UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
__________________________
_____________________________________________
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008-2009 (VÒNG 2)
Môn thi : Tóan
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi : 18/1/2009
Bài 1: (3 điểm)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng
của a và c thì ta có:
1 1 2
a b b c c a
+ =
+ + +
Bài 2: (4 điểm)
Cho
2
2
1 2 2 4
2 7 10 5
x x x
A
x x x x
− − −
= + −
− − + −
a) Rút gọn A.
b) Tìm x nguyên để A nguyên.
Bài 3: (5 điểm).
Giải hệ phương trình:

Nội dung
Điểm
Bài 1
(3đ)
1 1 2
1 1 1 1
(*)
a b b c c a
a b c a c a b c
+ =
+ + +
⇔ − = −
+ + + +
0,5
Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 c b
A
a b c a
a b c a
c b
a b c a b c
−
= − =
+ +
+ +
−
=
+ + +

− + − +
= = = −
+ +
+ + + +

Đẳng thức (*) được nghiệm đúng.
1,0
Bài 2a
(2đ)
x
2
- 7x + 10 = (x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2
0.5
2 2
2
2
2
1 2 2 4 1 2 2 4
2 7 10 5 2 ( 5)( 2) 5
5 2 (2 4)( 2)
( 5)( 2)
8 15 ( 5)( 3) 3
( 5)( 2) ( 5)( 2) 2
x x x x x x
A
x x x x x x x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x x x x


≥
0, ta có:
2u + 3y = 1
8
13
u
=

3u - 2y = 2
1
13
y
=−

2đ
Do đó:
2
8
13
x
=1
13
y
=−
·
BAM BCN=
(1)
1đ
Xét trong ∆AMB và ∆CMH có :
·
·
AMB CMH=
(đối đỉnh), kết hợp với (1)
⇒
·
·
0
CHM ABM 90= =
hay
·
0
ACH 90=
1đ
⇒ H thuộc đường tròn có đường kính AC (tức H thuộc đường tròn
ngọai tiếp ABCD)
Vậy AM, CN và đường tròn ngọai tiếp ABCD đồng quy tại H.
1đ
⇔

2 2 2 26
13 13
x = ± = ±

1

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)
Suy ra
·
·
MNO NOP=
; do đó, OP//MC.
Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành.
1.5
c)
( . )CND COM g g∆ ∆:
Nên
OC CM
CN CD
=
hay CM.CN = OC.CD = 2R
2

1.5
d) Vì MP = OC = R không đổi.
Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB. Do M chỉ chạy trên đoạn
AB nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên.
1đ
Hết
M
O