Nhị thức newton và ứng dụng
I Nhị thức newton
1 Công thức nhị thức Newton:
Với mọi cặp số a, -b và mọi số nguyên dơng ta có:
(a + b)
n
= c
o
n
a
n
+ c
1
n
a
n 1
b + c
2
n
c
1
n 2
b
2
+ + c
n
n-1
ab
n 1
+ c
n

n
; C
n
n
;
Với chú ý: C
k
n
= C
n
n
k
0 < k < n.
3 Một số dạng đặc biệt:
+ Dạng 1: Thay a = 1 và b = x vào (*) ta đợc
(1 + x)
n
= C
0
n
+ C
1
n
x + C
2
n
x
2
+ + C
n-1

n
C
n
n
x
n
(3)
4 Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức
+ Thay x = 1 vào (2) ta đợc
C
0
n
+ C
1
n
x + C
2
n
+ + C
n
n
= 2
n
+ Thay x = -1 vào (3) ta đợc:
C
0
n
- C
1
n


kk
k
k
xC )4.()3(
5
5
0
5
=

=

= 3
5
. C
0
5
. x
5
+ 4.3
4
C
1
5
x
4
+ + 4
5
C

= C
0
6
+ C
1
6
+ C
2
6
+ + C
6
6
b: S
2
= C
0
5
+ 2C
1
5
+ 2
2
C
2
5
+ +2
5
C
5
5

.C
17
17
d: S
4
= C
6
11
+ C
7
11
+ C
8
11
+ C
9
11
+ C
10
11
+ C
11
11
e:
0
1
2001
2002
2001
20022002

= (1 + 1)
6
= 2
6
= 64
b:Ta có (1 + x)
5
k
k
k
xC

=
=
5
0
5
(1)
Thay x = 2 vào (1) ta đợc:
S
2
= C
0
5
+ 2C
1
5
+ 2
2
. C

2
17
4
3
.3
14
. C
3
7
+ -4
17
.C
17
17
= C
0
17
.3
17
+ C117.3
16
(-4)
1
+ C
2
17
3
15
(-4)
2

+ C
2
11
+ + C
11
11
Mặt khác C
k
11
= C
11
11-k
với k

(0,1,2, 11)
Do vậy: (1 + 1)
11
= 2 (C
6
11
+ C
7
11
+ C
8
11
+ C
9
11
+ C

)!2002(
.
)!2002(!
!2002
....
=

=



=


Từ đó: S
5
= 2002 (
20012001
2001
1
2001
0
2001
)11(2002)...
+=+++
CCC
Bài 3: Tìm số nguyên dơng n sao cho:
C
o
n

n
Vậy (1) 3
n
= 243 = 3
5
n = 5
Bài tập tơng tự
Bài 4: Viết khai triển (3x 1)
16
và chứng minh rằng
3
16
. C
o
16
3
15
C
1
16
+ + C
16
16
= 2
16
.
Bài 5: Tính giá trị các biểu thức sau:
a: S
1
= 2

n-5
C
5
n
+ +C
n
n
c: S
3
= C
6
10
C
7
10
+ C
8
10
+ C
9
10
+ C
10
10
Bài 6: Tính tổng
S =
2000
2000
2
2000

Đặc biệt khi k = 0 đó chính là số hạng không phụ thuộc x.
Ví dụ 1: Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của kiến thức nhị thức.
Từ đó, hệ số của số hạng thứ 3 , của khai triển nhị thức là:
3
iin
n
n
i
baC

=

1
0

=
+

=
==+
n
i
ini
n
i
in
n
i
i
n

0
3/212/53/22/52
)()(
Vậy thứ hạng thứ 7 đợc cho bởi
Ví dụ 2: Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không
phụ thuộc vào x biết.
C
n
n
+ C
n-1
n
+ C
n-2
n
= 79
Giải: + Xét PT: C
n
n
+ C
n-1
n
+ C
n-2
n
= 79 (1)
Ta có PT (1)
(do n N)
Khi đó:
Số hạng thứ k + 1 không phụ thuộc x trong khai triển.

2
-2
= 2C
1
n
2
-1

a) Với n = 1 ta đợc không có hạng tử hữu tỷ
b) n = 8 ta đợc:
4
9
072
72)1(36
)2(!2
!
36
2
2
=
=
==

=
n
nn
nn
n
n
C

12
0
5/28123/41215/28
3
)()()
k
kkk
n
xxCxxx
15
28
3
)12(4
12
0
12
kk
C
k
k


=

=
50
15
28
3
)12(4


=+=+
4
32
0
2
kn
k
n
k
x
=

=

=
089
8
)1(
1
2
=+=

+
nnn
nn



=





+








+
4
2
1
x
x
Số hạng thứ k + 1 là hệ số hữu tỷ ( 16 3k)/4 N, 0 < k < 8

Với k = 0 hạng tử hữu tỷ: C
o
8
2
0
x
4
= x
4

k
n
giảm khi k giảm và
Vậy n lẻ thì C
k
n
đạt giá trị lớn nhất tại
Với n lẻ thì C
k
n
đạt giá trị lớn nhất tại k = n/2
Ví dụ 5: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển (a + b)
n
biết rằng tổng
các hệ số bằng 4096
CT : Tổng các hệ số trong khai triển (a + b)
n
bằng:
C
o
n
+ C
1
n
+ C
2
n
+ + C
n
n

4
0
k
k
xx
8
35
=
kk
n
n
k
xC

=
0
)!(!
!
knk
n
C
k
n

=
1)1()!1(
!
1
+
=

k
n
k
n
2
1
11
1
1
1
1
+
><
=
<>


n
k
k
n
C
C
CC
k
n
k
n
k
n


=


=

kk
k
kk
kk
C
C
k
k
Từ (1) suy ra
Vậy C
k
12
đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và C
6
n
= 924
Ví dụ 6: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển.
Giải: Ta có gọi t
k
là số hạng thứ k + 1 trong khai triển.
Ta có =

=
8

+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
20
x
10
Max (a
1
a
2
a
12
)
Giải: Ta có (1 + 2x)
12
=
Suy ra : a
k
= C
k
12
2
k
với k = 1,12
6
2

><<<>


kk
C
C
CC
k
k
kk
8
3
2
3
1






+
8
3
2
3
1




1

=
























=



k
k
2187
1792
3
2
3
1
62
6
8
=












C
kkk
k
kk
k
xCxC 2)2(

8
Xét (1)
Từ (1), suy ra:
a
k + 1
< a
k

a
k + 1
> a
k

Vậy a
k
đạt giá trị lớn nhất tại k = 8 và có giá trị bằng C
8
12
. 8
8
= 126720
VD 8: Tìm n của k khai triển biết hạng tử thứ 9 có hệ số lớn nhất
Giải: Ta có
Vì không thay đổi nên h/s trong khai triển thay đổi phụ thuộc vào
(x+2)
n
. Xét khai triển (x+2)
n
=
Hạng tử thứ 9 có h.s là C

kk
C
C
a
a
kk
n
kk
k
k

+
=
+


==
++
+
3
23
1
)12(2
1
1
1
>>

+
>

x
)2(
5
1
)
5
2
5
(
+=+
n5
1
knkk
n
n
k
xC

=

2
0
12
2
25
11
2
1
2
2






>
>

>
>
nn
CC
CC
C
C
C
C
CC
CC
nn
nn
n
n
n
n
nn
nn
n
x)
3

9
(...
9
4
2
1
3
2
2
1
2
1
)
3
2
2
1
(
2
2
2
1
10
2
2
2
1
10
=
===

2
()
2
1
()
3
2
2
1
(
27
27
27
0
27

=

=+
n
x
)
5
2
5
(
+