GV: Lê Đức Thanh
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 8

(Tung độ của biểu đồ mômen luôn ở về phía thớ căng của thanh).

Thí dụ 2.3 – Vẽ BĐNL của dầm đơn giản chòu tải phân bố đều q (H.2.8a).
Giải
Phản lực: Bỏ các liên kết tại A và B,
thay bằng các phản lực ( H.2.8a).
∑Z = 0 ⇒ H
A
=0.
Do đối xứng ⇒
2
ql
V V
BA
==

Nội lực: Chọn trục hoành như trên
H.2.8b. Xét mặt cắt ngang 1-1 tại K có
hoành độ là z, ( 0
≤
z
≤
l ). Mặt cắt chia
thanh làm hai phần.
Xét cân bằng của phần bên trái AK
(H.2.8b)
Từ các phương trình cân bằng ta suy ra:

l
qqz
ql
QY
NZ
x
y
z

Q
y
là hàm bậc nhất theo z, M
x
là hàm bậc 2 theo z.
Cho z biến thiên từ 0 đến l ta vẽ được các biểu đồ nội lực (H2.8).
Cụ thể: +Khi z=0 ⇒ Q
y
= ql/2 , M
x
= 0
+Khi z=l ⇒ Q
y
= -ql/2 , M
x
= 0
+Tìm M
x, cực trò
bằng cách cho đạo hàm dM
x
/ dz =0,

có giá trò cực đại ở giữa dầm.

a
)
z
1
1
K
B
q
l
1
1
Q
y

M
x

V
=
B
q
l
2
V
A
q
l
2

=
0
q
l
2

GV: Lê Đức Thanh
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 9

Thí dụ 2.4 Vẽ BĐNL của dầm đơn giản chòu lực tập trung P ( H.2.9a) .
Giải
Phản lực: Các thành phần phản lực tại các gối tựa là:

0=
A
H ;
l
P
b
V
A
= ;
l
P
a
V
B

z
l
alP
z
l
Pb
zVM
l
al
P
l
P
b
VQ
Ax
Ay
)(
.
)(
(a)

♦ Đoạn CB- Xét mặt cắt 2-2 tại điểm K
2
Trong đoạn CB cách gốc A một đoạn z , ( a
≤
z
≤
l ). Tính nội lực trên mặt cắt 2-2 bằng
cách xét phần bên phải (đoạn K
2

c
)
+
-
P
b
l
P
a
l
Q

y
M

x
Pa
b

l
M

x
Q

y
z
V
A
1

y

GV: Lê Đức Thanh
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 10
Thí dụ 2.5 Vẽ BĐNL của dầm đơn giản chòu tác dụng của mômen tập trung
M
o
(H.2.10a.)
Giải

Phản lực: Xét cân bằng của toàn dầm ABC ⇒ các phản lực liên kết tại
A và B là:
0=
A
H ;
l
M
VV
o
BA
== , chiều phản lực như H.2.10a.
Nội lực:
Đoạn AC: Dùng mặt cắt 1-1 cách gốc A
một đoạn z
1
;(0 ≤ z
1

(c)
Đoạn CB: Dùng mặt cắt 2-2 trong đoạn
CB cách gốc A một đoạn z
2
với (a ≤ z
2
≤ l ) .
Xét cân bằng của phần bên phải K
2
B ⇒ các
biểu thức nội lực trên mặt cắt 2-2 là:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=−=
−=−=
)()(
22
2
2
zl
l
M
zlVM
l
M

c
)
Q
y
H. 2.11
M
x
M / l
o
l

V =
B
M
o
M
o
l
V =
A
M
o
a

z
1
l –
z
2
V

2
K
2
l –z
2
K
1
1

y
a)
x1
M

2
x
2
2
A
Q
y
a

M

o
l

(l - a)
H. 2.10

của bước nhảy bằng trò số lực tập trung. Chiều bước nhảy theo chiều lực
tập trung nếu ta vẽ từ trái sang phải
- Nơi nào có mômen tập trung, biểu đồ mômen uốn nơi đó có bước
nhảy. Trò số của bước nhảy bằng trò số mômen tập trung. Chiều bước nhảy
theo chiều mômen tập trung nếu ta vẽ từ trái sang phải

Kiểm chứng các nhận xét : Khảo sát đoạn Δz bao quanh một điểm K có tác dụng lực tập trung P
0
,
mômen tập trung M
0
( H.2.12b).
Viết các phương trình cân bằng ⇒
∑Y = 0 ⇒ Q
1
+ P
0
– Q
2
= 0 ⇒ Q
2
– Q
1
= P
0
(i)
∑M/

Δ

, ⇒ M
2
- M
1
= M
0
(ii)
Biểu thức (i) đã kiểm chứng nhận xét về bước nhảy của biểu đồ lực cắt.
Biểu thức (ii) đã kiểm chứng nhận xét về bước nhảy của biểu đồ mômen. z

Δ
z
P
0
M
0

1
2
Δ
z
2
1
Q
2


dz
q(z)
M

o
1
2
q(z)
d
z
2
1
Q + d
Q

yy

M+ d
M

x x
Q
y
M
x
a)

b)
H. 2.13

y
=)( (2.4)
Đạo hàm của lực cắt bằng cường độ của lực phân bố vuông góc với trục
thanh.
2- Tổng mômen của các lực đối với trọng tâm mặt cắt 2-2 ta được:
∑M/o
2
= 0 ⇒ 0)(
2
)( =+−+⋅⋅+
xxxy
dMMM
dz
dzzqdzQ
Bỏ qua lượng vô cùng bé bậc hai
2
)(
2
dz
zq ⋅
⇒

y
x
Q
dz
dM
=
(2.5)
Đạo hàm của mômen uốn tại một mặt cắt bằng lực cắt tại mặt cắt đó

lqlVBM
oB
oAoA
3
1
0
6
1
32
1
0
=⇒=
=⇒××=⇒=
∑
∑

• Nội lực: Cường độ của lực
phân bố ở mặt cắt 1-1 cách gốc A một đoạn z cho bởi: q(z)= q
0
l
z

Dùng mặt cắt 1-1 và xét sự cân bằng của phần bên trái (H.2.14b).
∑Y = 0 ⇒
l
zqlq
z
zqVQ
oo
Ay

y
)
z = 0
= Q
max
= 6lq
o

Biểu đồ mômen uốn M
x
có dạng bậc 3. Tại vò trí
3lz =
; Q
y
= 0. Vậy tại
đây M
x
đạt cực trò:

39
)(
2
max
3
lq
MM
o
l
z
x


Q

y

V = q
0
l
A
o
1
6
+
M
maz

q

o

l
3

3
l

q
o
l
6

Nội lực:
* Đoạn AB: Mặt cắt 1-1, gốc A (0 ≤ z ≤ a),
xét cân bằng phần trái
•

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=
2
2
2
2
1
1
qz
qazM
qzqaQ

* Đoạn BC: Mặt cắt 2-2, gốc A (a ≤ z ≤ 2a)
và xét cân bằng phần trái:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

qM
zaqQ
(2a ≤ z ≤ 3a)

Biểu đồ mômen và lực cắt vẽ như H.2.15.
M
2
a
V
A
Q
2
z
M
o
P = 2q
a

M = q
a

o
2
A


2
2
q
a

2
2
3
M
x
Q
y
1
1
3
B
C

D
2
2
H. 2.15
M
1
z
V =
2qa
A
Q