Đại học quốc gia hà nội
Tr ờng đại học ngoại ngữ
cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm
2009
Môn Thi : Toán
Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề)
Ngày thi 07-06-2009 Đề thi gồm 01 trang
( Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng bất kỳ tài liệu nào ,CBCT không giải thích gì thêm)
Câu 1: (2điểm)
Cho biểu thức

3
3
2
3 2
3
3
3
3
3 2
3
2
4
.
2
2
2
2:
2


+
+
+

=
(
)0;8;8 xxx
Chứng minh A không phụ thuộc biến số
Câu 2 : ( 2 điểm)
Cho phơng trình bậc 2 : x
2
-2(m+1)x+4m-m
2
=0 ( tham số m)
1-Chứng minh PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
2-Gọi x
1
;x
2
là 2 nghiệm của phơng trình .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

21
xxM =
Câu 3: ( 2 điểm)
Giải hệ phơng trình





Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã
Tr ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2009
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinhthi vào khối chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút
Câu 1: Cho biểu thức
64169220
24
++++= aaaA
B=a
4
+20a
3
+102a
2
+40a+200
a-Rút gọn A
b- Tìm a để A+B=0
Câu 2:Hai công nhân cùng làm một công việc 18 h xong.Nếu ngời thứ nhất làm 6h
và ngời thứ 2 làm 12 h thì đợc 50% công việc.Hỏi nếu làm riêng mỗi ngời hoàn
thành công việc trên bao lâu?
Câu 3: Cho Parabol y= x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình y=mx+1
a- Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B với mọi m
b- Gọi A(x
1

yyxx
Chứng minh x+y=0
Hết
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

2
Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã
Tr ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2009
Môn thi: Toán học
(Dùng riêng cho thí sinh thi vào lớp chuyên toán và chuyên tin)
Thời gian làm bài :150 phút
Câu 1 Các số thực x, y thoả mãn
2xy
và
2xy
. Chứng minh rằng biểu thức
sau không phụ thuộc vào x, y
333
3
3
22
3
22
2
.
222
2

=++ cbxx
, trong đó cá tham số b và c thoả mãn
đẳng thức b + c = 4. Tìm các giá trị của b và c để phơng trình có hai
nghiệm phân biệt
21
, xx
sao cho
2
2
21
xxx +=
1) Giả sử (x, y, z) là một nghiệm của hệ phơng trình:







=++
=+
1
3510
1
4123
zyx
zyx
Hãy tính giá trị của A = x + y + z
Câu 3 Ba số nguyên dơng a, p, q thỏa mãn các điều kiện:
i) ap + 1 chia hết cho q.

Hết
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
3
Đại học quốc gia hà nội Đề tuyển sinh lớp 10
Trờng đại học khoa học tự nhiên hệ thpt chuyên năm 2009
Môn : toán (vòng 1)
Thời gian làm bài :120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I. 1) Giải phơng trình

122
22
+=+
xxxx
2) Giải hệ phơng trình





+=+
=+
33
1
2
22
yyx
xyyx
Câu II. 1) Tìm chữ số tận cùng của chữ số
2009613
2009613 ++

bccb
b
abba
a
++

++
+
++
+
++

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

4
Đại học quốc gia hà nội Đề tuyển sinh lớp 10
Trờng đại học khoa học tự nhiên hệ thpt chuyên năm 2009
Môn : toán (vòng 2)
Thời gian làm bài :150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I. 1) Giải phơng trình

353684163514
2
+++=+++
xxxx
2) Chứng minh rằng
14)12(4
12

34

)912,2240(),2176,1056(),2104,844(),702,2018(
1
=M
hay không?
Câu III. Cho đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đờng thẳng
AB ta lấy một điểm M bất kỳ sao cho điểm A nằm trong đoạn BM
( )
AM
.
Từ điểm M kẻ tới đờng tròn (O) các tiếp tuyến MC và MD (C và D là
các
tiếp điểm, C nằm ngoài (O)). Đờng thẳng AC cắt lần thứ hai đờng tròn
(O) tại điểm P và đờng thẳng AD cắt lần thứ hai đờng tròn (O) tại Q.
Đờng thẳng CD cắt PQ tại K.
2) Chứng minh rằng hai tam giác BCD và BPQ đồng dạng
3) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác
KCP luôn đi qua điểm cố định.
Câu IV. Giả sử x,y,z là những số thực thoả mãn điều kiện
2,,0 zyx
và x+ y + z = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức :
( )
)1)(1(112
444
zyxzyxM
+++=

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
5
UBND TỈNH NINH BÌNH

1
; x
2
thỏa mãn:
1 2
1 1 7
x x 4
+ =
Câu 3: (1,0 điểm)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một ca nô chạy xuôi dòng
từ bến A tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến sông B và ngược dòng trở về A. Thời
gian kể từ lúc khởi hành đến khi về bến A tất cả 12 giờ. Tính vận tốc riêng của ca
nô và vận tốc dòng nước biết vận tốc riêng của ca nô gấp 4 lần vận tốc dòng nước.
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường
tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d) và nằm
ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R)
(N, P là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác
định tâm đường tròn đó.
b) Chứng minh MA.MB = MN
2
.
c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều.
d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
Câu 5: (1 điểm)
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:
4 5
23
x y

y
3 1 3 1
3 3 1 3 3 1
3 1 3 1
3 3 1
3
2
= −
− +
+ −
= −
− −
−
= =
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3
x x y y
A x y
x xy y
x y x y x xy y
x y x y
x xy y x xy y
x y x y x y 10 3 7
+
= −

' 1 1 2 3m m m m∆ = − − + − = −
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì
' 0∆ >
hay m<3 (1)
Áp dụng định lý Viet cho phương trình ta có
1 2
1 2
2( 1)
1
2
.
1
m
S x x
m
m
P x x
m
−

= + =


+

−

= =

+

6m⇔ = −
Kết hợp với điều kiện (1) kết luận m=-6
Câu 3: (1,0 điểm)
Gọi vận tốc của dòng nước là: x (km/giờ) (ĐK: x>0)
Vận tốc thực của ca nô là: 4x (km/ giờ)
Khi ca nô xuôi dòng từ A đến B vận tốc của ca nô so với đường là: 4x+x (km/giờ)
Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là:
60 12
4x x x
=
+
(giờ).
Khi ca nô ngược dòng từ B về A vận tốc của ca nô so với đường là: 4x-x (km/giờ)
Thời gian ca ngược dòng từ B về A là:
60 20
4x x x
=
−
(giờ).
Thời gian ca nô nghỉ ở B là 1 giờ 20 phút hay
4
3
giờ.
Vì tổng thời gian hết 12 giờ nên ta co phương trình

12 20 4
12
3
8 1
20 3

·
0
ONM+OPM 180=
Vậy tứ giác MNOP nội tiếp trong đường
Tròn đường kính OM, tâm là trung điểm OM
(Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
).
b) CM: MA.MB = MN
2
:
Xét 2 tam giác
∆
AMN và
∆
NMB có
Góc
·
AMN
chung.

·
ANM
=
·
ABN
(Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cung chắn
cung
»
AN

⇒
·
0
ONM 30=
* Lại có tam giác
∆
OMN vuông tại N và
·
0
ONM 30=
nên
⇒
·
0
NOM 60=
Gọi I là trung điểm OM thì IN=IM=IO (NI là trung tuyến ứng cạnh huyền
của tam giác vuông OMN)

⇒
Tam giác
∆
ONI đều
Vậy IN=IM=IO=R hay OM =2R
* Kết luận: Vậy để tam giác MNP đều thì OM=2R.
d. Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác MNP là đường thằng d’ song
song với đường thẳng d (trừ các điểm
ở bên trong đường tròn).
Bài 5:
6 7 2 2 4 5

 
Đáp án của Phùng Văn Nhiên
GV: THPT Bán Công Tạ Uyên
10
UBND TNH NINH BèNH
S GIO DC & O TO
K THI TUYN SINH LP 10- THPT
Chuyờn Lng Vn Ty
Nm hc 2009- 2010
(Khúa ngy 30/9/2009)
Mụn thi: TON- VềNG II
Câu 1 (2 điểm)
Cho biểu thức:
2
1 1
( 1)
1
1
x x x
P x x
x
x


= +
ữ ữ
ữ ữ





Câu 3 (2 điểm)
a. Cho hai phơng trình x
2
+ 2mx + mn 1 = 0 và x2 2nx + m + n = 0 (ẩn x,
tham số m, n). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n ít nhất một trong hai phơng trình
trên có nghiệm.
b. Ngời ta thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số của một số tự nhiên có hai chữ số để
tạo thành một số mới có ba chữ số. Xét tỉ số có tử số là số có ba chữ số (đợc tạo thành) và
mẫu số là số có hai chữ số ban đầu. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các giá
trị nguyên của các tỉ số trên.
Câu 4 (1 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng
AB
2
+ BC
2
+ CD
2
+ DA
2
= AC
2
+ BD
2
Câu 5 (2 điểm)
Cho đờng tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm bên ngoài đờng tròn. Từ A
kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O;R) (B, C là hai tiếp điểm). Qua B kẻ đờng
thẳng song song với AC, cắt đờng tròn (O; R) tại điểm thứ hai D. Đờng thẳng AD cắt đ-
ờng tròn (O; R) tại điểm thứ hai E.

Sở GD&ĐT Nghệ An
Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10
11
Đề thi chính thức
trờng thpt chuyên phan bội châu
năm học 2009 - 2010
Môn thi: toán
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1: (3.5 điểm)
a. Giải phơng trình

3 3
2 7 3x x+ + =
b. Giải hệ phơng trình
3
3
8
2 3
6
2
x
y
x
y

+ =





a b c
a b b c c a
+ +
= + + +
+ +
Hết
Họ và tên thí sinh SBD
* Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu.
* Giám thị không giải thích gì thêm.
12
Sở GD&ĐT Nghệ An
Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trờng thpt chuyên
phan bội châu năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Hớng dẫn chấm thi
Bản hớng dẫn chấm gồm 03 trang
Nội dung đáp án Điểm
Bài 1 3,5 đ
a
2,0đ

3 3
2 7 3x x+ + =
( )
3 3 3 3
2 7 3 2. 7 2 7 27x x x x x x + + + + + + =
0.50đ
3
9 9. ( 2)(7 ) 27x x + + =
0.25đ

2 3
2 3
x z
z x

+ =


+ =


0.25đ
( )
3 3
3 x z z x =
0,25đ
( )
( )
2 2
3 0x z x xz z + + + =
0,25đ
x z =
(vì
2 2
3 0, ,x xz z x z+ + + >
). 0,25đ
Từ đó ta có phơng trình:
3
1
3 2 0

1 2
1 2 1 2
1 2
. 2
. 2
x x a
x x x x
x x a
+ =

=

= +

0,25đ
1 2
( 1)( 1) 3x x =
13
Đề thi chính thức
1
2
1 3
1 1
x
x
=



=

hoặc
1
2
0
2
x
x
=


=

Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) )
0,25đ
Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25đ
Bài 3:
2,0 đ

Vì BE là phân giác góc
ã
ABC
nên
ã
ã
ẳ
ẳ
ABM MBC AM MN= =
0,25đ
ã

ã
ã
ANM AIM=
Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên
ã
ã
ANM ABC=
ã
ã
AIM ABC =
.Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp
0,25đ
Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI
đồng dạng với tam giác AOB
. .
AM AI
AI AO AM AB
AO AB
= =
(1)
0,25đ
Gọi E, F là giao điểm của đờng thẳng AO
với (O) (E nằm giữa A, O).
Chứng minh tơng tự (1) ta đợc:
AM.AB = AE.AF
= (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R)
= AO
2
- R
2

Bài 5:
2,0 đ
14
K
a,
1,0 đ
Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC.
Không mất tính tổng quát, giả sử A và O
nằm về 2 phía của đờng thẳng BC
0,25đ
Suy ra đoạn AO cắt đờng thẳng BC tại K.
Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
0,25đ
Suy ra AH AK < AO <1 suy ra AH < 1
0,25đ
Suy ra
. 2.1
1
2 2
ABC
AH BC
S

= < =
(mâu thuẫn
với giả thiết). Suy ra điều phải chứng minh.
0,25đ
b, 1,0đ
Ta có: 3(a
2

0,25đ
mà a
3
+ ab
2


2a
2
b (áp dụng BĐT Côsi )
b
3
+ bc
2


2b
2
c
c
3
+ ca
2


2c
2
a
Suy ra 3(a
2

a b c
a b c
a b c
+ +
+ + +
+ +
0,25đ
Đặt t = a
2
+ b
2
+ c
2
, ta chứng minh đợc t

3.
Suy ra
9 9 1 3 1
3 4
2 2 2 2 2 2 2
t t t
P t
t t

+ = + + + =
P 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4
0,25đ
Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của


.

Câu 3.(3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn :
3x
2
+ 6y
2
+2z
2
+ 3y
2
z
2
-18x = 6.
Câu 4.(3,0 điểm)
a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

3
3 3
abc + xyz (a + x)(b + y)(c + z)≤
.
b) Từ đó suy ra :
3 3
3 3 3
3 3 3 3 2 3+ + − ≤
Câu 5.(3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh
AB, BC, CD, DA của hình vuông.
a) Chứng minh rằng S
ABCD

CÂU ĐÁP ÁN Điểm
Câu
1a.
(2,0đ)
Ta có phương trình :
4 3 2
x + ax +x +ax + 1 = 0 (1)
Khi a =1 , (1)
4 3 2
x +x +x +x+1= 0 (2)⇔
Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm.
Chia 2 vế của (2) cho x
2
ta được:
2
2
1 1
x + +x + +1= 0
x x
(3).
Đặt
1 1 1
t = x+ t x+ x + 2
x x x
⇒ = = ≥
và
2 2
2
1
x + t -2

Vì x = 0 không phải là nghiệm của (1) nên ta cũng chia 2 vế cho
x
2
ta có phương trình :
2
2
1 1
x + +a x + +1= 0
x x
 
 ÷
 
.
Đặt
1
t = x +
x
, phương trình sẽ là : t
2
+ at - 1 = 0 (4).
Do phương trình đã cho có nghiệm nên (4) có nghiệm |t| ≥ 2. Từ
(4) suy ra
2
1- t
a
t
=
.
0,50
0,50

⇔ ≤ ≤

≥

.
Đặt :
2 2
x + 3
, , 0 9.
v = 6 - x
u
u v u v

=

≥ ⇒ + =



Phương trình đã có trở thành hệ :

2 2 2
u + v = 9 (u + v) - 2uv = 9
u + v - uv = 3 u + v = 3 + uv
 
⇔
 
 

Suy ra : (3+uv)


2 2
x+y+z=1 x+y = 1-z
2x+2y-2xy+z =1 2xy = z +2(x+y)-1
 
⇔
 
 

2 2
x + y = 1 - z
2xy = z - 2z + 1 = (1- z)

⇔



2
2xy = (x + y)⇔

⇔
2 2
x + y = 0 x = y = 0 z = 1⇔ ⇒
.
Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) =
(0 ;0; 1).
0,50
0,50
0,50
0,50

≤ 11 ⇒ |y| ≤ 2.
Với y = 0 , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn.
Với |y| = 1, từ (3) suy ra x
∈
{ 0 ; 6}.
b) |z| = 3, (2) ⇔ (x-3)
2
+ 11 y
2
= 5 (4)
Từ (4) ⇒ 11y
2
≤ 5 ⇒ y = 0, (4) không có số nguyên x nào thỏa
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
18
mãn.
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên (x ;y ;z) là (0;1;0) ; (0 ;-
1;0) ; (6 ;1 ;0) và (6 ;-1 ;0).
0,50
Câu
4a.
(2,0đ)
3
3 3
abc xyz (a+x)(b+y)(c+z) (1)+ ≤
Lập phương 2 vế của (1) ta được :

(1,0đ)
Áp dụng BĐT (1) với
3 3
a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = 3 - 3, y = 1, z = 1
Ta có : abc = 3 +
3
3
, xyz = 3-
3
3
, a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 2
Từ đó :
3 3
3 3 3 3
3+ 3 3- 3 6.2.2 2 3+ ≤ =
(đpcm).
0,50
0,50
Câu
5a.
(2,0)
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của
QN, MN, PQ. Khi đó :
BJ =
MN
2
(trung tuyến ∆ vuông MBN)
Tương tự DK =
PQ
2

//NP, MN//PQ, MN=PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông
cân bằng nhau), lúc đó MNPQ là hình chữ nhật.
0,50
0,50
Câu 6. Kí hiệu như hình vẽ.
19
A B
D C
M
N
P
Q
I
J
K
x
y
O
K
H
P
Q
RS
A
B
M
M'
B'
(3,0đ) Phần thuận :
·

·
·
0
AMO ABO 45= =
)
Suy ra :
·
·
0
AMB AOB 90= =
.
Mà AM//PQ , PQ ⊥PS ⇒ MB//PS.
Kết luận:Quỹ tích giao điểm M là 2 đường chéo của hình vuông
PQRS.
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
=Hết=
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
Năm học : 2009-2010
Môn thi: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm : 01 trang
20
®Ò chÝnh thøc

a. Giải hệ phương trình sau :
2 2
3 3
3
9
x y xy
x y

+ − =


+ =


b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:
3 2 3
2 3 2x x x y+ + + =
Bài 4. (3,0 điểm): Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB
(M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ
đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau
tại điểm thứ hai là N.
a. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3
điểm
C, M, N thẳng hàng.
b. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.
Bài 5. (0.5 điểm): Cho góc xOy bằng
o
120
, trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm A sao
cho độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại ít

(k 1) k k. k 1
+ −
⇔ <
+ +
⇔
2k 1 2 k(k 1) 0+ − + >

2
( k 1 k) 0⇔ + − >
Luôn đúng với mọi k nguyên dương.

1 1 1
2( )
( 1) 1
⇒ < −
+ +
k k k k
b.
(1.0đ)
Áp dụng kết quả câu a ta có:
1 1 1 1
VT
2 1 3 2 4 3 2010 2009
= + + + +L
1 1 1 1 1 1
2 2 2
1 2 2 3 2009 2010
   
 
< − + − + + −

,x x
sao cho biểu thức:
2 2
1 2
( 9)( 4)A x x
= − −
max
a.
(1,5đ)
Pt (1) có nghiệm
x 1 2= +

( )
( )
( )
2
1 2 1 1 2 6 0⇔ + + − + − =m
Tìm được
5 2 6m = −
và KL.
b.
(1,0đ)
Tính
( )
2
1 24 0 m m∆ = − + > ∀
suy ra pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,x x
.

  
KL : Vậy m = 0 ; m = 2 là các giá trị cần tìm.
Bài 3
(2 điểm)
a. Giải hệ phương trình sau :
2 2
3 3
3
9
x y xy
x y

+ − =


+ =


b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:
3 2 3
2 3 2x x x y+ + + =
a
(1.0đ)
Hệ phương trình đã cho
2 2
2
2 2
3
3
( ) 3 3

1
x
y
=


=

b
(1.0đ)
Ta có
2
3 3 2
3 7
2 3 2 2 0
4 8
y x x x x x y
 
− = + + = + + > ⇒ <
 ÷
 
(1)

2
3 3 2
9 15
( 2) 4 9 6 2 0 2
4 16
x y x x x y x
 

MNB MBC
∠ = ∠
( Cùng chắn cung BM)
MND MDC∠ = ∠
( Cùng chắn cung DM)
90BND MNB MND MBC MDC∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ =
o
Do đó 5 điểm A, B, C, D, M cùng thuộc một đường tròn
Suy ra NC là phân giác của góc BND ( do cung BC = cung BD)
Mặt khác, theo CM trên ta có NM là phân giác của góc BND
Nên M, N, C thẳng hàng.
b.
1.0đ
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của N trên AC và BD

⇒
NHOK là hình chữ nhật
Ta có :
. . . 2NA NC NH AC NH a= =. . . 2NB ND NK BD NK a= =
Suy ra
2 2 4
2 2 2 2
. . . 2 . . 2 . .
2 2
NH NK a
NA NB NC ND a NH NK a a NO
+

• Chỉ ra đường thẳng
1
d
đi qua A và vuông góc với OA thỏa mãn bài toán
• Đặt OA = a > 1 (a nguyên). Trên tia Ox lấy điểm B sao cho OB = a + 1
nguyên dương. Đường thẳng
2
d
đi qua A, B cắt tia Oy tại C.
Chứng minh được
1 1 1
OB OC OA
+ =1 1 1
( 1)
1
OC a a
a OC a
⇒ + = ⇒ = +
+
là số nguyên dương
Suy ra
2
d
là một đường thẳng cần tìm.
• Tương tự lấy B trên Ox sao cho OB = a(a + 1), Ta tìm được đường thẳng
3
d