Đề kiểm thi học sinh giỏi
năm học 2009 -2010
Môn: toán 8
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (4đ).
Chứng minh rằng số A = n
3
(n
2
- 7)
2
- 36n luôn chia hết cho 7 với mọi n là số tự nhiên
Bài 2: (4đ).
Cho a, , c, x, y, z

0 thoả mãn: x + y + z = 2006; x
2
= a + yz ; y
2
= b + xz ; z
2
= c + xy
Tính giá trị của biểu thức A =
cba
czbyax
++
++
Chứng minh rằng -x
3
+ x
2

Bài 4: (5đ) Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a. Một điểm M chuyển động trên cạnh
DC (M

D, M

C) chọn điểm N trên cạnh BC sao cho
NAM

= 45
o
, DB thứ tự cắt AM, AN tại E và
F.
1. Chứng minh
0
90

== NEAMFA
2. Chứng minh S

AEF =
2
1
S

AMN
3. Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC
Bài 5: (3đ). Cho

MNP, độ dài 3 cạnh theo thứ tự là m, n, p và 3
M

- 14n
5
+ 49n
3
- 36n
= (n
7
-n
5
) - (13n
5
- 13n
3
) + (36n
3
- 36n)
= n
5
(n
2
-1) - 13n
3
(n
2
- 1) + 36n (n
2
-1)
=( n
2
-1) .(n

2
- 1) (n -2) (n +2) n (n
2
- 9)
= (n -1) (n + 1) (n -2) (n + 2) n (n - 3) (n +3)
Vậy: A= (n -3) (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Vì n là số tự nhiên nên số A là tích của 7 số tự nhiên liên tiếp. Rồi chứng minh cho tích của 7 số tự
nhiên liên tiếp chia hết cho 7
Kết luận: A chia hết cho 7
Bài 2
Ta có x
2
= a +yz x
3
= ax + xyz => ax = x
3
- xyz
Tơng tự: by = y
3
- xyz
Cz = z
3
- xyz
Cộng theo từng vế của 3 đẳng thức trên ta đợc:
ax + by +cz = x
3
+ y
3
+ z
3

- 3xy}
= (x+y+z) (x
2
+ y
2
+ z
2
- xy - xz - yz)
Cùng từ x
2
= a+yz => x
2
- yz = a
Tơng tự y
2
- xz = b
Z
2
- xy = c
Do đó: ax + by + cz = (x+y+z) {(x
2
-yz) + (y
2
- xz) + ( z
2
-xy) }
= (x+y+z) (a+b+c)
Vì vậy
cba
czbyax

0
=> 4x
3
-4x
2
+1 0 - 4x
3
+ 4x
2
- 1 0 - 4x
3
+ 4x
2
1
4(-x
3
+ x
2
) 1 - x
3
+ x
2

4
1

Vậy : -x
3
+ x
2

2
5
1
3
6
22164
2222
2
=
+

+

+

+
++
xxxx
x
3 +
0
5
7
3
5
1
3
6
2
2222

+
+
+
+
+

xxxx
x

5
75
3
53
1
31
6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+

+

+
+

+
+

+
+

x
x
x
x
x
x
x
x
= 0 (x
2
- 2)
)
5
1
3
1
1
1
6

> 0
Nên (1) x
2
- 2 = 0 x
2
= 2
x =
2
(TMĐK) hoặc x = -
2
(TMĐK) Vậy S = {-
2
;
2
}
Bài 4.
ã
ã
0
AFM = AEN = 90
Nối A với C chỉ ra đợc
à à
à
à
3 1 1 1
A = A ; B = C
=> AFB

AMC (g.g)
=>

0
AFM = AEN = 90
S AEF = 1/2 S AMN
Có AFM

AEN =>
AN
AE
AM
AF
=
=> AEF

AMN (c.g.c) =>
)1()(
2
AM
AF
SAMN
SAEF
=
Có FAM = 45
0
, AFM = 90
0

=> AFM Vuông cân đỉnh F nên AM
2
= AF
2

+ np - p
2
= 0
Do 3M + 2N = 180
0
và M + N + P = 180
0
=> P = 2M + N vậy P > N => MN>PM
Trên MN lấy điểm Q sao cho MQ = PM = n
Nên QN = P-n
MNP và PNQ có N chung và
PQN = 180
0
- MQP
= 180
0
-
2
180
0
M
( do MQP cân)
= 180
0
-
2
23 MNM +
(do 3M + 2N = 180
0
)

= 0 (ĐPCM)
Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện
Môn: Toán - Lớp 8
năm học 2008 - 2009
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4 điểm)
1, Cho ba số a, b, c thoả mãn
+ + =


+ + =

2 2 2
a b c 0
a b c 2009
, tính
= + +
4 4 4
A a b c
.
2, Cho ba số x, y, z thoả mãn
x y z 3+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
B xy yz zx= + +
.
Bài 2: (2 điểm)
Cho đa thức
( )
= + +
2

thẳng EB cắt đờng thẳng DC tại F, CE cắt à tại O. Chứng minh
AEC
đồng dạng
CAF
,
tính
ã
EOF
.
Bài 6: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC lần
lợt lấy các điểm E và F sao cho
ã
ã
EAD FAD=
. Chứng minh rằng:
=
2
2
BE BF AB
CE CF AC
.
Bài 7: (2 điểm)
Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy ra hai số bất kỳ và
thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có thể
làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đợc không? Giải thích.
Hết
Hớng dẫn chấm môn toán 8
Bài Nội dung Điểm
1.1

+ + = + + + + = =
ữ

( ) ( )
2
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2009
A a b c a b c 2 a b b c c a
2
= + + = + + + + =
0,50
0,50
1,00
1.2
Cho ba số x, y, z thoả mãn
x y z 3+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
B xy yz zx= + +
.
2,00

( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )

= + + = + + +

= + + + = + +
+ +



1,25
0,50
0,25
Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1
2
Cho đa thức
( )
= + +
2
f x x px q
với
p Z,q Z
. Chứng minh rằng tồn tại số
nguyên k để
( ) ( ) ( )
=f k f 2008 .f 2009
.
2,00
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2

3.1
Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn
3xy x 15y 44 0+ + =
.
2,00

( ) ( )
3xy x 15y 44 0 x 5 3y 1 49+ + = + + =
x, y nghuyêndơng do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên dơng và lớn hơn 1.

Thoả mãn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là ớc lớn hơn 1 của 49 nên có:

x 5 7 x 2
3y 1 7 y 2
+ = =



+ = =

Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là x = y = 2.
0,75
0,50
0,75
3.2
Cho số tự nhiên
( )
=
2009
9

3,00
Điều kiện:
x 2;x 2
( )
2x m x 1
3 x 1 m 2m 14
x 2 x 2

+ = =
+
m = 1phơng trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm.
m 1
phơng trình trở thành
2m 14
x
1 m

=

Phơng trình có nghiệm dơng
2m 14
2
1 m
m 4
2m 14
2
1 m
1 m 7
2m 14
0


.
0,25
0,75
0,25
0,50
1,00
0,25
5
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy
điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC tại F. Chứng minh
AEC
đồng dạng
3,00
CAF
, tính
ã
EOF
.
O
D
B
A
C
E
F

AEB
đồng dạng
CBF

= + = +
= =
1,00
1,00
1,00
6
Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB,
DC lần lợt lấy các điểm E và F sao cho
ã
ã
EAD FAD=
. Chứng minh rằng:
=
2
2
BE BF AB
CE CF AC
.
3,00
A
B
C
D
F
E
K
H
Kẻ EH

AB tại H, FK

BE BF AB
CE CF AC
=
(đpcm).
1,00
1,25
0,50
0,25
7
Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy ra hai số bất
kỳ và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh vậy đến khi còn một số trên bảng thì
dừng lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đợc không? Giải thích.
2,00
Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thì tính chất chẵn lẻ của tổng các số có
trên bảng không đổi.
Mà
( )
2008. 2008 1
S 1 2 3 2008 1004.2009 0mod2
2
+
= + + + + = =
;
1 1mod2

do vậy trên bảng không thể chỉ còn lại số 1.
1,00
1,00
lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán

Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dới dạng
nh trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.
2. Tìm số d trong phép chia của biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 2008x x x x+ + + + +
cho đa thức
2
10 21x x+ +
.
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H

BC). Trên tia HC lấy điểm D
sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo
m AB=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng
dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.

Hết

Đáp án và thang điểm:
Bài 1 Câu Nội dung Điểm

(1)
+ Nếu
1x
: (1)
( )
2
1 0 1x x = =
(thỏa mãn điều kiện
1x
).
+ Nếu
1x <
: (1)
( ) ( ) ( )
2 2
4 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x + = = =

1; 3x x = =
(cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là
1x
=
.
0,5
0,5
2.2
( )
2 2 2
2
2 2

2 2
2
2
1 1
8 8 4 4 16x x x x
x x

+ + = + + =
ữ ữ

0 8x hay x = =
và
0x
.
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm
8x
=
0,25
0,5
0,25
3
2.0
3.1
Gọi số cần tìm là
10ab a b= +
(a, b là số nguyên và a khác 0)
Theo giả thiết:
10a b a b+ = +
là số nguyên, nên
ab

(thỏa điều kiện bài toán)
0,5
0,5
3.2 Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
( ) 2 4 6 8 2008
10 16 10 24 2008
P x x x x x
x x x x
= + + + + +
= + + + + +
Đặt
2
10 21 ( 3; 7)t x x t t= + +
, biểu thức P(x) đợc viết lại:
( ) ( )
2
( ) 5 3 2008 2 1993P x t t t t= + + = +
Do đó khi chia
2
2 1993t t +
cho t ta có số d là 1993
0,5
0,5
4 4,0
4.1 + Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc
à

= ì = ì
(do
BEC ADC

:
)
mà
2AD AH=
(tam giác AHD vuông vân tại H)
nên
1 1 2
2 2
2
BM AD AH BH BH
BC AC AC BE
AB
= ì = ì = =
(do
ABH CBA

:
)
Do đó
BHM BEC

:
(c.g.c), suy ra:
ã
ã
ã

1. Phân tích đa thức thành nhân tử
a)
54
2
+ xx
b) a
3
(b c) + b
3
(c a) + c
3
(a b)
2. Tìm x, y biết : 2x
2
+ 4x + 4xy 2y + 5y
2
+ 5 = 0
Bài 2 : ( 5 điểm)
1. Cho a, b là các số dơng thoả mãn 5a
2
2b
2
= 3ab và 2a b.
Tính giá trị biểu thức
22
ba4
ab
P

=

+
+
+
+
=
+ 2010
Bài 3 : ( 3 điểm)
1. Cho a, b là các số nguyên, a chia cho 7 d 2 và b chia cho 7 d 3. Hỏi
22
ba
+
chia cho 7 d bao
nhiêu?
2. Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì n
2
5n + 120 không chia hết cho 169.
3. Tìm số nguyên tố p sao cho biểu thức M = 2
p
+ p
2
có giá trị là số nguyên tố.
Bài 4 : ( 6 điểm)
Cho hình thang ABCD, hai đờng chéo cắt nhau tại O. Đờng thẳng đi qua O và song song với hai đáy
cắt các cạnh bên AD, BC lần lợt tại các điểm M và N.
a) Chứng minh
BC
BN
AD
AM
=

54
2
+ xx
(1,5 điểm)
- Tách 4x = -x + 5x 0,5
- Nhóm và đặt nhân tử chung ở các nhóm đúng
0,5
- Nhóm đúng đến kết quả ( x-1)(x + 5)
0,5
b) a
3
(b c) + b
3
(c a) + c
3
(a b) (2 điểm)
= a
3
(b c) b
3
[(b c) + (a b)] + c
3
(a b)
0,5
= a
3
(b c) b
3
(b c) b
3

bc c
2
)
0,25
= (b c)(a b)(a
2
c
2
+ ab bc)
0,25
=(a b) (b c) (a c) (a + b + c)
0,25
2. Tìm x, y biết : 2x
2
+ 4x + 4xy 2y + 5y
2
+ 5 = 0 (1,5 điểm)
- Viết đẳng thức về dạng (x + 2)
2
+ (y 1)
2
+ (x + 2y)
2
= 0
0,5
- Lập luận các bình phơng không âm =>(x + 2)
2
= (y 1)
2
= (x + 2y)

- do a, b > 0 => 5a + 2b > 0 => a = b
0,5
- Tính tiếp đến P =
3
1
0,5
2. Cho abc =2.
Rút gọn biểu thức
2c2ac
c2
1bbc
b
2aab
a
M
++
+
++
+
++
=
(1,5 điểm)
abcabcac
abc
1bbc
b
abcaab
a
M
2

Bài Nội dung Điểm
Bài 2 :
3. Cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau và khác 0 thoả mãn
0
111
=++
cba
.
Hãy tính giá trị biểu thức :
ab2c
1
ca2b
1
bc2a
1
M
222
+
+
+
+
+
=
+ 2010 (2 điểm)
Từ
0
111
=++
cba
=>

+ 2ab = (c a)(c b)
0,25
)ac)(bc(
1
)cb)(ab(
1
)ca)(ba(
1
M

+

+

=
+ 2010 0,25
)cb)(ca)(ba(
bacacb
M

+++
=
+ 2010 = 2010 0,25
Bài 3 :
( 3 điểm)
1. Cho a, b là các số nguyên, a chia cho 7 d 2 và b chia cho 7 d 3. Hỏi
22
ba
+
chia cho 7 d bao nhiêu? (1 điểm)

2. Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì n
2
5n + 120 không chia hết cho
169. (1 điểm)
n
2
5n + 120 = ( n 9)( n + 4 ) + 156
0,25
Nhận xét ( n + 4 ) ( n 9) = 13 nên cùng chia hết hoặc cùng không chia hết
cho 13.
0,25
Nếu ( n 9) chia hết cho 13 thì ( n + 4 ) chia hết cho 13 do đó tích
( n 9)( n + 4 ) chia hết cho 13
2
= 169 mà 156 không chia hết cho 169
n
2
5n + 120 không chia hết cho 169.
0,25
Nếu ( n 9) không chia hết cho 13 thì ( n + 4 ) không chia hết cho 13 mà 13
là số nguyên tố nên tích ( n 9)( n + 4 ) khôngchia hết cho 13 mà 156 chia
hết cho 13 n
2
5n + 120 không chia hết cho 169.
0,25
3. Tìm số nguyên tố p sao cho biểu thức M = 2
p
+ p
2
có giá trị là số nguyên tố.

2k + 1
+ 1 =2.4
k
+ 1
4 1mod3 4
k
1mod3 2.4
k
2mod3 2.4
k
+1 chia hết cho 3 2
p
+ 1 chia
hết cho 3 M chia hết cho 3 vậy với p > 3 thì M không là số nguyên tố.
0,25
Bài 4 :
( 6
điểm)
Cho hình thang ABCD, hai đờng chéo cắt nhau tại O. Đờng thẳng đi qua O cắt
các cạnh bên AD, BC lần lợt tại các điểm M và N.
a) Chứng minh
BC
BN
AD
AM
=

2
b) Chứng minh
CD

/ S
(EBCF)
= 1/3 hoặc S
(EBCF)
/ S
(EBFC
) = 1/3 => LP / LQ = 1/3
hoặc LQ / LP = 1/3.
0.5
Trên PQ lấy hai điểm L
1
, L
2
thoả mãn điều kiện L
1
P / L
1
Q = L
2
Q / L
2
P = 1/3 khi
đóL trùng với L
1
hoặc L trùng vi L
2
. Nghĩa là d cắt AB v CD thì d phải qua
L
1
hoặc L

0.25
Vì 2010 > 4.502 = 2008 nên theo nguyên tắc Đi Rich Lê, trong 2010 đờng
thẳng đã cho có 503 đờng thẳng (503 = 502 + 1) cùng đi qua 1 điểm trong 4
điểm L
1
; L
2
; K
1
; K
2
. Suy ra điều phải chứng minh.
0.25
Chú ý : HS làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.