phòng giáo dục - đào tạo
huyện trực ninh
*****
đề chính thức
Đề thi chọn học sinh giỏi huyện
Năm học 2008 - 2009
Môn Toán 9
Ngày thi: 10 tháng 12 năm 2008
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1.(3,0 điểm)
a,Tính:
3 5 3 5
M
2 3 5 2 3 5
+
= +
+ +

b, Không sử dụng bảng số và máy tính hãy so sánh:

A 2007 2009= +
và
B 2 2008=

Bài 2.(4,0điểm)
Cho biểu thức:
x 2 x 1 x 1
P :
2
x x 1 x x 1 1 x


2009 2009
A x y 1= + +
Bài 4.(7,5 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đờng tròn (O;R). Đờng tròn (O;R) tiếp xúc
với các cạnh BC, AB, AC lần lợt tại các điểm D, N, M. Kẻ đờng kính DI của đờng (O;R).
Qua I kẻ tiếp tuyến của đờng (O;R) nó cắt AB, AC lần lợt tại E, F.
a, Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm. Tính chu vi của tam giác AEF.
b, Chứng minh EI. BD = IF.CD = R
2
.
c, Gọi P là trung điểm của BC, Q là giao điểm của AI và BC, K là trung điểm của AD.
Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP.
Bài 5.(2,0 điểm)
a, Với a, b > 0 chứng minh:

+
ữ
+

1 1 1 1
a b 4 a b
. Dấu = xảy ra khi nào?
b, Cho x, y, z là 3 số dơng thoả mãn:
+ + =
1 1 1
8
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của
= + +
+ + + + + +

2 5 1 2 5 1
+ +
= + = +
+ +
+ +
0,
5
2,0 đ
3 5 3 5 3 5 3 5
2 5 1 2 5 1 2 5 1
2 5 1
+ +
= + = +
+ + + + +

=
3 5 3 5
3 5 3 5
+
+
+
(vì
5 1>
)
0,
5
( ) ( )
( ) ( )
2 2
3 5 3 5

2 2
2.2008 2 2008 1 2.2008 2 2008 2 2008= + < + =
Vậy A < B. 0,5
Bài 2.(4,0điểm)
a, Rút gọn P.
Ta có
x 2 x 1 x 1
P :
2
x x 1 x x 1 1 x

+
= + +
ữ
+ +

với x > 0 và x

1
( )
( ) ( )
3
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x 1
x 1
x 2 x 1 x 1
:
2

+ +
= =

+ + + +
0,5
( ) ( )
x 2 x 1 2 2
.
x 1 x x 1
x 1 x x 1
+
= =
+ +
+ +
. Vậy
2
P
x x 1
=
+ +
0,5
b, Tìm x để
2
P
7
=
Ta có
2
P
x x 1

c, So sánh
2
P
với 2P
Ta có
2
P
x x 1
=
+ +
( với x > 0; x

1)
Mà
2
1 3
x x 1 x 0
2 4

+ + = + + >
ữ

với mọi x > 0,
nên
2
P 0
x x 1
= >
+ +
với mọi x > 0

áp dụng bđt Bunhiakôpski ta có:
( )
x 3 5 x 2. x 3 5 x 4 2 + + = =
.
Dấu = xảy ra

x-3 = 5 x

x = 4
0,5
Ta lại có x
2
8x + 18 =(x 4)
2
+ 2

0 với

x.Dấu = xảy ra

x= 4 0,5
Suy ra
2
x 3 5 x x 8x 18 + = +

x = 4
Với x = 4 thoả mãn ĐK (*), vậy nghiệm của phơng trình là x = 4
0,5
b, Cho x, y là các số thoả mãn:
(

x 3 x y 3 y 3 x 3 x 3 y 3 y 3 x 3 x
+ + + = + + + = +
2 2
y 3 y x 3 x + + = +
(1)
0,75
1,75đ
Tơng tự ta có
2 2
x 3 x y 3 y+ + = +
(2)
Lấy (1) cộng với (2) ta có : x = -y
0,5
Suy ra
2009 2009 2009 2009
A x y 1 x x 1 1= + + = + =
Vậy A = 1
0,5
D P
Q
M
N
o
fe
k
i
c
b
a
Bài 4.(7,5 điểm)

. 0,5
c, Gọi P là trung điểm của BC, Q là giao điểm của AI và BC, K là trung điểm của AD. Chứng
minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP.
áp dụng hệ qủa định lý Talet trong các tam giác AQC và tam giác ABC ta có
IF AF AF FE
;
QC AC AC BC
= =
IF FE
QC BC
=
(1)
0,75
3,0đ
Theo câu b ta có:
IF IE IE IF EF
EI.BD IF.CD
BD CD BD CD BC
+
= = = =
+
(2) 0,75
Từ (1) và (2) suy ra
IF IF
QC BD
QC BD
= =
0,5
+Vì P là trung điểm của BC (gt), QC = BD ( cmt)



a
2
+ b
2


2ab

4ab

( a + b )
2
0,25
0,75đ

+

+
1 a b
a b 4ab

0,25

+
ữ
+

1 1 1 1
a b 4 a b

0,75đ
1,25đ

= + + + + = + +
ữ ữ

+ + + + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
x 2y z x y y z 4 x y y z 16 x y y z 16 x y z
(2)
Dấu = xảy ra

x = y = z =
8
3

= + + + + = + +
ữ ữ

+ + + + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
x y 2z x z y z 4 x z y z 16 x z y z 16 x y z
(3)
Dấu = xảy ra

x = y = z =
8
3

bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm, không chia nhỏ dới 0,25.
3) Điểm toàn bài không làm tròn.
--- Hết ---