Phan Hữu Thanh - Giáo viên trường THPT Tỉnh ĐỒNG THÁP
Chương I :Nhị thức Niu tơn
1. Hoán vị
( )
. 1 ...2.1
n
P n n= −
2. Chỉnh hợp
( ) ( )
( )
!
1 ... 1
!
k
n
n
A n n n k
n k
= − − + =
−

0
! 1, 1
n
O A= =

0 k n≤ ≤
3. Tổ hợp
( )
!
!. !

. . . .
k n
n
k n k k k k n k
n n
k k
a b C a b C a b
− −
= =
+ = =
∑ ∑
Tồng có n+1 số hạng .bậc của mỗi số hạng là n-k+k=n
Số hạng tổng quát
1
. .
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
Bài tập
Dạng 1 Giải phương trình bất phương trình
Bài tập Hướng dẫn
Bài1.Giải phương trình
1 2 3 2
6. 6. 9 14
x x x
C C C x x+ + = −
2 1

5
0
4
n n n
C C A
− − −
− − =
5n
n Z
+
≥


∈

2
9 22 0 11n n n− − = ⇔ =
Bài 3 Giải phương trình
( )
2 2
72 6 2
x x x x
P A A P+ = +
2x
x Z
+
≥


∈

Bài 4. Tìm số tự nhiên thỏa mãn
2 2 2 3 3 3
. 2 100
n n
n n n n n n
C C C C C C
− −
+ + =
(1)
1
( )
( )
( )
2 2 2 3 3 3
2
2 3 2 3
2
. 2 100
100 10
4 4 15 0
n n n n n n
n n n n
C C C C C C
C C C C
n n n
+ + =
⇔ + = ⇔ + = ⇔
− + + =
Bài 5.Tìm số nguyên dương n
0 1 2

+ =

− =

Bài 7. Giải bất phương trình
a)
2
1
2
3
10
n
n
C
n
C
+
≥
b)
( )
3 1
1 1
14 1
n
n n
A C n
−
+ +
+ < +
a)

A
a
n P
A
b
A C
+
−
+
<
+
≤
−
) 9,5 2,5
)1 5
a n
b n
− < <
≤ ≤
Bài 9. Giải bất phương trình
4 3 2
1 1 2
5
0
4
x x x
C C A
− − −
− − ≤
5 11x

n m n n k
C C C C
−
−
=
Bài 3. Cho n nguyên dương
Chứng minh rằng
1 1
2 2 2 2
1
2
n n n
n n n
C C C
− +
+
+ =
Bài 4 Cho n≥2 và n nguyên .Chứng minh
2 2
1n n
C C n
+
= +
Bài 5. Cho n≥2 và n nguyên .Chứng minh
2 2 2
2 3
1 1 1 1
... 1
n
n

+ =
Bài 1
Chứng minh
1 2 3
3
3 3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C k n
− − −
+
+ + + = ≤ ≤
Bài 2 .Chứng minh
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+ + + + +
+ +
+ + + = +
Bài 3. Cho
4 k n
≤ ≤
.Chứng minh rằng
Chuên đề ôn Thi Đại Học – Sưu tầm 2
Phan Hữu Thanh - Giáo viên trường THPT Tỉnh ĐỒNG THÁP
1 2 3 4
4

k k k
n n n
C C C
−
− −
⇒ = −
Áp dụng
1
1 1
m m m
n n n
C C C
−
− −
= −

1 1
2 1 2
m m m
n n n
C C C
− −
− − −
= −
………………

1
1
m m m
m m m

−
−
= =
Khai triển một biểu thức hoặc ,hai biểu thức bằng hai cách kác nhau sau đó đồng nhất hệ số
Bài 1 .Chứng minh rằng
0 1 1 6 6
6 6 6 6
. . ... .
k k k k
n n n n
C C C C C C C
− −
+
+ + + =
( ) ( )
6
1 . 1
n
x x+ + =
( )
6
1
n
x
+
+ =
so sánh
k
x
Bài 2. Chứng minh

...
n
n n n
C C C+ + +
( )
2
2
2
0
1
n
n
k k
n
k
x C x
=
+ =
∑
Hệ số x
k
là
2
k
n
C
Bài 3.Chứng minh.
( ) ( )
( )
( )

... 1 0
n
n
n n n n
C C C C
+
+
+ + + +
− + − + − =
Xét
( ) ( ) ( )
2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
1 . 1 . 1
n n
n n k
k k k k
n n
k o k o
x x C x C x
+ +
+ +
+ +
= =
  
+ − = −
 ÷ ÷
  
∑ ∑

x x x
+
+ +
+ − = −
có hệ số của x
2n+1
bằng o vì đều chứa lũy thừ
bậc chẵn của x vậy
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2 1
0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
... 1 0
n
n
n n n n
C C C C
+
+
+ + + +
− + − + − =
Bài 5. Chứng minh rằng
0 1 1 0
. . ... .
p p p p
n m n m n m n m
C C C C C C C

Chọn x thích hợp a có sẵn
Bài 1.
1
) ... 2
o n n
n n n
a C C C+ + + =
0 1 1
)9 9 ... 9 10
o n n n
n n n
b C C C+ + + =
Bài 2.Chứng minh
( )
1
... 1 0
n
o n
n n n
C C C− + + − =
Bài 3.Cho khai triển biết tổng các hệ số trong
Khai triển trên bằng 1024 .Tìm n
( )
2
1
n
x+
Bài 4. Chứng minh
0 1 2
2

1 1 2 2
5 5 5 .. 6
n o n n n n
n n n n
C C C C
− −
+ + + + =
Bài 5.Chứng minh
0 2 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2
... ...
n n
n n n n n n
C C C C C C
−
+ + + = + + +
( )
2
0 1 2 2 2 2
2 2 2 2
1 ...
n
n n
n n n n
x C C x C x C x+ = + + + +
Cho x=-1
Bài 5. Chứng minh rằng
2004 0 2003 1 2003 2004 2004
2004 2004 2004 2004
2004 0 2003 1 1 2003 2003 2004 2004 2004

C C C C
− −
+ + + + =
( )
n
a bx+
a=3,b=5,x=6
Bài 8.Chứng minh rằng
( )
0 2 2 4 4 2000 2000 2000 2000
2001 2001 2001 2001
3 3 ... 3 2 2 1C C C C+ + + + = −
( )
2001
1 x+
Chon x=3
Chọn x=-3 sau đó cộng hai vế
Tìm 1 số hạng hoặc hệ số của một số hạng
Bài 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
,
10
1
x
x
 
+
 ÷
 
Trong khai triển

Bài 3.Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
7
3
4
1
x
x
 
+
 ÷
 
Bài 4 Tìm hệ số của số hạng chứa x
43
trong khai
Chuên đề ôn Thi Đại Học – Sưu tầm 4
Phan Hữu Thanh - Giáo viên trường THPT Tỉnh ĐỒNG THÁP
triển
21
5
3 2
1
x
x
 
+
 ÷
 
Bài 5.Biết trong khai triển
1
3

Bài 7.Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên
trong khai triển
3
15 28
1
n
x x
x
 
+
 ÷
 
bằng 79 .Tiàm số
hạng không chứa x
Bài 8. Tìm hệ số x
8
trong khai triển :
5
3
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
Biết
( )
1

10
x
xy
y
 
+
 ÷
 
Bài 12.Trong khai triển
(
)
12
2
3
xy xy+
Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y
Là các số nguyên dương
Bài 13.Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai
triển
( )
19
3
3 2+
Bài 14.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên trong
Khai triiển
( )
124
4
3 5+
Bài 15.Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai

3
2
2 2
n
x
x
−
−
 
+
 ÷
 
Biết
3 1
5
n n
C C=
và số hạng thứ 4 bằng 20n .Tùm x và
n
Bài 18. Trong khai triển :
3
3
n
a b
b a
 
+
 ÷
 ÷
 

k
k
k k
T C
T C
k k
+
−
−
= =
− −
1
102
1 0 51
k
k
T
k
k
T k
+
−
= ≥ ⇔ ≤ ≤
k=51
51
101
C
Bài 3. Cho khai triển .
( )
30

 ÷
 
Xác suất của biến cố
Bài 1
1.
Ω =
{Tập các kết quả có thể của phép thử T}
2.
A
Ω
={Tâp các kết quả thuận lợi của A }
3.A và B là hai biến cố xung khắc A xáy ra thì B không xảy ra và ngược lại
A .Nhân và quy tắc cộng
Bài 1.Cho tập
{ }
1,2,3,5,7,9A =

a) Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau ? 6.5.4.3=360
Chuên đề ôn Thi Đại Học – Sưu tầm 6
Phan Hữu Thanh - Giáo viên trường THPT Tỉnh ĐỒNG THÁP
b) Có bao nhiêu số chẵn gòm 5 chữ số đôi mọt khác nhau ? 120
Bài 2.Cho tập
{ }
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A =
.Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy
từ
Tâp A .Có 9.9.8.7.6=27216
Bài 3. Cho tập
{ }
0,1,3,5,6,7,8A =

{ }
0,1,2,3,4,5,6A =
a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho hai
chữ số
2 v à 5 không đứng cạnh nhau
b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số
này chia hết cho 9
Bài 8. Cho tập
{ }
1,2,4,5,6,8,9A =
a) Từ tập A có thể có bao nhiêu số lẻ gồm 5 chữ số mà không chia hết cho 5 ?
b) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có chắn có 5 chữ số sao cho chữ số 5 luôn
Có mặt trong các số có đúng một lần và chữ số đầu tiên là lẻ
B Quy tắc cộng kết hợp quy tắc nhân
Bài 1.Cho tập
{ }
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A =
a) Từ tập A có thể lập bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau ?
b) Từ tập A có thể lập bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số này chia hết cho
5
Bài 2.Cho tập
{ }
1,2,3,4,5,6A =
a) Từ tập A có thể lập bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau sao cho ch ữ s ố hai c ó
Chuên đề ôn Thi Đại Học – Sưu tầm 7
Phan Hu Thanh - Giỏo viờn trng THPT Tnh NG THP
Bi 2 Chnh hp
Bi 1.Cho tp
{ }
1,2,3,4,5,6,7A =

0,2,4,5,6,9A =
a) Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5
b) Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau các số đều chẵn
Bài 6. Cho tp
{ }
0,1,2,3,4,5,6,7A =
a) Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho2
b) Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số
2 có mặt đúng một lần
Bài 7 Cho tp
{ }
0,1,2,4,5,7,8,9A =
a) Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và lớn hơn
50000
b) Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và các số đều chẵn
Bài 8. Cho tp
{ }
0,1,2,3,4,5,6,7A =
a) Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau chữ số 7 luôn có
mặt
1 lần
b) Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau các số này luôn lẻ
số đúng ở vị trí thứ 3 luôn chia hết cho 6
Bài 9.Cho
{ }
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A =
a) Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này
đều lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ 3 chia hết cho 5
b) Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3
Chữ số chẵn 3 chữ số lẻ