Báo cáo cuối kì Hệ mã hóa công khai RSA
Luận văn
Đề tài: Hệ thống mã hóa công
khai RSA
Hệ mã hóa công khai RSA
Trang 1
Báo cáo cuối kì Hệ mã hóa công khai RSA
Mục lục
I. Giới thiệu………………………………………………Trang 2
II. Hệ mã hóa công khai………………………………… Trang 3
III. Chuẩn bị toán học…………………………………… Trang 5
IV. Hệ mã hóa công khai RSA…………………………… Trang 7
1. Giới thiệu
2. Cách tạo khóa
3. Mã hóa
4. Giải mã
5. Tính bảo mật
6. Quá trình tạo khóa
7. Tốc độ
8. Các cách xâm nhập
V. Chữ kí điện tử…………………………………………Trang 15
VI. Chương trình cài đặt thuật toán……………………….Trang 16
VII. Nhận xét đánh giá…………………………………… Trang 23
VIII. Tài liệu tham khảo…………………………………….Trang 23
.
Hệ mã hóa công khai RSA
Trang 2
Báo cáo cuối kì Hệ mã hóa công khai RSA
I.Giới thiệu
Trong mọi lĩnh vực kinh tế, chính trị, xã hội, quân sự… luôn có nhu cầu
trao đổi thông tin giữa các cá nhân, các công ty, tổ chức, hoặc giữa các

Mã hóa bí mật: thông tin sẻ được mã hóa theo một phương pháp ứng với
một key, key này dùng để lập mã và đồng thời cũng để giải mã. Vì vậy
key phải được giữ bí mật, chỉ có người lập mã và người nhận biết được,
nếu key bị lộ thì người ngoài sẽ dể dàng giải mã và đọc được thông tin.
Mã hóa bí mật
Mã hóa công khai: sử dụng 2 key public key private key.
Public key: Được sử dụng để mã hoá những thông tin mà ta muốn
chia sẻ với bất cứ ai. Chính vì vậy ta có thể tự do phân phát nó cho bất cứ
ai mà ta cần chia sẻ thông tin ở dạng mã hoá.
Hệ mã hóa công khai RSA
Trang 4
Báo cáo cuối kì Hệ mã hóa công khai RSA
Privite key: Đúng như cái tên, Key này thuộc sở hữu riêng tư của
bạn(ứng với public key) và nó được sử dụng để giải mã thông tin. Chỉ
mình bạn sở hữu nó, Key này không được phép và không lên phân phát
cho bất cứ ai.
Nghĩa là mỗi người sẽ giữ 2 key 1 dùng để mã hóa, key này được công
bố rộng rãi, 1 dùng để giải mã, key này giữ kín.
Khi ai đó có nhu cầu trao đổi thông tin với bạn, sẻ dùng public key mà
bạn công bố để mã hóa thông tin và gửi cho bạn, khi nhận được bạn dùng
private key để giải mã. Những người khác dù có nhận được thông tin
nhưng không biết được private key thì cũng không thể giải mã và đọc
được thông tin.
Mô hình mã hóa công khai
b. Cơ sờ lý thuyết cho hình thức mã hóa công khai:
Hàm một phía.
Một hàm một phía là hàm mà dễ dàng tính toán ra quan hệ một chiều
nhưng rất khó để tính ngược lại. Ví như : biết giả thiết x thì có thể dễ
dàng tính ra f(x), nhưng nếu biết f(x) thì rất khó tính ra được x.
Trong trường hợp này “khó” có nghĩa là để tính ra được kết quả thì phải

Hai số a và b gọi là nguyên tố cùng nhau khi (a,b)=1
Ví dụ :
9 và 10 nguyên tố cùng nhau vì (9,10)=1
3-Khái niệm modulo
Với m là một số nguyên dương .Ta nói hai số nguyên a va b là đồng dư
với nhau
modulo m nếu m chia hết hiệu a-b ( Viết là m|(a-b) )
Ký hiệu a ≡ b ( mod m)
Như vậy a ≡ b (mod m ) khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho a = b
+km
Ví dụ :
13 ≡ 3 ( mod 10 ) vì 13= 3 + 1*10
Hệ mã hóa công khai RSA
Trang 6
Báo cáo cuối kì Hệ mã hóa công khai RSA
4-Phi – Hàm EULER
Định nghĩa : Phi – Hàm Euler Φ(n) có giá trị tại n bằng số các số không
vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n
Ví dụ :
Φ(5) = 4 , Φ(6) = 2 ,Φ(10) = 4
5-Một số định lý cơ bản
Định lý Euler : nếu m là số nguyên dương và P nguyên tố cùng nhau với
m thì
P^Φ(m) ≡ 1 (mod m )
Vậy nếu m và p nguyên tố cùng nhau . Ta đặt s = Φ(m) thì
P^s ≡ 1 (mod m)
Suy ra với a= 1 + k*s
Ta có :
P^a ≡ P*(P^s)^k ≡ P*1^k(mod m) ≡ P (mod m)
với e là số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với s ,tức là (e,s)=1

vực mật mã học trong việc sử dụng khóa công khai. RSA đang được sử
dụng phổ biến trong thương mại điện tử và được cho là đảm bảo an toàn
với điều kiện độ dài khóa đủ lớn.
Thuật toán được Ron Rivest, Adi Shamir và Len Adleman mô tả lần đầu
tiên vào năm 1977 tại Học viện Công nghệ Massachusetts (MIT). Tên của
thuật toán lấy từ 3 chữ cái đầu của tên 3 tác giả.
Trước đó, vào năm 1973, Clifford Cocks, một nhà toán học người Anh
làm việc tại GCHQ, đã mô tả một thuật toán tương tự. Với khả năng tính
toán tại thời điểm đó thì thuật toán này không khả thi và chưa bao giờ
được thực nghiệm. Tuy nhiên, phát minh này chỉ được công bố vào năm
1997 vì được xếp vào loại tuyệt mật.
RSA là một thí dụ điển hình về một đề tài toán học trừu tượng lại có thể
áp dụng thực tiễn vào đời sống thường nhật . Khi nghiên cứu về các số
nguyên tố, ít có ai nghĩ rằng khái niệm số nguyên tố lại có thể hữu dụng
vào lãnh vực truyền thông.
2. Cách tạo khóa:
Hệ mã hóa công khai RSA
Trang 8
Báo cáo cuối kì Hệ mã hóa công khai RSA
Chúng ta cần tạo ra một cặp khóa lập mã và giải mã theo phương
pháp sau:
1. Chọn 2 số nguyên tố lớn và với , lựa chọn ngẫu
nhiên và độc lập.
2. Tính: .
3. Tính: giá trị hàm số Ơle .
4. Chọn một số tự nhiên e sao cho và là số nguyên tố
cùng nhau với .
5. Tính: d sao cho .
Một số lưu ý:
• Các số nguyên tố thường được chọn bằng phương pháp thử xác

Trước khi thực hiện mã hóa, ta phải thực hiện việc chuyển đổi thông tin
(chuyển đổi từ M sang m) sao cho không có giá trị nào của M tạo ra văn
bản mã không an toàn. Nếu không có quá trình này, RSA sẽ gặp phải một
số vấn đề sau:
• Nếu m = 0 hoặc m = 1 sẽ tạo ra các bản mã có giá trị là 0 và 1
tương ứng
• Khi mã hóa với số mũ nhỏ (chẳng hạn e = 3) và m cũng có giá trị
nhỏ, giá trị m
e
cũng nhận giá trị nhỏ (so với n). Như vậy phép
môđun không có tác dụng và có thể dễ dàng tìm được m bằng cách
khai căn bậc e của c (bỏ qua môđun).
• RSA là phương pháp mã hóa xác định (không có thành phần ngẫu
nhiên) nên kẻ tấn công có thể thực hiện tấn công lựa chọn thông tin
bằng cách tạo ra một bảng tra giữa thông tin và bản mã. Khi gặp
một bản mã, kẻ tấn công sử dụng bảng tra để tìm ra thông tin tương
ứng.
Trên thực tế, ta thường gặp 2 vấn đề đầu khi gửi các bản tin ASCII ngắn
với m là nhóm vài ký tự ASCII. Một đoạn tin chỉ có 1 ký tự NULL sẽ được
gán giá trị m = 0 và cho ra bản mã là 0 bất kể giá trị của e và N. Tương tự,
một ký tự ASCII khác, SOH, có giá trị 1 sẽ luôn cho ra bản mã là 1. Với
các hệ thống dùng giá trị e nhỏ thì tất cả ký tự ASCII đều cho kết quả mã
hóa không an toàn vì giá trị lớn nhất của m chỉ là 255 và 255
3
nhỏ hơn giá
trị n chấp nhận được. Những bản mã này sẽ dễ dàng bị phá mã.
Để tránh gặp phải những vấn đề trên, RSA trên thực tế thường bao gồm
một hình thức chuyển đổi ngẫu nhiên hóa m trước khi mã hóa. Quá trình
chuyển đổi này phải đảm bảo rằng m không rơi vào các giá trị không an
toàn. Sau khi chuyển đổi, mỗi thông tin khi mã hóa sẽ cho ra một trong số

Biết m, đối tác tìm lại M theo phương pháp đã thỏa thuận trước. Quá trình
giải mã hoạt động vì ta có
.
Do ed ≡ 1 (mod p-1) và ed ≡ 1 (mod q-1), (theo Định lý Fermat nhỏ) nên:
Hệ mã hóa công khai RSA
Trang 11
Báo cáo cuối kì Hệ mã hóa công khai RSA
và
Do p và q là hai số nguyên tố cùng nhau, áp dụng định lý số dư Trung
Quốc, ta có:
.
hay:
.
Sơ đồ của quá trình
5. Tính bảo mật
Hệ mã hóa công khai RSA
Trang 12
Báo cáo cuối kì Hệ mã hóa công khai RSA
Độ an toàn của hệ thống RSA dựa trên 2 vấn đề của toán học: bài toán
phân tích ra thừa số nguyên tố các số nguyên lớn và bài toán RSA. Nếu 2
bài toán trên là khó (không tìm được thuật toán hiệu quả để giải chúng)
thì không thể thực hiện được việc phá mã toàn bộ đối với RSA.
Bài toán RSA là bài toán tính căn bậc e môđun n (với n là hợp số): tìm số
m sao cho m
e
=c mod n, trong đó (e, n) chính là khóa công khai và c là
bản mã. Hiện nay phương pháp triển vọng nhất giải bài toán này là phân
tích n ra thừa số nguyên tố. Khi thực hiện được điều này, kẻ tấn công sẽ
tìm ra số mũ bí mật d từ khóa công khai và có thể giải mã theo đúng quy
trình của thuật toán. Nếu kẻ tấn công tìm được 2 số nguyên tố p và q sao

tích n bằng phương pháp phân tích Fermat. Ngoài ra, nếu p-1 hoặc q-1 có
thừa số nguyên tố nhỏ thì n cũng có thể dễ dàng bị phân tích và vì thế p
và q cũng cần được thử để tránh khả năng này.
Bên cạnh đó, cần tránh sử dụng các phương pháp tìm số ngẫu nhiên mà
kẻ tấn công có thể lợi dụng để biết thêm thông tin về việc lựa chọn (cần
dùng các bộ tạo số ngẫu nhiên tốt). Yêu cầu ở đây là các số được lựa
chọn cần đồng thời ngẫu nhiên và không dự đoán được. Đây là các yêu
cầu khác nhau: một số có thể được lựa chọn ngẫu nhiên (không có kiểu
mẫu trong kết quả) nhưng nếu có thể dự đoán được dù chỉ một phần thì
an ninh của thuật toán cũng không được đảm bảo. Một ví dụ là bảng các
số ngẫu nhiên do tập đoàn Rand xuất bản vào những năm 1950 có thể rất
thực sự ngẫu nhiên nhưng kẻ tấn công cũng có bảng này. Nếu kẻ tấn công
đoán được một nửa chữ số của p hay q thì chúng có thể dễ dàng tìm ra
nửa còn lại (theo nghiên cứu của Donald Coppersmith vào năm 1997)
Một điểm nữa cần nhấn mạnh là khóa bí mật d phải đủ lớn. Năm 1990,
Wiener chỉ ra rằng nếu giá trị của p nằm trong khoảng q và 2q (khá phổ
biến) và d < n
1/4
/3 thì có thể tìm ra được d từ n và e.
Mặc dù e đã từng có giá trị là 3 nhưng hiện nay các số mũ nhỏ không còn
được sử dụng do có thể tạo nên những lỗ hổng (đã đề cập ở phần chuyển
đổi văn bản rõ). Giá trị thường dùng hiện nay là 65537 vì được xem là đủ
lớn và cũng không quá lớn ảnh hưởng tới việc thực hiện hàm mũ.
7.Tốc độ
RSA có tốc độ thực hiện chậm hơn đáng kể so với DES và các thuật toán
mã hóa đối xứng khác. Trên thực tế, Bob sử dụng một thuật toán mã hóa
đối xứng nào đó để mã hóa văn bản cần gửi và chỉ sử dụng RSA để mã
hóa khóa để giải mã (thông thường khóa ngắn hơn nhiều so với văn bản).
Phương thức này cũng tạo ra những vấn đề an ninh mới. Một ví dụ là cần
phải tạo ra khóa đối xứng thật sự ngẫu nhiên. Nếu không, kẻ tấn công

đã thực hiện.
Để chống lại tấn công dựa trên thời gian là đảm bảo quá trình giải mã
luôn diễn ra trong thời gian không đổi bất kể văn bản mã. Tuy nhiên, cách
này có thể làm giảm hiệu suất tính toán. Thay vào đó, hầu hết các ứng
dụng RSA sử dụng một kỹ thuật gọi là che mắt. Kỹ thuật này dựa trên
tính nhân của RSA: thay vì tính c
d
mod n, Alice đầu tiên chọn một số
ngẫu nhiên r và tính (r
e
c)
d
mod n. Kết quả của phép tính này là rm mod n
và tác động của r sẽ được loại bỏ bằng cách nhân kết quả với nghịch đảo
của r. Đỗi với mỗi văn bản mã, người ta chọn một giá trị của r. Vì vậy,
thời gian giải mã sẽ không còn phụ thuộc vào giá trị của văn bản mã.
c. Tấn công bằng phương pháp lựa chọn thích nghi bản mã
Hệ mã hóa công khai RSA
Trang 15
Báo cáo cuối kì Hệ mã hóa công khai RSA
Năm 1981, Daniel Bleichenbacher mô tả dạng tấn công lựa chọn thích
nghi bản mã (adaptive chosen ciphertext attack) đầu tiên có thể thực hiện
trên thực tế đối với một văn bản mã hóa bằng RSA. Văn bản này được
mã hóa dựa trên tiêu chuẩn PKCS #1 v1, một tiêu chuẩn chuyển đổi bản
rõ có khả năng kiểm tra tính hợp lệ của văn bản sau khi giải mã. Do
những khiếm khuyết của PKCS #1, Bleichenbacher có thể thực hiện một
tấn công lên bản RSA dùng cho giao thức SSL (tìm được khóa phiên). Do
phát hiện này, các mô hình chuyển đổi an toàn hơn như chuyển đổi mã
hóa bất đối xứng tối ưu (Optimal Asymmetric Encryption Padding) được
khuyến cáo sử dụng. Đồng thời phòng nghiên cứu của RSA cũng đưa ra

gửi , nếu trùng khớp thì có thể khẳng định văn bản đã không bị thay đổi
trên đường đi …
Mô hình chữ kí điện tử
VI. Chương trình hiện thực thuật toán Mã
hóa RSA:
2 tác vụ chính của chương trình là tính, tạo ra cặp khóa của hệ RSA, và
thực hiện mã hóa một đoạn văn bản ngắn theo phương thức này:
I.Tạo cặp khóa (e,n) và (d,n):
Các số liệu cấn phát sinh là p,q,e:
Các hàm cần xây dựng:
Hàm kiểm tra số nguyên tố:
public bool kt_SNT(int number)
Hệ mã hóa công khai RSA
Trang 17
Báo cáo cuối kì Hệ mã hóa công khai RSA
{
if (number == 1 || number == 2)
return true;
else
{
int tam = (int)Math.Sqrt(number);
for (int i = 2; i <= tam; i++)
{
if (number % i == 0)
return false;
}
}
return true;
}
Hàm tìm ước số chung lớn nhất:

i++;
} while (!(d * ei == temp));
}
II. Mã hóa một đoạn văn bản:
Hệ mã hóa công khai RSA
Trang 18
Báo cáo cuối kì Hệ mã hóa công khai RSA
Việc mã hóa một đoạn text ngắn sẽ được thực hiện như sau:
Giã sử ta có đoạn text ABCD
Trước tiên ta thực hiện chuyển đoạn text về dạng số theo nguyên tắt sau:
Ta quy định các kí tự sẽ tương ứng với các số như sau (ta chỉ xét kí tự
thường)
a 01 n 14
b 02 o 15
c 03 p 16
d 04 q 17
e 05 r 18
f 06 s 19
g 07 t 20
h 08 u 21
i 09 v 22
J 10 w 23
k 11 x 24
l 12 y 25
m 13 z 26
space 27
Kết quả:
A B C D sẻ chuyển thành : 01 02 03 04:
Sau khi chuyển các chữ cái trong văn bản thành các chữ số tiếp theo
nhóm chúng lại thành từng khối như sau :

Sau đó chuyển về dạng kí tự:
0123 -> aw
Ở đây chúng ta mã hóa đoạn văn bản theo từng khối, Văn bản dược chia
nhỏ và mã hóa theo thứ tự, Khi giải mã ta cũng thực hiện gải mã theo
từng khối và đúng thứ tự.
Một điểm cần lưu ý: trong quá trình tính toán ta gặp
(855^2735) mod 3233
855^2735 là một số rất lớn:
855^2735 =
50432888958416068734422899127394466631453878360035509315554967564501
Hệ mã hóa công khai RSA
Trang 20
Báo cáo cuối kì Hệ mã hóa công khai RSA
05562861208255997874424542811005438349865428933638 493024645144150785
17209179665478263530709963803538732650089668607477 182974582295034295
04079035818459409563779385865989368838083602840132 509768620766977396
67533250542826093475735137988063256482639334453092 594385562429233017
51977190016924916912809150596019178760171349725439 279215696701789902
13430714646897127961027718137839458696772898693423 652403116932170892
69617643726521315665833158712459759803042503144006 837883246101784830
71758547454725206968892599589254436670143220546954 317400228550092386
36942444855973333063051607385302863219302913503745 471946757776713579
54965202919790505781532871558392070303159585937493 663283548602090830
63550704455658896319318011934122017826923344101330 116480696334024075
04695258866987658669006224024102088466507530263953 870526631933584734
81094876156227126037327597360375237388364148088948 438096157757045380
08107946980066734877795883758289985132793070353355 127509043994817897
90548993381217329458535447413268056981087263348285 463816885048824346
58897839333466254454006619645218766694795528023088 412465948239275105
77049113329025684306505229256142730389832089007051 511055250618994171

73548884929899835609996360921411284977458614696040 287029670701478179
49024828290748416008368045866685507604619225209434 980471574526881813
18508591501948527635965034581536416565493160130613 304074344579651083
Hệ mã hóa công khai RSA
Trang 21
Báo cáo cuối kì Hệ mã hóa công khai RSA
80304062240278898042825189094716292266898016684480 963645198090510905
79651307570379245958074479752371266761011473878742 144149154813591743
92799496956415653866883891715446305611805369728343 470219206348999531
91764016110392490439179803398975491765395923608511 807653184706473318
01578207412764787592739087492955716853665185912666 373831235945891267
87095838000224515094244575648744840868775308453955 217306366938917023
94037184780362774643171470855830491959895146776294 392143100245613061
11429937000557751339717282549110056008940898419671 319709118165542908
76109008324997831338240786961578492341986299168008 677495934077593066
02207814943807854996798945399364063685722697422361 858411425048372451
24465580270859179795591086523099756519838277952945 756996574245578688
38354442368572236813990212613637440821314784832035 636156113462870198
51423901842909741638620232051039712184983355286308 685184282634615027
44187358639504042281512399505995983653792227285847 422071677836679451
34363807086579774219853595393166279988789721695963 455346336497949221
13017661316207477266113107012321403713882270221723 233085472679533015
07998062253835458948024820043144726191596190526034 069061930939290724
10284948700167172969517703467909979440975063764929 635675558007116218
27727603182921790350290486090976266285396627024392 536890256337101471
68327404504583060228676314215815990079164262770005 461232291921929971
69907690169025946468104141214204472402661658275680 524166861473393322
65959127006456304474160852916721870070451446497932 266687321463467490
41185886760836840306190695786990096521390675205019 744076776510438851
51941619318479919134924388152822038464729269446084 915299958818598855

95161912002160777898876864736481837825324846699168 307281220310791935
64666840159148582699993374427677252275403853322196 852298590851548110
40229657916338257385513314823459591633281445819843 614596306024993617
53097925561238039014690665163673718859582772525683 119989984646027216
46279764077057074816406450769779869955106180046471 937808223250148934
07851137833251073753823403466269553292608813843895 784099804170410417
77608463062862610614059615207066695243018438575031 762939543026312673
77406936404705896083462601885911184367532529845888 040849710922999195
65539701911191919188327308603766775339607722455632 113506572191067587
51186812786344197572392195263333856538388240057190 102564949233944519
65959203992392217400247234147190970964562108299547 746193228981181286
05556588093851898811812905614274085809168765711911 224763288658712755
38928438126611991937924624112632990739867854558756 652453056197509891
14578114735771283607554001774268660965093305172102 723066635739462334
13638045914237759965220309418558880039496755829711 258361621890140359
54234930424749053693992776114261796407100127643280 428706083531594582
305946326827861270203356980346143245697021484375
Kết quả là một số với 8072 chữ số
Không có kiểu dữ liệu nào lưu được để tính toán: Vì vậy ta không thể tính
trực tiếp: trong trường hợp này ta tính phép toán chia dư như sau:
Ví dụ ta tính (17^4) mod 30
Ta thực hiện ((((((17 mod 30) *17)mod 30)*17)mod 30)* 17) mod 30
Đoạn code tính như sau :
C = (m^e) mod n
c = m % n;
for (int f = 1; f < e; f++)
{
c = (c * m) % n;
}
VII.Nhận xét đánh giá: