phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2001- 2002
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: ( 4 điểm)
Rút gọn biểu thức:
2
2
1 a 1 a 1 1
P : 1
a
a
1 a 1 a
1 a 1 a

+
= +

+
+

với -1
a 0
<
Câu 2: ( 4 điểm)
a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
k 1

ta có:

Tính tích P = xyz
Câu 4: ( 6 điểm)
Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng d cố định ( d ngoài (O)). Gọi A là chân đ-
ờng cao hạ từ O xuống d. Từ một điểm E trên d kẻ các tiếp tuyến EP, EQ với (O). Dây
cung PQ cắt OA tại Ivà cắt OE ở K. Gọi B là giao điểm thứ hai của AP với (O; R).
Tiếp tuyến của (O) tại B cắt đờng thẳng d tại C.
a. Chứng minh các điểm O, A, B, C cùng thuộc một đờng tròn.
b. Chứng minh: AC = AE
c. Chứng minh: OI. OA = R
2
d. Khi điểm E di động trên d thì K chuyển động trên đờng nào? Vì sao?
Câu 5*: ( 3 điểm)
Cho
( ) ( )
n n
n
2 3 2 3
a voi n N
2 3
+
=
Chứng minh rằng: a
n
có giá trị là một số nguyên với mọi n
N
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2002- 2003
Môn Toán lớp 9

có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ
hơn 1. Chứng minh:
a 1
b 4
>
Bài 2:
Cho
2 2 2 2
P x y 2z t= + + +
với x, y, z, t là các số không âm. Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của P và các giá trị tơng ứng của x, y, z, t biết:
2 2 2
2 2 2
x 3y 4z 101
x y t 21

+ + =


+ =


Bài 3:
a. Với
x 2
, chứng minh:
x 2 x 2 1
. Tìm x để đẳng thức xảy ra.
b. Giải phơng trình:
2 2

đề chính thức
Bài 1. Tính:

( )
2 2
5 14 6
A . 2 4 2
2 1 2 2 1 2 3
B 2x 3x 17 2x 3x 5

= +
ữ
+

= + + +
biết
2 2
2x 3x 17 2x 3x 5 2 + + =
Bài 2. Cho hệ phơng trình:
mx 4y 10 m
x my 4
+ =


+ =

a. Giải và biện luận hệ phơng trình.
b. Chứng minh rằng : khi hệ phơng trình có nghiệm (x; y) duy nhất thì M(x; y)
luôn thuộc một đờng thẳng cố định.
Bài 3. Cho phơng trình :

) tại C, cắt (O
2
) tại D, CE cắt DF tại I. Chứng minh
rằng:
a. IA vuông góc với EF.
b. Tứ giác IEBF nội tiếp
c. AB đi qua trung điểm của EF.
d. Qua A kẻ một cát tuyến thứ 2 C

AD

cắt (O
1
) tại C

, cắt (O
2
) tại D

. Chứng
minh: góc
'
C AB DAB =
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2005 -2006
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: ( 3 điểm)

a.Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có nghiệm.
b.Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m.
c.Xác định m sao cho phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị
tuyệt đối.
Bài 4: ( 7 điểm)
Cho đờng tròn (O ; R), M là một điểm nằm ngoài đờng tròn. Qua M kẻ hai tiếp
tuyến MA, MB của đờng tròn (O ; R) ( A, B là các tiếp điểm). Một đờng thẳng d qua
M cắt đờng tròn (O) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm
của CD. Đờng thẳng AB cắt MO, MD, OI theo thứ tự tại các điểm E, F, K.
a.Chứng minh rằng OE. OM = OK. OI = R
2
b. Khi đờng thẳng d không đi qua O. Chứng minh OECD là tứ giác nội tiếp.
c. Cho biết R = 10cm; OI = 6cm; MC = 4cm. Tính MB?
Bài 5: ( 2 điểm)
Cho p =
abc
là số nguyên tố. Chứng minh rằng phơng trình a
2
+ bx + c = 0
không có nghiệm hữu tỷ.
sở GD- đt
tỉnh nam định
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2002- 2003
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Rút gọn biểu thức:
3 5 3 5
A
10 3 5 10 3 5

b. Tìm m để hệ có nghiệm.
Câu 4: Cho hai vòng tròn (C
1
), (C
2
) tiếp xúc ngoài tại T. Hai vòng tròn này nằm trong
vòng tròn (C
3
) và tiếp xúc với (C
3
) tơng ứng tại M, N. Tiếp tuyến chung tại T của (C
1
),
(C
2
) cắt (C
3
) tại P. PM cắt (C
1
) tại điểm thứ hai là A và MN cắt (C
1
) thứ hai là B. PN
cắt (C
2
) tại điển thứ 2 là D và MN cắt (C
2
)tại điểm thứ hai C.
a. Chứng minh rằng : ABCD là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh các đờng AB, CD, PT đồng quy.
đề chính thức

b. Với giá trị nào của x thì A + B = 0.
Bài 2. Cho hệ phơng trình:
( )
2
m 1 x y 1 m
2 x y 0

+ + =


+ =


a. Giải hệ phơng trình với m = -1
b. Xác định m để phơng trình có nghiệm.
Bài 3. Cho p là một số thực sao cho x
2
-3px - p = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
a. Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
không

phụ thuộc vào p.
b. Chứng minh rằng: 3p x

Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút
đề chính thức
Bài 1. ( 4,0 điểm)
Cho biểu thức
1 1 2x x 1 2x x x x
A :
1 x
1 x x 1 x x

+ +

= +
ữ
ữvới x > 0;
1
x
4

; x

1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi

+
+ =
Bài 4. ( 8 điểm)
Cho AB là đờng kính của đờng tròn (O; R). C là một điểm thay đổi trên đờng
tròn ( C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI
cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O; R) tại M, MB cắt CH tại K.
a. Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đờng tròn.
b. Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O; R).
c. Chứng minh K là trung điểm của CH.
d. Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị
lớn nhất đó theo R.
Bài 5. ( 1,5 điểm) Cho
( ) ( )
2008 2008
M 3 2 3 2= + +
a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên.
b) Tìm chữ số tận cùng của M.
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1998- 1999
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút
đề chính thức
Câu 1. Cho 3 số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 999. Chứng minh
rằng giá trị của các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x, y, z:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
999 y 999 z 999 z 999 x 999 x 999 y


; r) tiếp xúc ngoài tại M. Kẻ 1 tiếp tuyến chung
ngoài NP (
( )
( )
'
N O ;P O
)
a.Tính góc NMP và tính NP?
b.Gọi Q là giao điểm của PM với đờng tròn (O) (Q khác M). Chứng minh
rằng : ba điểm N, O, Q thẳng hàng.
c.Tính MN? MP?
d.Từ 1 điểm A bất kì thuộc tia MQ và nằm ở miền ngoài đờng tròn (O), kẻ
AB và AC là các tiếp tuyến của đờng tròn (O) ( B và C là các tiếp điểm). Chứng minh
rằng: Khi điểm A di động trên tia MQ ( ở miền ngoài (O) thì đờng tròn ngoại tiếp tam
giác ABC luôn đi qua 2 điểm cố định.
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1997- 1998
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1. Rút gọn biểu thức sau:
a.
x y xy xy 1
A :
x y
x y x y

+

Nx lấy một điểm O sao cho NO = 1/2MN. Tia MO cắt đờng tròn (O; ON) ở A
và B. ( M và O nằm ở 2 phía của A). Đờng tròn (M; MA) cắt MN ở C.
a. Chứng minh: AB
2
= MA. MB
b. Chứng minh : MC
2
= CN. MN
c. Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với AB, cắt d ở E. Từ M và E kẻ các tiếp tuyến
MP và EQ với đờng tròn (O), ( P và Q là các tiếp điểm khác N). Chứng minh
rằng : MP. EQ = 1/4PQ
2
.
d. Dựng đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng d tại M và tiếp xúc với đờng tròn (O).
phòng GD- đt
huyện trực ninh
đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1999- 2000
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1. Cho biểu thức :
( )
( )
2
3 3
2
a b ab a b
A
ab 1 4 ab
+ + +

c. Kẻ đờng thẳng vuông góc với DA tại I, cắt BC tại E. Nối DE. Gọi F là giao
điểm của tia AB và tia DE. Chứng minh:
2
AD
AB.BF
4
=
d. Dựng đờng tròn tiếp xúc với DC tại C và tiếp xúc với đờng tròn (I; IA)