Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Danh sách nhóm 1
lớp Đại học tại chức Toán K1 - Phú thọ.
STT Họ và tên Nghiên cứu phần
1.
Nguyễn Mạnh hởng
Phơng pháp 1:
Phơng pháp dùng định nghĩa
2.
Đào trung tuyến
Phơng pháp 2:
Dùng tính chất của Bất đẳng thức để
biến đổi tơng đơng
3.
đào thuỷ chung
Phơng pháp 3:
Dùng tính chất của tỉ số
4.
đỗ văn thành
Phơng pháp 4:
Phơng pháp phản chứng
5.
nguyễn văn thành
Phơng pháp 5:
Phơng pháp quy nạp
6.
nguyễn quang hiền
Phơng pháp 6:
Dùng Bất đẳng thức trong tam giác
7.
nguyễn ngọc chiến

giải quyết các bài toán.
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toán học từ
tiểu học đến trung học. Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức
không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho
nhiều môn học khác nh hoá học, vật lý, tin học. Đặc biệt việc phát triển t duy
sáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học. Nhng vấn đề đặt ra cho mỗi
giáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung v Bất
đẳng thức nói riêng.
Trong quá trình dạy toán ở THCS, qua kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi
tài liệu nhóm chúng em đã hệ thống đợc một số phơng pháp giải Bất đẳng thức
mà chúng em thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh có nh
vậy học sinh mới giải đợc toán Bất đẳng thức góp phần phát triển t duy toán
học, tạo điều kiện cho việc học toán ở THCS và học các môn học khác.
2- Cơ sở thực tiễn:
Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó. Nhiều
học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng pháp
giải toán Bất đẳng thức nh thế nào. Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có
nhiều trong chơng trình THCS, nhng không đợc hệ thống thành những phơng
pháp nhất định, gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp, khi giải toán Bất
đẳng thức.
-2-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi
kể cả các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10
THPT.
Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi
dỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phơng pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sung
kho kiến thức cho họ.
Đối với học sinh khắc phục đợc những hạn chế trớc đây giúp cho học
sinh có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán.

3) a < b

a + c < b + c (tính chất đơn điệu)
4) a < b, c < d

a + c < b +d (Cộng hai vế của một Bất đẳng thức
cùng chiều ta đợc một Bất đẳng thức cùng chiều với chúng)
5) a < b, c > d

a - c < b - d (trừ hai Bất đẳng thức ngựoc chiều ta
đợc một Bất đẳng thức có chiều là chiều của Bất đẳng thức bị trừ)
6) Nhân hai vế của một Bất đẳng thức a < b với cùng một số m a<b



<>
><

0,
0,
mmbma
mmbma
7) Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều ta đợc
một Bất đẳng thức cùng chiều: 0 <a<b, 0<c<d

a.c<b.d
8) a> b >0

a
n


Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trớc.
III - Một số Bất đẳng thức cân nhớ:
1) A
2k

0 với mọi A, Dấu"=" xảy ra khi A=0
2)
AA ,0
Dấu "=" xảy ra khi A=0.
3)
AAA
4)
BABA ++
Dấu "=" xảy ra khi A.B

0
5)
BABA
Dấu "=" xảy ra khi A.B

0 và
BA

-4-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Chú ý:
- Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các Bất đẳng thức đúng khác mang
tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý.
- Khi chứng minh song Bất đẳng thức a

Các k năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng
thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài:
3-Bài tập áp dụng
Bài 1- Chứng minh Bất đẳng thức a
2
+b
2

ab
Giải
-5-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Xét hiệu: a
2
+b
2
- ab = (a
2
+
4
1
b
2
-
2
1
.2
ab)+
4
3

2
=
4
3
b
2
=0 suy ra a =
b = 0
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Chứng minh tơng tự cho Bài a
2
+b
2

ab
Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát: (a
n
)
2
+(b
n
)
2

nn
ba .
Bài 2 - Cho ba số a, b, c thoả mãn 0<a

b


b
a
++=++
)]()()[(
1
222222
acbcbaabcbca
abc
++=
=
abc
1
[c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c
2
(a-b)]=
abc
1
(a-b)[c(a+b)-ab-c
2
]
=
abc
1
(a-b)(b-c)(c-a)

0 (do 0<a

b

c )

4
1
(ax+ay+by+bx-2ax-2by)
=
4
1
[(ay-ax)+(bx-by)]=
4
1
(x-y)(b-a)

0 ( do x

y và a

b )
Dấu "=" xảy ra khi x=y hoặc a=b
Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh
Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức:
33
.
3
czbyaxzyxcba ++

++++
Bạn đọc có thể tổng quát bài toán.
Bài 4: Cho a, b, c, d ,e là các số thực chứng minh rằng:
a
2
+b

- ab-ac-ad -ae
=
4
1
( 4a
2
+4b
2
+4c
2
+4d
2
+4e
2
- 4ab-4ac-4ad -4ae)
=
4
1
[(a
2
+4b
2
+4ab)+(a
2
+c
2
+4ac)+(a
2
+4d
2

0 và (a+2e )
2

0
Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e =
2
a
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Bài 5: Tổng quát bài 4
Cho a
i
i=1,2, ,n là các sổ thực. chứng minh rằng:
Chứng minh tơng tự bài 4
4- Bài tập áp dụng:
Hãy chứng minh các Bất đẳng thức sau:
-7-

==


n
i
i
n
i
i
aa
n
a

4(x
11
+y
11
)
4/ x
1996
+y
1996
+z
1996
):( x
1995
+y
1995
+z
1995
)

(x+y+z):3
5/ (a
3
+b
3
+c
3
)

(a+b+c)(a
2

+++++
II - Ph ơng pháp 2 : Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi
tơng đơng: (Ngời thực hiện: Đào Trung Tuyến)
1) Nội dung ph ơng pháp:
Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức cần
chứng minh tơng đơng với một Bất đẳng thức đúng hoặc một Bất đẳng thức đã
đợc chứng minh hoặc điều kiện của đề bài.
2) Kiến thức cơ bản:
Các tính chất của Bất đẳng thức.
Các Bất đẳng thức thờng dùng.
Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức.
Các HĐ thức
3- Bài tập mẫu
Bài 1: Chứng minh rằng:
x
2
+2y
2
+2z
2


2xy +2yz+2z-1 (*)
Giải
(*)

x
2
+2y
2

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh.
Bài 2 : Chứng minh Bất đẳng thức:
(a
10
+b
10
) (a
2
+b
2
)

(a
8
+b
8
) (a
4
+b
4
)
Giải
(a
10
+b
10
) (a
2
+b


0


a
12
+ a
10
b
2
+ a
2
b
10
+ b
12
-a
12
-a
8
b
4
- a
4
b
8
-b
12



2
) -a
2
b
8
(a
2
-b
2
)

0

a
2
b
2
(a
2
-b
2
)( a
2
-b
2
)(a
4
+a
2
b

=b2

a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh.
*Nhận xét: Từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tơng tự:
Cho 0

a

b Chứng minh Bất đẳng thức:
(a
5
+b
5
) (a+b)

(a
2
+b
2
) (a
4
+b
4
)
Bài 3 : Chứng minh các Bất đẳng thức
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9
a) Cho a

0 (x
2
-7x +6)(x
2
-7x+6+6)+9

0
(x
2
-7x +6)
2
+6(x
2
-7x+6) +9

0 (x
2
-7x +9)
2

0
-9-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x
=> (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9
Dấu "=" xảy ra khi x
2
-7x +9 =0 x=



ab
c
2
+2c
)( ca

)( cb

+(a-c)(b-c)

0
( c-
)( ca

)( cb

)
2


0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b,c thoả mãn điều kiện của
đề bài vậy
)( cac

+
)( cbc


1
)
2
. biết a,b,c >0
Giải
Ta có
ab
1
+
cb
1
+
ac
1
=
abc
cba )( ++
. Do a, b, c >0 và (a+b)(b+c)(c+a)

8abc
=>
ab
1
+
cb
1
+
ac
1


+
cb
1
+
ac
1
)

))((
8
cbca ++
+
))((
8
caba ++
+
))((
8
cbba ++
(1)
Trong (1) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Mặt khác ta có (a+b)
2


4ab


ab
1

suy ra
ab
1
+
cb
1
+
ac
1



2
)(
4
ba +
+
2
)(
4
bc +
+
2
)(
4
ca +
(2)
Trong (2) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Từ (1) và (2) Ta có
ab

1
1
33
++ bc
+
1
1
33
++ ca


1
Giải
Do 0

a

b

c => (a-b)
2
(a+b)

0 Dấu "=" xảy ra khi a=b
(a-b)(a+b)(a-b)

0
(a
2
-b

2
b+ab
2
+abc a
3
+b
3
+1

(a+b+c)ab

1
1
33
++ba



)(
1
cbaab ++
=
)( cba
c
++
(do abc= 1 =>
c
ab
=
1


)( cba
b
++
Dấu "=" xảy ra khi a=c
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
1
1
33
++ba
+
1
1
33
++ bc
+
1
1
33
++ ca


1
-11-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c =1
4 - Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho 0

x,y,z

z


2
Bài 2: Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của tam giác, có chu vi bằng 2. Chứng
minh rằng: a
2
+b
2
+c
2
+2abc < 2
Bài 3: Chứng minh với mọi x, y >
2
ta có:
x
4
- x
3
y +x
2
y
2
-xy
3
+y
4
>x
2
+y

a)

3
3-
1+bc
a
+
+
+1ac
b
1+ba
c


2
III - Ph ơng pháp 3: Dùng tính chất của tỉ số
(Ngời thực hiện: Đào Thuỷ Chung)
1- Nội dung phơng pháp:
Khi vận dụng các tính chất của tỷ số thì việc chứng minh Bất đẳng thức trở
nên rất nhanh và gọn.
2- Kiến thức cần vận dụng:
- Với ba số dơng a,b.c
Nếu
b
a


1 Thì
b
a

c



b
a



db
ca
+
+



d
c
Dấu "=" xảy ra khi ad=bc
3- Bài tập mẫu:
-12-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Bài 1: Cho a,b, c là số đo ba cạnh của tam giác:
Chứng minh rằng:1<
cb
a
+
+
ca
b

2



ba
c
+
<
cba
c
++
2
Chứng minh tơng tự ta có:
ca
b
+
<
cba
b
++
2
và
bc
a
+
<
cba
a
++
2

cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
>
cba
a
++
+
cba
b
++
+
cba
c
++
=1 Do a, b, c d-
ơng
Vậy 1<
cb
a
+
+

aaa
+++
+++21
21
Nằm giữa giá trị nhỏ nhất và
gí trị lớn nhất của (
1
1
b
a
,
2
2
b
a
, ,
n
n
b
a
) ở đó b
i
là các số dơng i=1,2, ,n
Giải
-13-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của (


a
i

b
i
.M Do b
i
>0 với mọi i=1,2, ,n
Lần lợt cho i+ 1,2, ,n rồi cộng các vế lại với nhau ta đợc:
m( b
1
+b
2
+ +b
n
) < a
1
+a
2
+ +a
n
< M( b
1
+b
2
+ +b
n
)


1++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1+b
b
Giải
Ta chứng minh
2
1
(
1+a
a
+
1+b
b
) <
1++
+
ba
ba
Do a > 0 ta có
1+a
a




2
1
(
1+a
a
+
1+b
b
) <
1++
+
ba
ba
(1)
*) Ta chứng minh
1++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1+b
b

2
1
(
1+a
a
+
1+b
b
) <
1++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1+b
b
-14-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
4- Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng
3
2
<
2005 753
2004 642

x

b
a

n
m
chứng minh rằng
y
x

nba
max
20052004
20052004
++
++

n
m
IV - Ph ơng pháp 4 Phơng pháp phản chứng
(Ngời thực hiện: Đỗ Văn Thành)
1- Nội dung phơng pháp
Để chứng minh A

B ta giả sử phản chứng A<B rồi

điều vô lý với giả
thiết hoặc các hằng Bất đẳng thức từ đó khẳng định A


0,25 và c(1-c)

0,25
Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
-15-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
a(1-b) b (1-c) c(1-a) <0,25
3
(2) ta nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2) vậy điều
giả sử là sai suy ra: trong các Bất đẳng thức sau: a(1-b) > 0,25; b (1-c)
>0,25; c(1-a) > 0,25 có ít nhất một Bất đẳng thức sai.
Bài 2: Chứng minh rằng không có ba số x,y,z mà có thể thoả mãn đồng thời
ba Bất đẳng thức sau:
x
<
zy
,
zxy <
,
xyz <
Giải: Giả sử phản chứng cả ba Bất đẳng thức trên không có Bất đẳng
thức nào sai nghĩa là cả ba Bất đẳng thức đó đều đúng khi đó ta có:
:
x
<
zy


x
2

>
>++
>++
0
0
0
abc
cabcab
cba

Hãy chứng minh rằng: a,b,c > 0 (*)
Giải: Giả sử (*) không đúng

có ít nhất một trong các số a,b,c phải

0
Không mất tình tổng quát giả sử a

0. do abc >0

bc <0
Xét trờng hợp a

0 b>0 c<0

a+c<0
từ gỉa thiết ta có b >-a-c

b(a+c) < -(a+c)
2

b
a
>0 ta có
b
a
+
a
b
< 2


b
a
+
a
b
- 2 <0

ba
abba 2
22
+
<0


ab
ba
2
)( +
< 0 Điêù này là vô lý

Bài 4: Cho a,b,c,x,y,z là các số thực thoả mãn:



<
>
04)1(
0
2
acb
a
Chứng minh rằng trong các Bất đẳng thức sau có ít nhất một Bất đẳng
thức sai
ax
2
+bx +c

y ; ay
2
+by +c

z ; az
2
+ bz +c

x
V- Ph ơng pháp 5: Phơng pháp quy nạp;
(Ngời thực hiện: Nguyễn Văn Thành)
1) Nội dung phơng pháp;
Có rất nhiều các Bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thờng


(a
n
+b
n
):2 với a+b

0 và N

n
b)

daun
aaa
,

+++
<
2
141 ++ a
a

0
Giải
a) +) Với n =1 ta có (a+b):2

(a+b):2 đúng
+) Giả sử Bất đẳng thức đúng với n=k tức là [(a+b):2]
k


+b
k
) (a+b)

2(a
k+1
+b
k+1
)

a
k+1
+b
k+1
+a
k
b+ab
k

2(a
k+1
+b
k+1
)

a
k+1
+b
k+1
-a


-b

a


b


a
k

b
k
a
k
- b
k

0

* đúng
Chứng minh tơng tự cho trờng hợp a

0

b ta đợc * đúng
-18-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Do a+b


Ta có:
141 ++ a
>1 +2
a
>2
a
đúng

a
+ Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k tức là:


dauk
aaa
,

+++
<
2
141 ++ a
a

0
+ Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với

k+1 tức là



+++
x
k+1
=

dauk
aaa
),1(

++
+++
=
k
xa
+

Ta chứng minh
k
xa
+
<
2
141 ++ a
a

0

(
k


Đúng do giả thiết quy nạp

Bất đẳng thức đúng với n = k+1.
+ Vậy

daun
aaa
,

+++
<
2
141 ++ a
a

0
Bài 2: cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông, c là độ dài cậnh
huyền của tam giác đó chứng minh rằng:
b
2n
+a
2n


c
2n
Giải:
+ Với


2k
. c
2


(a
2k
+b
2k
)(a
2
+b
2
) =a
2k+2
+ a
2k
. b
2
+b
2k
a
2
+b
2k+2


a
2k+2
+ b

Giải:
Trớc hết ta chứng minh 3
n

n
3
*

n, Z
+


n bằng quy nạp.
+ Với n =1: ta có 3

1 * đúng
+ Với n =2: ta có 9

8 * đúng
+ Với n =3: ta có 27

27 * đúng
+ Với n = 4: ta có 81

64 * đúng
Giả sử Bất đẳng thức * đúng với n =k

4 tức là 3
k


+k
2
(k-3) +k(k
2
-3) -1 > (k+1)
3
do k

4 nên k
2
(k-3) +k(k
2
-3) >1

3
k+1
> (k+1)
3


Bất đẳng thức * đúng với n = k+1
Vậy 3
n

n
3

n, Z
+



n
- Với m là số tự nhiên
- Nếu m

n


n
m



n
n



n
m



3
3
- Nếu m

n




3 ta có 2
n
>2n +1
b) Chứng minh 1.2.3 .n < 2
-n.
(n+1

)n
c)

n

1, Chứng minh:
d) 1+
212
1

3
1
2
1
++++ n
n
Bài 2: Chứng minh các Bất đẳng thức sau:
a) 2
n+2
>2n+5

n

nên khi giải Bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của
-21-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Bất đẳng thức ta phải sử dụng cả các tính chất khác trong hình học
đặc biệt là Bất đẳng thức trong tam giác.
2- Các kiến thức cần vận dụng:
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì ta có
- a, b, c >0
- |a-c| < b <a+c ; |b-c| < a <b+c và |c-a| < b < a+c
- Một số quan hệ khác trong tam giác:
3- Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác chứng minh rằng
(a+b+c)
2


9bc. Biết a

b

c
Giải:
Ta có a+b+c

2b+c do a

b Ta đi chứng minh (2b+c)
2




0 (2)
ta thấy b

c

b-c

0 và 4b-c

a+b-c +2b

0

(2) đúng
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh.
Bài 2: cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác hãy chứng minh rằng:
a
2
+b
2
+c
2
< 2 (ab+bc+ca)
Giải:
Do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác nên ta có:
0<a<b+c

a
2

2
+ b(c-a)
2
c(a-b )
2
> a
3
+ b
3
+

c
3

a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
c(a-b )
2
- a
3
- b
3
- c
3
> 0
-22-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS


- b
2
+2ab) > 0

(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b) >. 0 đúng
do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một ram giác
Vậy a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác ta có:
a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
c(a-b )
2
> a
3
+ b
3
+

c
3
4- Bài tập áp dụng:
Bài 1 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng:
a
2
(b+c)+ b
2
(+-a) +c
2
(a+b ) >2abc + a

2
+ 2a
2
c
2
-a
4
-b
4
-c
4
> 0
VII - Ph ơng pháp 7: Phơng pháp làm trội:
(Nguyễn Ngọc Chiến)
1- Nội dung phơng pháp:
Dùng các tính chất của Bất đẳng thức để đa một vế của Bất đẳng thức về dạng
tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn tức là biến
Tổng S
n
= u
1
+ u
2
+ + u
n
=(a
1
-a
2
) + (a

Kỹ năng biến đổi tơng đơng
3- Bài tập mẫu:
Bài 1: cho các số tự nhiên phân biệt u
1
, u
2
, ., u
n
khác >1
-23-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Chứng minh rằng: (1-
1
2
1
u
)(1-
2
2
1
u
) (1-
n
u
2
1
). > 0,5
Giải:
không mất tính tổng quát giả sử 2


) > (1-
2
2
1
)(1-
2
3
1
) (1-
2
)1(
1
+n
)
=(1-
2
1
)(1-
3
1
) (1-
)1(
1
+n
)(1+
2
1
)(1+
3
1

+
n
>0,5
Vậy (1-
1
2
1
u
)(1-
2
2
1
u
) (1-
n
u
2
1
). > 0,5
Nhận xét ở đây ta thay các u
i
bởi các i+1 để đợc giá tri nhỏ hơn VT
vì u
i
> i +1
Bài 2 Chứng minh rằng

n tự nhiên ta có
)2 (8.6.4.2
)12 (7.5.3.1

12
12

+
n
n
Lần lợt thay n= 1,2,3, rồi nhân vế với vế của các Bất đẳng thức đó ta đ ợc:
)2 (8.6.4.2
)12 (7.5.3.1
n
n
<
12
1
+n
(Đfcm)
Bài 3 Cho h
n
=1+
3
1
+
5
1
+ .+
12
1
n
Chứng minh rằng


=

2
)12(
1
k
hn
kk
h
n
hk )
12
1
)(12(
1
1

+


<
1
1
k
h
-
k
h
1
(Do h

hn
< 1+ (
1
1
h
-
2
1
h
) +(
2
1
h
-
3
1
h
)+ +(
1
1
k
h
-
k
h
1
)

1
2


1
2
1
h
+
2
2
3
1
h
+
3
2
5
1
h
+ .+
2
)12(
1
n
hn
< 1+
1
1
h
=2
Vậy
1

)1(
1
1
+
+
n
+ +
2
)(
1
1
kn +
+
<
n
nkn 1++
Giải:
Trớc tiên ta chứng minh Với ba số x,y,z thoả mãn x+y+z =0 ta có:
222
111
zyx
++
=
zyx
111
++
* Thật vậy:
Xét (
zyx
111

2
1
y
+
2
1
z
+2(
xy
zyx ++
)=
2
1
x
+
2
1
y
+
2
1
z

222
111
zyx
++
=
zyx
111