TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI (LẦN I)
Môn thi: Toán ;năm học 2010 – 2011
(Đề gồm 01 trang) Thời gian làm bài 180 phút

Bài 1: (6 điểm) Cho hàm số mxmxxy 
223
3 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với
0

m
.
b) Tìm a để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
2323
33 aaxx  .
c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
2
5
2
1
:)(  xy .

Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình: xxxx cos2sin5cos2sin6
3
 .
b) Giải hệ phương trình:




yx ,và đường cao qua điểm A của tam giác có phương trình 04



yx .
Bài 4: (4 điểm)
a) Từ các số tự nhiên, lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau. Trong đó nhất thiết phải
có mặt hai chữ số 1 và 9.
b) Cho hàm số:
2
26
2



x
xmx
y .
Tìm m để hàm số nghịch biến trên


;0 .
Bài 5: (2 điểm) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn
9




TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LẦN I NĂM HỌC 2009 –
2010
Môn: TOÁN
(Đáp án – Thang điểm gồm 04 trang)
Câu Nội dung Đi
ểm
I Ý1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2,00 điểm)

 Tập xác định:D = R
 Sự biến thiên:
2;00',63'
2
 xxyxxy
Giới hạn của hàm số tại vô cực:

 xx
yy lim,lim
Bảng biến thiên:

x -

0 2 +


-1 0 2 3
x
-4 0,5

0,5 0,5

3
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
23
3xxy  và đường thẳng
23
3aay  .
Để pt có 3 nghiệm 034
23
 aa
 

x
m
xyy 
3
)2
3
2
()
3
1
3
1
('
22
.
y’ = 0 có hai nghiệm x
1;
x
2
3 m và pt đường thẳng cực trị y = m
m
x
m

3
)2
3
2
(
22

 
 
2
2
2
2 1
3 1
0
3 2
0
52 1
1 0
3 1 1
3 3 2 2
m
m
m
m
m m
m m

   



 
  
 
 
 

1

1

2 Giải hệ phương trình (2,00 điểm) Hệ pt đã cho








0)21(3)(
0)21(
222
2
yxyx
yxyx

Đặt yvyxu 21;
2

Khi đó hệ pt trở thành





xu
v
u
v
u
x
3
3
;
0
0
;
0
0

Hệ pt có nghiệm: (0;0) ; (1;2) ; (2;2). 0,5

0,5

0,5

0,5


tan




A’ C’ 3
'
2
2
a
bHA  B


M

H
A C 0,5

0,5
SHAV
ABCABCA

 V
trụ
=
4
3
.'
222
aba
SHA
ABC

 , suy ra thể tích A’BB’C' là:
6
3
222
'
aba
VVV
BCAtru



Suy ra M’(6;-2)

AB
Suy ra pt AB: 7x - y - 44 = 0
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ pt
)2;6(
2
6
0447
04












A
y
x
yx
yx
B H C

Gọi H là hình chiếu của A lên BC, suy ra tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:
0,5 0,5
0,5
0,5

0,5

IV

+ Còn lại 7 số sắp xếp vào 3 vị trí có
3
7
A cách chọn.
Suy ra có 7.
2
6
A .
3
7
A = 44100 số.

TXD: D =


2\ R ;
2
2
)2(
144
'



x
mxmx
y
.


V
TH1:











0
0144
0
0
2
m
mm
m
( vô nghiệm).

0
0
2
m
m
mm
P
S
m
(vô nghiệm) … (2điểm)
0,5
0,5VT =
222222
212121
cabcab

Ta có:
+
3
2
22222




 3
3
3
3
1
327 


c
b
a
(đpcm)
Dấu bằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3.

0,5
0,5