SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
—————————
BÀI KIỂM TRA SỐ 2 - NGÀY 14.11.2010
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
3 2 3
3 1
2 2
y x mx m= − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình

( )
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x x+ − = − + − + − + ∈¡

2. Giải hệ phương trình
( )
2
2 2 3 2
,
2 3 1 0
x y x y
x y
x xy

x x
 
+ >
 ÷
 
Câu IV (3,0 điểm)
1. Trong hệ tọa độ Oxy cho elip (E) đi qua M(-2 ; 3) và hình chữ nhật cơ sở có diện tích
bằng
8 3
. Viết phương trình chính tắc của elip (E).
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
, 2AB a BC a= =
. Cạnh bên SA vuông
góc với đáy và SA=
3a
. M là trung điểm của SD, N là trung điểm của AD
. a).Chứng minh rằng đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (BMN).
b).Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B,M và cắt mặt phẳng (SAC) theo một đường thẳng vuông góc
với đường thẳng BM. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (P).
Câu V (1,0 điểm). Cho
, ,x y z
là các số thực không âm thoả mãn điều kiện
2 2 2
1x y z+ + =
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )
6 27P y z x xyz= + − +
.
Hết


= ⇔

=

0,25
Trên khoảng
( )
;0−∞
và
( )
1;+∞
, ta có
' 0y >
nên hàm số đồng biến
Trên khoảng
( )
0;1
, ta có
' 0y <
nên hàm số nghịch biến
-Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0,
1
(0)
2
CÐ
y y= =
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,
( )
1 0

−∞
0,25
• Đồ thị: Đồ thị cắt trục hoành tại điểm
1
;0
2
 
−
 ÷
 
;
( )
1;0
và cắt trục tung tại
điểm
1
0;
2
 
 ÷
 
. Đồ thị nhận điểm uốn
1 1
;
2 4
U
 
 ÷
 
làm tâm đối xứng.

có hai nghiệm phân biệt
0m
⇔ ≠
.
Khi đó giả sử các điểm cực đại, cực tiểu là :
3
0;
2
m
A
 
 ÷
 
và
( )
; 0B m
0,25
Ta có:
3
;
2
m
AB m
 
−
 ÷
 
uuur
; trung điểm I của AB là:
3

2
4 2
m
m
m
m
m m

− =

=


⇔ ⇔


= ±


=


Đối chiếu điều kiện ta có
2m = ±
0,5
II
1. Giải phương trình … 1, 00
Điều kiện:
1 7x≤ ≤
Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương:

x x x
x x
≤ ≤

− = − ⇔ ⇔ =

− = −

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4 và x = 5.
0,5
2. Giải hệ phương trình … 1,00
Điều kiện:
2
y
x ≥ −
0,25
Từ phương trình thứ nhất ta có
2 1
2 3 ( )
x y
x y VN

+ =
⇔


+ = −

0,25
Với

( )
1 3
; ;
4 2
x y
 
= −
 ÷
 
Vậy hệ đã cho có nghiệm (x ; y) = (1 ; -1) và
( )
1 3
; ;
4 2
x y
 
= −
 ÷
 
0,25
3
III
1. Giải phương trình…
1,00
Ta có:
3 3
17
6 2sin 2 3 2 cos 4 .cos2 6 2 sin 2 3 2 sin 4 .cos2
2
x x x x x x

2
2
4
3
2
4
x k
x k k
x k
π
π
π
π
π
π

= +



⇔ = + ∈



= +

¢
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
; 2
2 4

Với n = 8 ta có:

( )
8 k
8 k 3k
8 8
8 k
k k k
2 2
8 8
k 0 k 0
3 3
x C x C .3 .x .x
x x x x
− −
−
= =
   
+ = =
 ÷  ÷
   
∑ ∑

8 4k
8
k k
2
8
k 0
C .3 .x

0,25
Theo bài ra ta có :

2
4 2
2 2
2
4 9
4 3
1
3 4 16 0
1
4
2 3
2 .2 8 3
2 3
a
a a
a b
a
ab
a b
ab



+ =
− + =
+ =
  

AN AB
AB BC
= =
do đó :
ABC NAB
∆ ∆
:
mà
,AN AB BA BC⊥ ⊥
suy ra
AC BN⊥
(1)
0,25
Mặt khác M là trung điểm SD, N là trung điểm của AD nên MN // SA mà
( ) ( )
SA ABCD MN ABCD⊥ ⇒ ⊥
do đó
MN AC
⊥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
( )
AC BMN⊥

0,25
b). Tính khoảng cách từ S đến mp(P) 1,50
Theo câu a, AC vuông góc với mặt phẳng (BMN) nên AC vuông góc với BM.
Mặt phẳng (P) đi qua BM và cắt (SAC) theo một đường thẳng vuông góc với BM
mà nên EF//AC (
,E SA F SC∈ ∈

. .
3 2 3
SEBM
SABD
V
SE SM
V SA SD
= = =
và
2 1 1
. .
3 2 3
SBFM
SBCD
V
SF SM
V SC SD
= = =
mà
1
2
SABD SBCD SABCD
V V V= =
.
Do đó:
1 1 2
1 1 1
3 3 3
2 2 2
SEBFM SEBM SBFM

a
EF AC= =
Tứ giác EBFM có hai đường chéo vuông góc với nhau nên ta có :
2
1 1 3 2 3 3
. . .
2 2 2 3 2
EBFM
a a a
S BM EF= = =
0,25
Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) là

( )
3
,( )
2
6
3.
3
2 2
9
3
3
2
SEBFM
S P
EBFM
a
V

Vì
2 2 2
1x y z+ + =
nên

(
)
( ) ( )
2 2 3 2
27 27 15
6 2 1 1 6 2 1
2 2 2
P x x x x x x x≤ − − + − = − + + −
Lại áp dụng Bất đẳng thức Cô si:
2
2
8
1
2 2
9
. 1
3 2
x
x
+ −
− ≤
Suy ra
( )
3 2
1

1
' 81 18 15
2
f x x x
−
= + −

( )
1
3
' 0
5
( )
9
x
f x
x loai

=

= ⇔


= −


Và
( ) ( )
17 1
0 ; 10; 1 2

1 2
,
3 3
x y z= = =
0,25
(Nếu thí sinh là theo cách khác mà đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định.
6
7