PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC YÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2007 – 2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1 (1,5 điểm)
Tính giá trị của biểu thức:
4 4 4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
2 4 6 ...... 100
4 4 4 4
S
1 1 1 1
1 3 5 ...... 99
4 4 4 4
     
+ + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
=
     
+ + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
Bài 2 (1,5 điểm)
Cho x, y là các số thỏa mãn x + y = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x
3
+ y
3

S
1 1 1 1
1 3 5 ...... 99
4 4 4 4
     
+ + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
=
     
+ + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
Giải: ∀ n ∈ N, ta có:
2
4 4 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
n n n n n n n n n n
4 4 2 2 2
    
+ = + + − = + − = + + − +
 ÷  ÷ ÷
    
(1)
(0,5 điểm)
Mặt khác:
2 2 2
1 1 1
n n (n 2n 1) (n 1) (n 1) (n 1)
2 2 2

 ÷
 
=
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
1 1 1 1
4 4 3 3 ... 100 100 99 99
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 3 3 2 2 ... 99 99 98 98
2 2 2 2 2 2
1
100 100
1
2
S 2. 100 100 20201
1
2
2
     
+ + + + + + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷ ÷
     
       
+ + + + + + + + + + + +
 ÷ ÷ ÷ ÷  ÷ ÷
       
+ +

Giải phương trình:
a)
2
x 4x 5 2 2x 3+ + = +
(1)
b)
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − −
Giải:
a) (1,5 điểm). Điều kiện:
3
x
2
≥ −
(0,5 điểm)
Ta có: (1) ⇔
2
(x 2x 1) (2x 3 2 2x 3 1) 0+ + + + − + + =
(0,5 điểm)
⇔
2 2
x 1 0
(x 1) ( 2x 3 1) 0 x 1
2x 3 1 0
+ =


+ + + − = ⇔ ⇔ = −

+ − =

⇔ x = –1.
Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = –1
(0,5 điểm)
Bài 4 (2 điểm)
Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và
BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài
đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M.
Giải:
– Từ C kẻ đường thẳng song song với BD
cắt AD tại N ⇒ BCND là hình bình hành
Suy ra: BC = DN
(1
điểm)
– Mặt khác: AD + BC = 2EF mà AM = EF (gt)
Suy ra: AN = AD + DN = AD + BC = 2AM
Do đó: M là trung điểm của AN
(0,5
điểm)
– Vì CN // BC mà BD ⊥ AC ⇒ CN ⊥ AC
Hay: ∆ACN vuông tại C có CM là trung tuyến
⇒ 2CM = AN. Hay: CM = AM
M
F
E
NDA
I
B C
Vậy: ∆AMC cân tại M
(0,5
điểm)

M C
A
B
D