng chi
ế
m di
ệ
n tích D trong Oxy
có kh
ố
i l
ượ
ng riêng t
ạ
i
ñ
i
ể
m M(x, y) là hàm
( , )
x y
ρ
liên
t
ụ
c trên D là:
0 0
( , ) , ( , )
y x
D D
M y x y dxdy M x x y dxdy
ρ ρ
= =

( , , )
x y z
ρ
liên t
ụ
c
trên V là:

0
0
0
( , , ) ,
M ( , , ) ,
M ( , , ) .
z
V
x
V
y
V
M z x y z dxdydz
x x y z dxdydz
y x y z dxdydz
ρ
ρ
ρ
=
=
=
=

x y
ρ
liên t
ụ
c trên D. Khi
ñ
ó, t
ọ
a
ñộ
tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a b
ả
n ph
ẳ
ng là:
( , )
1
( , ) ,
( , )
( , )
1
y ( , ) .
( , )
D
G
D

Khi b
ả
n ph
ẳ
ng
ñồ
ng ch
ấ
t thì
( , )
x y
ρ
là h
ằ
ng s
ố
nên:
1 1
, y
( ) ( )
G G
D D
x xdxdy ydxdy
S D S D
= =
∫∫ ∫∫
.
• Cho v
ậ
t th

ọ
ng tâm G c
ủ
a v
ậ
t th
ể
là:
1
( , , ) ,
1
y ( , , ) ,
1
( , , ) .
G
V
G
V
G
V
x x x y z dxdydz
m
y x y z dxdydz
m
z z x y z dxdydz
m
ρ
ρ
ρ
=

G
V
G
V
G
V
x xdxdydz
V
ydxdydz
V
zdxdydz
V
=
=
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
.
VD 4.
Tìm t
ọ
a
ñộ
tr
ọ
ng tâm hình ph
ẳ
ng D gi
ớ

ñồ
ng ch
ấ
t chi
ế
m th
ể

tích V gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i m
ặ
t nón
2 2 2
z x y
= +
,
0
z
≥
và m
ặ
t c
ầ
u
2 2 2

+ y
2
).
• Momen quán tính của một chất ñiểm có khối lượng m ñặt
tại ñiểm M(x, y, z) ñối với trục Ox, Oy, Oz và gốc tọa ñộ O
theo thứ tự là:
I
x
= m(y
2
+ z
2
), I
y
= m(x
2
+ z
2
), I
z
= m(x
2
+ y
2
)
và I
O
= I
x
+ I

lượng riêng tại ñiểm M(x, y) là hàm
( , )
x y
ρ
liên tụ
c trên D.
Khi
ñ
ó:
( )
2
2
2 2
( , ) ,
( , ) ,
( , ) .
x
D
y
D
O
D
I y x y dxdy
I x x y dxdy
I x y x y dxdy
ρ
ρ
ρ
=
=

x y z
ρ
liên t
ụ
c trên V. Khi
ñ
ó:
(
)
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2 2
( , , ) ,
( , , ) ,
( , , ) ,
( , , )
x
V
y
V
z
V
O
V
I y z x y z dxdydz
I x z x y z dxdydz

V
y
V
I z x y z dxdydz
I x x y z dxdydz
I y x y z dxdydz
ρ
ρ
ρ
=
=
=
=
=
=
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫VD 6.
Tính I
x
, I
y
c
ủ
a hình D gi
ớ
i h

ế
t
2 2
( , )
x y x y
ρ
= +
. Chương 3. TÍCH PHÂN ðƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT

§1. TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOẠI I

1.1. ðịnh nghĩa

• Gi
ả
s
ử

ñườ
ng cong L trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy có ph
ươ
ng
trình tham s

ng v
ớ
i
0 1

n
a t t t b
= < < < =
.
G
ọ
i
ñộ
dài cung th
ứ
i là
i
s
∆
. Trên cung th
ứ
i l
ấ
y
ñ
i
ể
m
( , )
i i i

n
0
1
lim ( , )
i
n
i i i
max s
i
f x y s
∆ →
=
∆
∑
t
ồ
n t
ạ
i
ñượ
c g
ọ
i là
tích
phân ñường loại 1
c
ủ
a f(x, y) trên
ñườ
ng cong L.

i 1 không ph
ụ
thu
ộ
c vào chi
ề
u c
ủ
a
L:


( , ) ( , )
AB BA
f x y ds f x y ds
=
∫ ∫
. 1.2. Phương pháp tính
a) ðường cong L có phương trình tham số

• N
ế
u L có ph
ươ
ng trình
( )
x x t

=
,
( )
y y t
=
,
( )
z z t
=
v
ớ
i
a t b
≤ ≤
thì:
( ) ( ) ( )
2 2 2
/ / /
( , , ) ( ( ), ( ), ( ))
b
t t t
L a
f x y z ds f x t y t z t x y z dt
= + +
∫ ∫
.

b) ðường cong L trong Oxy có phương trình tổng quát

• N

( )
x x y
=
v
ớ
i
a y b
≤ ≤
thì:
( )
2
/
( , ) ( ( ), ) 1
b
y
L a
f x y ds f x y y x dy
= +
∫ ∫
.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 12

ðặc biệt
• Nếu L có phương trình
y
α

• Nếu L ñược cho trong tọa ñộ cực
( )
r r
ϕ
=
vớ
i
α ϕ β
≤ ≤

thì ta xem
ϕ
là tham s
ố
. Khi
ñ
ó, ph
ươ
ng trình c
ủ
a L là
( )cos
x r
ϕ ϕ
=
,
( )sin
y r
ϕ ϕ
=

n
ố
c tr
ụ
tròn xoay có
ph
ươ
ng trình
cos
x a t
=
,
sin
y a t
=
,
z bt
=
,
0 2
t
π
≤ ≤
.

VD 2.
Tính
( )
L
x y ds

2
z x
=
n
ằ
m trong góc ph
ầ
n tám th
ứ

nh
ấ
t t
ừ

ñ
i
ể
m A(0; 1; 0)
ñế
n B(1; 0; 1).
1.3. Ứng dụng
1)
ðộ
dài cung L là
L
ds

ộ
c vào
ñ
i
ể
m M(x, y) trên L thì kh
ố
i
l
ượ
ng c
ủ
a dây v
ậ
t d
ẫ
n là
( , )
L
m x y ds
ρ
=
∫
.
Tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a L là:
1

ñộ
kh
ố
i
l
ượ
ng
( , , )
x y z
ρ
ph
ụ
thu
ộ
c vào
ñ
i
ể
m M(x, y, z) trên L thì
kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a dây v
ậ
t d
ẫ
n là

∫
,
1
( , , )
G
L
z z x y z ds
m
ρ
=
∫
.
VD 4.
Tính
ñộ
dài cung tròn
2 2
2 0
x y x
+ − =
n
ằ
m trong
góc th
ứ
nh
ấ
t t
ừ
A(2; 0)

0
z
≥
. Bi
ế
t m
ậ
t
ñộ
kh
ố
i l
ượ
ng
( , , ) 2
x y z z
ρ
= −
.
Tìm kh
ố
i l
ượ
ng và tr
ọ
ng tâm c
ủ
a dây thép.

§2. TÍCH PHÂN ðƯỜNG LOẠI II

ẳ
ng AB thì công sinh ra là
(
)
. cos ,
W F AB F AB F AB
= =
     
.
Chia L thành n cung nh
ỏ
b
ở
i các
ñ
i
ể
m chia
0 1
, , ,
n
A A A
.
Trên m
ỗ
i cung

1
i i
A A

c:
( ) ( , ). ( , ).
i i i i i
F M P i Q j
ξ η ξ η
= +
  
và
1
. .
i i i i
A A x i y j
−
= ∆ + ∆
  
. Khi
ñ
ó, công W sinh ra:
[ ]
1
1 1
1
( )
( , ) ( , ) .
n n
i i i i
i i

−
→
=
= ∆ + ∆
∑

.
2.2. ðịnh nghĩa
• Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác
ñị
nh trên
ñườ
ng cong L.
Chia L thành n cung nh
ỏ
b
ở
i các
ñ
i
ể
m chia
0 1
, , ,
n
A A A
.

= ∆ ∆

. T
ổ
ng
[ ]
1
( , ) ( , )
n
n i i i i i i
i
I P x Q y
ξ η ξ η
=
= ∆ + ∆
∑

ñượ
c g
ọ
i là t
ổ
ng tích
phân
ñườ
ng (lo
ạ
i 2) c
ủ
a hàm P(x, y) và Q(x, y) trên

ạ
i 2 c
ủ
a P(x, y) và Q(x, y) trên
ñườ
ng cong L.

Ký hi
ệ
u là
( , ) ( , )
L
P x y dx Q x y dy
+
∫
.

Nhận xét1) Tích phân
ñườ
ng lo
ạ
i 2 có t
ấ
t c
ả
các tính ch
ấ

A A x y
−
= ∆ ∆


ñổ
i d
ấ
u, do
ñ
ó khi vi
ế
t
tích phân ta c
ầ
n ghi rõ
ñ
i
ể
m
ñầ
u và cu
ố
i:


( , ) ( , ) ( , ) ( , )
AB BA
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy
+ = − +

+ +
∫
. 2.3. Phương pháp tính
a) ðường cong L có phương trình tham số
• Nếu L có phương trình
( )
x x t
=
,
( )
y y t
=
thì:

/ /
( , ) ( , )
( ( ), ( )) ( ( ), ( )) .
B
A
AB
t
t t
t
P x y dx Q x y dy
P x t y t x Q x t y t y dt
+
 

t
t t
t
t
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P x t y t z t x Q x t y t z t y
dt
R x t y t z t z
+ +
 
+
=
 
+
 
 
∫
∫
b) ðường cong L trong Oxy có phương trình tổng quát

• N
ế
u L có ph
ươ
ng trình
( )
y y x

B
A
y
y
y
AB
Pdx Qdy P x y y x Q x y y dy
 
+ = +
 
∫ ∫
. ðặc biệt
• N
ế
u L có ph
ươ
ng trình
y
α
=
(h
ằ
ng s
ố
) thì:

( , ) ( , ) ( , )

P x y dx Q x y dy Q y dy
α
+ =
∫ ∫
.
VD 1.
Tính
L
xdy ydx
−
∫

v
ớ
i L là elip
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
l
ấ
y theo
chi
ề
u d
ươ
ng.


b)
ñườ
ng y = x
2
;
c)
ñườ
ng
y x
=
.

VD 3.
Tính
L
dx ydy dz
− +
∫
v
ớ
i L là
ñườ
ng xo
ắ
n
ố
c tr
ụ
tròn
xoay có ph

• Cho mi
ề
n D là mi
ề
n liên thông, b
ị
ch
ặ
n, có biên L Jordan
kín tr
ơ
n t
ừ
ng khúc. Chi
ề
u d
ươ
ng c
ủ
a L là chi
ề
u mà khi di
chuy
ể
n ta th
ấ
y mi
ề
n D n
ằ

1
( )
2
D
S D xdy ydx
∂
= −
∫
.

VD 4.
Tính di
ệ
n tích c
ủ
a elip
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
.

VD 5.
Tính
2 2
( ) ( 2 )
y
L

ng cong kín không bao g
ố
c O;
b) L là
ñườ
ng cong kín bao g
ố
c O.

2.5. ðiều kiện tích phân ñường không phụ thuộc ñường
lấy tích phân
ðịnh lý
• Gi
ả
s
ử
các hàm s
ố
P(x, y), Q(x, y) và các
ñạ
o hàm riêng
c
ấ
p 1 c
ủ
a chúng liên t
ụ
c trong mi
ề
n

ọ
c theo m
ọ
i
ñườ
ng kín L
n
ằ
m trong D.
3)

( , ) ( , )
AB
P x y dx Q x y dy
+
∫
, trong
ñ
ó

AB
n
ằ
m trong D, ch
ỉ

ph
ụ
thu
ộ

§3. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I

Hệ quả
• Nếu P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm
u(x, y) nào ñó trong miền D, nghĩa là
/ /
, ( , )
y x
P Q x y D
= ∀ ∈

thì:

( , ) ( , ) ( ) ( )
AB
P x y dx Q x y dy u B u A
+ = −
∫
.

VD 7. Tính
2 2 2 2
L
x y x y
dx dy
x y x y
− +
+
+ +
∫

Nếu
max ( ) 0
1
lim ( , , )
i
n
i i i i
d S
i
I f S
ξ η ζ
∆ →
=
= ∆
∑
tồn tại hữu hạn, không
phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn ñiểm M
i
thì số I
ñược gọi là tích phân mặt loại 1 của f(x, y, z) trên S.
Ký hiệu
( , , )
S
I f x y z dS
=
∫∫
. 3.2. Phương pháp tính

Oyz là D thì:
( ) ( )
2 2
/ /
( , , ) ( ( , ), , ) 1
y z
S D
f x y z dS f x y z y z x x dydz
= + +
∫∫ ∫∫
.

VD 1. Tính
S
I zdS
=
∫∫
, trong ñó S là phần mặt nón
2 2 2
z x y
= +
với
0 1
z
≤ ≤
.
VD 2. Tính
2 2 2
( )
S

.
2) N
ế
u m
ặ
t S có hàm m
ậ
t
ñộ
kh
ố
i l
ượ
ng là
( , , )
x y z
ρ
thì
kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a m
ặ
t S là:
( , , )
S
m x y z dS

ρ
= =
=
∫∫ ∫∫
∫∫4.1. ðịnh nghĩa
4.1.1. Mặt ñịnh hướng
• M
ặ
t tr
ơ
n S
ñượ
c g
ọ
i là m
ặ
t
ñị
nh h
ướ
ng n
ế
u pháp vector
ñơ
n v
ị


ñị
nh h
ướ
ng có
hai phía, phía mà n
ế
u
ñứ
ng trên
ñ
ó thì
n

h
ướ
ng t
ừ
chân lên
ñầ
u là phía d
ươ
ng, ng
ượ
c l
ạ
i là phía âm.
• H


l
ậ
p v
ớ
i
tia Oz góc nh
ọ
n, ng
ượ
c là là phía d
ướ
i.
Khi m
ặ
t S kín ta g
ọ
i phía trong và phía ngoài.
• M
ặ
t tr
ơ
n t
ừ
ng khúc S là
ñị
nh h
ướ
ng
ñượ

4.1.2. ðịnh nghĩa tích phân mặt loại 2
• Cho hàm s
ố
f(x, y, z) xác
ñị
nh trên m
ặ
t
ñị
nh h
ướ
ng, tr
ơ
n
t
ừ
ng khúc S. Chia S m
ộ
t cách tùy ý thành n ph
ầ
n không
d
ẫ
m lên nhau, di
ệ
n tích m
ỗ
i ph
ầ
n là ∆S

ấ
u d
ươ
ng
n
ế
u ∆S
i
có
ñị
nh h
ướ
ng trên, ng
ượ
c l
ạ
i là d
ấ
u âm.
L
ậ
p t
ổ
ng tích phân
( )
1
( , , ).
n
n i i i i
i

u h
ạ
n,
không ph
ụ
thu
ộ
c vào cách chia S và cách ch
ọ
n
ñ
i
ể
m M
i
thì
s
ố
I
ñượ
c g
ọ
i là tích phân m
ặ
t lo
ạ
i 2 c
ủ
a f(x, y, z) trên m
ặ

• Kết hợp cả 3 dạng trên ta ñược tích phân mặt loại 2 của
các hàm P, Q, R trên S:
( , , ) ( , , ) ( , , )
S
P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
+ +
∫∫
.

Nhận xét
• Nếu ñổi hướng của mặt S thì tích phân ñổi dấu.
• Nếu S kín thì tích phân còn ñược ký hiệu là:
S
Pdydz Qdzdx Rdxdy
+ +
∫∫

.

4.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1
• Cho mặt ñịnh hướng trơn từng khúc S có pháp vector ñơn
vị
n

. Gọi
, ,
α β γ
lầ
n l
ượ

/ /
2 2 2 2
/ / / /
1
cos ,
1
1 1
cos , cos .
1 1
y z
x z x y
x x
y y z z
α
β γ
=
+ +
= =
+ + + +4.3. Phương pháp tính
a) N
ế
u S có hình chi
ế
u
ñơ
n tr
ị

u
ñơ
n tr
ị
lên Oxz là mi
ề
n D
xz
và có
ph
ươ
ng trình y(x, z) thì:
( , , ) ( , ( , ), )
xz
S D
Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx
= ±
∫∫ ∫∫
.
c) N
ế
u S có hình chi
ế
u
ñơ
n tr
ị
lên Oyz là mi
ề
n D

+ + =
.

VD 2.
Cho
( ) ( ) ( )
S
I y z dydz z x dzdx x y dxdy
= − + − + −
∫∫
,
v
ớ
i S là phía ngoài c
ủ
a m
ặ
t nón
2 2 2
x y z
+ =
,
0 4
z
≤ ≤
.
Chuy
ể
n tích phân v
ề

t. Gi
ả
s
ử
P, Q, R là các hàm có
ñạ
o
hàm riêng liên t
ụ
c trong mi
ề
n m
ở
ch
ứ
a S. Khi
ñ
ó:
( ) ( ) ( )
/ / / / / /
.
S
y z z x x y
S
Pdx Qdy Rdz
R Q dydz P R dzdx Q P dxdy
∂
+ +
= − + − + −
∫

, v
ớ
i C là
ñườ
ng tròn giao
c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u
2 2 2 2
x y z R
+ + =
và m
ặ
t ph
ẳ
ng
0
x y z
+ + =

và h
ướ
ng tích phân trên C là h
ướ
ng d
ươ

o hàm riêng liên t
ụ
c trong mi
ề
n
m
ở
ch
ứ
a V. Khi
ñ
ó:
(
)
/ / /
x y z
S V
Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdydz
+ + = + +
∫∫ ∫∫∫

.
(Tích phân
S
∫∫

l
ấ
y theo phía ngoài c
ủ

ộ
t ph
ươ
ng trình ch
ứ
a
ñạ
o hàm ho
ặ
c vi phân c
ủ
a 1 ho
ặ
c
vài hàm c
ầ
n tìm
ñượ
c g
ọ
i là ph
ươ
ng trình vi phân.

VD 1.
y’ – 2y = 1; (x + y)dy – 2ydx = 0;
2y’’ – 3y’ + y = 0;
2 0
dy dz
dx dx

dy
x
dx
=
là ptvp c
ấ
p 1;
y’’ + 4y’ – 3y = 0 là ptvp c
ấ
p 2.
• D
ạ
ng t
ổ
ng quát c
ủ
a ptvp c
ấ
p n là F(x, y, y’,…, y
(n)
) = 0(*),
n
ế
u t
ừ
(*) ta gi
ả
i
ñượ
c theo y

ñồ
ng nh
ấ
t th
ứ
c trên K.
Ph
ươ
ng trình vi phân có vô s
ố
nghi
ệ
m sai khác h
ằ
ng s
ố
C.
• Gi
ả
i ph
ươ
ng trình vi phân là tìm t
ấ
t c
ả
các nghi
ệ
m c
ủ
a nó.

+ C
2
e
–x

ñề
u là
nghi
ệ
m c
ủ
a y’’ – y = 0.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 16
§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 2.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1
• Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng tổng
quát F(x, y, y’) = 0 (*), nếu từ (*) ta giải ñược theo y’ thì
y’ = f(x, y).

• Giải ptvp cấp 1 với ñiều kiện ñầu y(x
0
) = y
0
là ñi tìm
nghiệm thỏa ñiều kiện ñầu, hay tìm 1 ñường cong tích phân
của ptvp ñi qua ñiểm M

VD 3.
Tìm ptvp của họ ñường cong y = Cx
2
.
2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản
2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 có biến phân ly
• Ptvp có biến phân ly có dạng:
( ) ( ) (1)
f x dx g y dy
+
.

Phương pháp giải
• L
ấ
y tích phân hai v
ế
(1) ta
ñượ
c nghi
ệ
m t
ổ
ng quát:
( ) ( )
f x dx g y dy C
+ =

d
ạ
ng (1) nh
ư
sau:
+ N
ế
u g
1
(y
0
) = 0 thì y = y
0
là nghi
ệ
m c
ủ
a (1).
+ N
ế
u f
2
(x
0
) = 0 thì x = x
0
là nghi
ệ
m c
ủ

VD 6.
Gi
ả
i ptvp
2 3
( 1) ( 1)( 1) 0
x y dx x y dy
+ + − − =
.
VD 7.
Gi
ả
i ptvp xy’ + y = y
2
th
ỏ
a
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñầ
u
1
(1)
2
y
=

ạ
n, các hàm
( , )
2 3
x y
f x y
x y
−
=
+
,
2
( , )
2 3
x xy
f x y
x y
−
=
+
, f(x, y) = x
2
+ xy là
ñẳ
ng c
ấ
p b
ậ
c 0, 1, 2 t
ươ

( , ) (2)
y f x y
′
=
.

Phương pháp giải

•
ðặ
t
y
u y u xu
x
′ ′
= ⇒ = +
.
•
(2) ( )
( )
du dx
u xu u
u u x
ϕ
ϕ
′
⇒ + = ⇒ =
−

(

′
=
−
v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñầ
u y(1) = 0. 2.2.3. Phương trình vi phân toàn phần
• Cho ptvp có d
ạ
ng:
( , ) ( , ) 0 (3)
P x y dx Q x y dy
+ =
v
ớ
i
ñ
i
ề
u

ng quát c
ủ
a (3) là u(x, y) = C.

Phương pháp giải

B
ướ
c 1. T
ừ
(3) ta có
/
x
u P
=
(3a) và
/
y
u Q
=
(3b).
B
ướ
c 2. L
ấ
y tích phân (3a) theo x:
( , ) ( , ) ( , ) ( )
u x y P x y dx x y C y
ϕ
= = +

Cho ph
ươ
ng trình vi phân:
2 2
(3 2 2 ) ( 6 3) 0
y xy x dx x xy dy
+ + + + + =
(*).
a)

Ch
ứ
ng t
ỏ
(*) là ptvp toàn ph
ầ
n.
b)

Gi
ả
i ptvi (*).

VD 12.
Gi
ả
i ptvp
( 1) ( ) 0
y
x y dx e x dy

=
.
Bước 2. Tìm biểu thức
( )
( ) ( ).
p x dx
B x q x e dx
∫
=
∫
.
Bước 3. Nghiệm tổng quát là
[
]
( ) ( )
y A x B x C
= +
.

Chú ý

• Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0.
• Phương pháp biến thiên hằng số là ñi tìm nghiệm tổng
quát của (4) dưới dạng:
( )
( )
p x dx
y C x e
−
∫


2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli
• Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:
( ) ( ) (5)
y p x y q x y
α
′
+ =
.
• Khi
α
= 0 hoặc
α
= 1 thì (5) là tuyến tính cấp 1.
• Khi p(x) = q(x) = 1 thì (5) là phương trình có biến phân ly.

Phương pháp giải (với
α
khác 0 và 1)
+ Với
0
y
≠
, bi
ế
n
ñổ
i:
1
(5) ( ) ( ) ( ) ( )

(pt tuy
ế
n tính c
ấ
p 1). Chú ý

• Ph
ươ
ng trình Bernoulli luôn có nghi
ệ
m k
ỳ
d
ị
là y = 0.

VD 16.

Gi
ả
i ptvp
2
y
y xy
x
′
+ =

+ =
.
§3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

3.1. Các dạng phương trình cơ bản
3.1.1. Phương trình khuyết y và y’
• D
ạ
ng ph
ươ
ng trình:
( ) (1)
y f x
′′
=
.

Phương pháp giải
• L
ấ
y tích phân hai v
ế
(1) hai l
ầ
n.

VD 1.

• D
ạ
ng ph
ươ
ng trình:
( , ) (2)
y f x y
′′ ′
=
.

Phương pháp giải
•
ðặ
t z = y’
ñể

ñư
a (2) v
ề
ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính c
ấ
p 1.

VD 3.
Gi

ạ
ng ph
ươ
ng trình:
( , ) (3)
y f y y
′′ ′
=
.

Phương pháp giải
•
ðặ
t
.
dz dz dy dz
z y y z z
dx dy dx dy
′ ′′ ′
=
⇒
= = = =

ñể

ñư
a v
ề
pt
bi

′
= =
.

3.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số
hằng
3.2.1. Phương trình thuần nhất
• D
ạ
ng ph
ươ
ng trình:
1 2
0 (4)
y a y a y
′′ ′
+ + =
(a
1
, a
2
là các h
ằ
ng s
ố
).

Phương pháp giải
• Xét ph
ươ

1 2
1 2
,
k x k x
y e y e
= =
và
nghi
ệ
m t
ổ
ng quát là
1 2
1 2
k x k x
y C e C e
= +
.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 18

2) Trường hợp 2: (5) có nghiệm kép thực k.
Khi ñó, (4) có hai nghiệm riêng
1 2
,
kx kx

.
VD 7. Giải ptvp
2 3 0
y y y
′′ ′
+ − =
.
VD 8. Giải ptvp
6 9 0
y y y
′′ ′
− + =
.
VD 9. Giải ptvp
2 7 0
y y y
′′ ′
+ + =
.

3.2.2. Phương trình không thuần nhất
• Dạng phương trình:
1 2
( ) (6)
y a y a y f x
′′ ′
+ + =
(a
1
, a

′ ′ ′ ′
+ =

.
VD 10. Giải ptvp
1
cos
y y
x
′′
+ =
.
ðịnh lý
• Nghiệm tổng quát của (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của
(4) với 1 nghiệm riêng của (6).

VD 11. Cho phương trình vi phân:
2
2 2 (2 )
x
y y y x e
′′ ′
− + = +
(*).
a) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là
2
x

y
1
(x) và y
2
(x) l
ầ
n l
ượ
t là nghi
ệ
m riêng c
ủ
a
1
( ) ( ) ( )
y p x y q x y f x
′′ ′
+ + =
,
2
( ) ( ) ( )
y p x y q x y f x
′′ ′
+ + =

thì y(x) = y
1
(x) + y
2
(x) là nghi

y x
= −
,
cos2
y y x
′′ ′
− =
có
nghi
ệ
m riêng
2
2 1
cos2 sin2
10 10
y x x
= − −
.

§4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

4.1. Khái niệm cơ bản

• H
ệ

phương trình vi phân chuẩn tắc cấp 1
có d
ạ
ng:

ế
n s
ố

ñộ
c l
ậ
p và y
1
(x), y
2
(x),…, y
n
(x) là các
hàm s
ố
c
ầ
n tìm.
• B
ộ
n hàm s
ố

1 2
( , , , , ), 1,
i i n
y x C C C i n
ϕ
= =

ề
d
ạ
ng h
ệ
ptvp chu
ẩ
n t
ắ
c c
ấ
p 1 b
ằ
ng cách
ñặ
t
( 1)
1 2
, , ,
n
n
y y y y y y
−
′
= = =
.
Khi
ñ
ó, ta
ñượ


=

.
4.2. Phương pháp giải
a) Phương pháp khử ñưa về phương trình vi phân cấp
cao

VD 1.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
5
4 5
y y z
z y z
′
= +


′
= +


/ /
2
2 21 1 22 2 2 2
/
/
1 1 2 2
n n
n n
n
n
n n n nn n
y a y a y a y
y
y
y
y a y a y a y y
A
y
y
y a y a y a y

= + + +
 
 

Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình
ñặ
c tr
ư
ng
det( ) 0
A I
λ
− =
có n nghi
ệ
m
phân bi
ệ
t
, 1,
i
i n
λ
=
.
V
ớ
i m

n n
x x x
n n
x x x
n n n n nn nn
y p e y p e y p e
y p e y p e y p e
y p e y p e y p e
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ

= = =

= = =




= = =


và nghiệm tổng quát là
1 1 11 2 12 1
2 1 21 2 22 2
1 1 2 2



.
ðặc biệt
• Hệ ptvp có dạng
11
22
/
11 1 1
1 11
/
22 2 2
2 22
/
0 0
0 00 0
nn
x
x
x
nn n n
n nn
y y
y C e
y y
y C e
y y
y C e

2
y y
z z
u u
′
= −


′
=


′
=

.

………………………………… Hết…………………………………