.
Bài tập về hình học không gian
Bài tập ôn tập chơng I
Vấn đề 1: Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Ph ơng pháp : Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung
của hai mặt phẳng. Đờng thẳng đi qua hai điểm chung đó, là giao tuyến của
hai mặt phẳng.
á p dụng :
Bài 1 : Cho một điểm S ở ngoài mặt phẳng (

) và 4 điểm A, B, C, D nằm
trong (

); AB và CD không song song. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAB) và (SCD).
HD: AB

CD = {I} ;

(SAB)

(SCD) = SI
Bài 2 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD không nằm trong cùng một mặt phẳng,
M là một điểm trên AB, và N là một điểm trên CD. Tìm giao tuyến của hai
mặt phẳng (MCD) và (NAB).
HD: (MCD)

((NAB) = MN
Bài 3 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AC và BC, K là
một điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng
(IJK) với các mặt phẳng (ACD) và (ABD).

Bài 5 : Cho tứ diện ABCD và D, E, F là trung điểm của AB, BC, SA.
a. Tìm giao tuyến d
1
của 2 mặt phẳng (SDC) và (SAE).
b. Tìm giao tuyến d
2
của 2 mặt phẳng (SDC) và (BFC).
c. d
1
và d
2
có cắt nhau không ?
HD: a, (SDC)

(SAE) = SG = d
1
b, BF

SD = {K}

(SDC)

(BFC) = CK = d
2
c, d
1


d
2

a. Chứng minh IB và JA là 2 đờng thẳng chéo nhau.
b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (JAD).
c. Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB và N là điểm nằm trên đoạn AC. Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).
HD: Dùng phơng pháp phản chứng.
Giả sử IB và JA không chéo nhau, thì IB và JA nằm trong cùng 1 mp,
DCBA
ABIJCBJC
ABIJDAID
,,,
)(
)(






nằm trong 1 mp trái với giả thiết.
Vậy IB và JA chéo nhau.
Câu b,c tơng tự bài tập 3.
Bài 9 : Gọi

là mặt phẳng xác định bởi 2 đờng thẳng a, b cắt nhau tại O, và
c là một đờng thẳng cắt mp(

) tại I khác O.
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (O,c) và (

).

phẳng, AB cắt DE tại M; BC cắt EF tại N; AC cắt DF tại L. Chứng minh: M,
N, L thẳng hàng.
HD: Cần chứng minh
M, N, L nằm trên giao tuyến của 2 mp (ABC) và (DEF).
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD; E,F,G là 3 điểm lần lợt trên AB, AC, AD. Gọi M,
N , L là giao điểm lần lợt của BC và EF; CD và FG; BD và EG. Chứng minh:
M, N, L thẳng hàng.
HD: Cần chứng minh
M, N, L nằm trên giao tuyến của 2 mp (BCD) và (EFG).
Bài 3 : Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lợt là 3 điểm trên 3 cạnh AB, AC,
BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng
qui.
Bài 4 : Cho 2 mặt phẳng (

) và (

) cắt nhau theo giao tuyến d. Ta lấy 2
điểm A, B thuộc mp(

), nhng không thuộc d và một điểm O không thuộc (

) và (

). Các đờng thẳng OA, OB lần lợt cắt (

) tại A, B. Giả sử đờng
thẳng AB cắt d tại C.
a. Chứng minh 3 điểm O, A, B không thẳng hàng.
b. Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, và từ đó suy ra 3 đờng thẳng
AB, AB và d đồng qui.

đờng thẳng BL và DK và J là giao điểm của 2 đờng thẳng LM và KN. Trong
5 điểm A, C, J, O
1
, O
2
có ba bộ ba điểm nào thẳng hàng không ?
c. Giả sử 2 đờng KM và LN cắt nhau tại H. Chứng minh rằng điểm H thuộc
đờng thẳng AC.
HD: a, K, L, M, N

(IMK)
b, (ABN)

(ADM) = AJO
1

(BCL)

(CDK) = CJO
2
c, (ABC)

(ADC) = ACH
Bài 9 : Cho hình chóp S.ABCD. Một mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần
lợt tại A, B, C, D. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng
AC, BD và SI đồng qui.
HD: A C

B D = {K}
K

(d) dễ nhìn thấy. Trong mp phụ (

) , d cắt (

) tại I. Đí là giao điểm của d
và mp(

).
á p dụng :
Bài 1 : Cho tứ diện OABC. Trên các cạnh OA, OB, OC, ta lần lợt lấy các
điểm A, B, C. Lấy điểm M nằm trong tam giác ABC.
a. Tìm giao điểm của đờng thẳng BC với mp(OAM).
b. Đờng thẳng OM với mp(ABC).

Trang 4
.
HD: a, có AM

BC = {K}, B C

OK = {H}

H là giao điểm của B C với (OAM)
b, OM

A H = {E}

E là giao điểm của OM với (A B C ).
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AC và BC, K
là một điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao

Tìm hai mặt phẳng cố định lần lợt chứa d và d, M di động trên giao tuyến cố
định của hai mặt phẳng đó.
+ Giới hạn (nếu có).
+ Phần đảo.
á p dụng:
Bài 1 : Cho một mặt phẳng (P) và 2 đờng thẳng d
1
và d
2
đồng qui tại O. Hai
điểm A và B cố định ở ngoài mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) lu động qua AB
cắt d
1
tại M và d
2
tại M. Tìm quỹ tích giao điểm I của Am và BN.

Trang 5
.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là tứ giác, AB và CD không song
song, M là một điểm di động trên cạnh SB. Mặt phẳng (ADM) cắt SC tại N.
Tìm tập hợp giao điểm của Am và DN.
Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng (P)lu động qua AB cắt SC và
SD lần lợt tại E và F. Tìm tập hợp giao điểm M của AE và BF.
Bài 4 : Cho 2 đờng thẳng d
1
và d
2
cắt nhau tại O và một đờng thẳng


mặt nào đó của hình chóp (mặt bên hay mặt đáy) thì (

) sẽ cắt mặt này theo
một đoạn thẳng gọi là đoạn giao tuyến của (

) với mặt đó.
Các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau, tạo thành một đa giác phẳng gọi là thiết
diện. Nh vậy, muốn tìm thiết diện của hình chóp với (

), ta tìm các đoạn
giao tuyến (nếu có). Đa giác tạo bởi các đoạn giao tuyến là thiết diện cần
tìm.
Vận dụng :
Bài 1 : Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC.
Trên đờng thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm
thiết diện của tứ giác ABCD với mp(HKM).
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD. Gọi H và K lần lợt là trung điểm các cạnh AC và
BC trong tam giác BCD, ta lấy điểm M sao cho 2 đờng thẳng KM và CD cắt
nhau. Tìm thiết diện của tứ diện ABCDE với mp(HKM).
Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SCD, ta lấy một điểm M.
a. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBM) và (SAC).
b .Tìm giao điểm của đờng thẳng BM với mp(SAC).
Tìm thiết diện của hình chóp với mp(ABM).
Bài 4 : Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H và
K lần lợt là trung điểm của các cạnh CB và CD là một điểm bất kỳ trên cạnh
SA. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MHK).

Trang 6
.
 Bµi 5 : Cho tø diÖn ®Òu ABCD, c¹nh b»ng a. KÐo dµi BC mét ®o¹n CE = a,