Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
A - phần mở đầu
I- Lý do chọn đề tài
1- Cơ sở khoa học:
Nh chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững đ-
ợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vào các
môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa toán học còn là cơ sở
của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong
nhà trờng phổ thông, nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng
tạo, để tạo ra những phơng pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết các bài
toán.
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toán học từ
tiểu học đến trung học. Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức
không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho
nhiều môn học khác nh hoá học, vật lý, tin học. Đặc biệt việc phát triển t duy
sáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học. Nhng vấn đề đặt ra cho mỗi
giáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung v Bất
đẳng thức nói riêng.
Trong quá trình dạy toán ở THCS, qua kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi
tài liệu nhóm chúng em đã hệ thống đợc một số phơng pháp giải Bất đẳng thức
mà chúng em thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh có nh vậy
học sinh mới giải đợc toán Bất đẳng thức góp phần phát triển t duy toán học, tạo
điều kiện cho việc học toán ở THCS và học các môn học khác.
2- Cơ sở thực tiễn:
Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó. Nhiều
học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng pháp
giải toán Bất đẳng thức nh thế nào. Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có
nhiều trong chơng trình THCS, nhng không đợc hệ thống thành những phơng
-1-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
pháp nhất định, gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp, khi giải toán Bất đẳng

số a nhỏ hơn số b, ký hiệu là: a < b nếu a - b < 0
II - Tính chất:
1) a > b

b < a
2) a < b, b < c

a < c (tính chất bắc cầu)
3) a < b

a + c < b + c (tính chất đơn điệu)
4) a < b, c < d

a + c < b +d (Cộng hai vế của một Bất đẳng thức
cùng chiều ta đợc một Bất đẳng thức cùng chiều với chúng)
5) a < b, c > d

a - c < b - d (trừ hai Bất đẳng thức ngựoc chiều ta
đợc một Bất đẳng thức có chiều là chiều của Bất đẳng thức bị trừ)
6) Nhân hai vế của một Bất đẳng thức a < b với cùng một số m a<b



<>
><

0,..
0,..
mmbma
mmbma

với
0 < a <1
10) Ngịch đảo hai vế của một Bất đẳng thức ta đợc một Bất đẳng thức
đổi chiều: a

b

ba
11

Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trớc.
III - Một số Bất đẳng thức cân nhớ:
1) A
2k

0 với mọi A, Dấu"=" xảy ra khi A=0
2)
AA

,0
Dấu "=" xảy ra khi A=0.
3)
AAA

4)
BABA
++
Dấu "=" xảy ra khi A.B

0

n
ji
n
i
n
i
<+=

===
;.2)(
2.,1,
2
1
2
1
Các k năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng
thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài:
3-Bài tập áp dụng
Bài 1- Chứng minh Bất đẳng thức a
2
+b
2

ab
Giải
Xét hiệu: a
2
+b
2
- ab = (a

b)
2

0;
4
3
b
2

0 Dấu "=" xảy ra khi (a-
2
1
b)
2
=
4
3
b
2
=0 suy ra
a = b = 0
-4-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Chứng minh tơng tự cho Bài a
2
+b
2

ab

Xét hiệu:
)(
1
222222
acbacbbcabca
abcb
c
c
a
a
b
a
c
c
b
b
a
++=++
)]()()[(
1
222222
acbcbaabcbca
abc
++=
=
abc
1
[c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c
2
(a-b)]=

+

++
Giải
Xét hiệu:
22
.
2
byaxyxba
+

++
=
4
1
(ax+ay+by+bx-2ax-2by)
=
4
1
[(ay-ax)+(bx-by)]=
4
1
(x-y)(b-a)

0 ( do x

y và a

b )
Dấu "=" xảy ra khi x=y hoặc a=b

2
+d
2
+e
2
- a(b+c+d +e) = a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
- ab-ac-ad -ae
=
4
1
( 4a
2
+4b
2
+4c
2
+4d
2
+4e
2
- 4ab-4ac-4ad -4ae)

2
]

0
Do (a+2b)
2


0 và (a+2c)
2


0 và (a+2d)
2

0 và (a+2e )
2

0
Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e =
2
a
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh.
Bài 5: Tổng quát bài 4
Cho a
i
i=1,2,..,n là các sổ thực. chứng minh rằng:
Chứng minh tơng tự bài 4
4- Bài tập áp dụng:

1996
+y
1996
+z
1996
):( x
1995
+y
1995
+z
1995
)

(x+y+z):3
5/ (a
3
+b
3
+c
3
)

(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
): a,b,c >0
6/ Cho các số dơng a,b,c chứng minh rằng:

n
i
i
n
i
i
aa
n
a
2
1
1
2
1
2
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
II - Ph ơng pháp 2 : Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi t-
ơng đơng: (Ngời thực hiện: Đào Trung Tuyến)
1) Nội dung ph ơng pháp:
Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức cần chứng
minh tơng đơng với một Bất đẳng thức đúng hoặc một Bất đẳng thức đã đợc
chứng minh hoặc điều kiện của đề bài.
2) Kiến thức cơ bản:
Các tính chất của Bất đẳng thức.
Các Bất đẳng thức thờng dùng.
Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức.
Các HĐ thức
3- Bài tập mẫu
Bài 1: Chứng minh rằng:
x

)+(z
2
-2z+1)


(x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-1)
2

0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh.
Bài 2 : Chứng minh Bất đẳng thức:
(a
10
+b
10
) (a
2
+b
2
)

(a
8
+b
8

) (a
2
+b
2
) - (a
8
+b
8
) (a
4
+b
4
)

0


a
12
+ a
10
b
2
+ a
2
b
10
+ b
12
-a

b
8


0

a
8
b
2
(a
2
-b
2
) -a
2
b
8
(a
2
-b
2
)

0

a
2
b
2

)
2
(a
4
+a
2
b
2
+b
4
)

0 đúng với mọi a, b
Dấu "=" xảy ra khi a
2
=b2

a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh.
*Nhận xét: Từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tơng tự:
Cho 0

a

b Chứng minh Bất đẳng thức:
(a
5
+b
5
) (a+b)

ab

Giải
a) Nhận xét: Ta thấy 3+4=1+6 nên ta nhân (x-1)( x-6) và (x-3)(x-4 )
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9 (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9

0
(x
2
-7x +6)(x
2
-7x+12)+9

0 (x
2
-7x +6)(x
2
-7x+6+6)+9

0
(x
2
-7x +6)
2
+6(x
2
-7x+6) +9


)( cbc

)
2

(
ab
)
2
c(a-c)+c(b-c) +2
)( cac

)( cbc



ab
c
2
+2c
)( ca

)( cb

+(a-c)(b-c)

0
( c-
)( ca


3
+
ac
3


4 (
ba
+
1
+
bc
+
1
+
ca
+
1
)
2
. biết a,b,c >0
-8-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Giải
Ta có
ab
1
+
cb
1

1
+
cb
1
+
ac
1



))()((
)(4)(4)(4
accbba
accbba
+++
+++++

2(
ab
1
+
cb
1
+
ac
1
)

))((
8

+
tơng tự ta có
cb
1



2
)(
4
bc
+
và
ac
1



2
)(
4
ca
+

suy ra
ab
1
+
cb
1

3
+
ac
3


4 (
ba
+
1
+
bc
+
1
+
ca
+
1
)
2
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Nhận xét: Để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất
đẳng thức đúng có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đây là
một ví dụ nữa kiểu nh vậy.
Bài 5: Cho 0 < a ,b, c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau:
1
1
33
++
ba

2
-b
2
)(a-b)

0 a
3
-a
2
b-ab
2
+b
3


0 a
3
+b
3


a
2
b+ab
2
a
3
+b
3
+1

++
(do abc= 1 =>
c
ab
=
1
)
suy ra
1
1
33
++
ba



)( cba
c
++
Tơng tự ta có
1
1
33
++
bc



)( cba
a



1
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c =1
4 - Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho 0

x,y,z

1 chứng minh:
A) 0

x+y+z -xy-yz-zx

1
B) x
2
+y
2
+z
2


1+x
2
y +y
2
z +z
2
x

4
- x
3
y +x
2
y
2
-xy
3
+y
4
>x
2
+y
2

Bài 4: Cho a, b ,c là ba số tuỳ ý thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh:
1- a
2
+b
2
+c
2


1+ a
2
b +b
2
c +c

c


2
III - Ph ơng pháp 3: Dùng tính chất của tỉ số
(Ngời thực hiện: Đào Thuỷ Chung)
1- Nội dung phơng pháp:
-10-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Khi vận dụng các tính chất của tỷ số thì việc chứng minh Bất đẳng thức trở
nên rất nhanh và gọn.
2- Kiến thức cần vận dụng:
- Với ba số dơng a,b.c
Nếu
b
a


1 Thì
b
a



cb
ca
+
+
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Nếu

db
ca
+
+



d
c
Dấu "=" xảy ra khi
ad=bc
3- Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho a,b, c là số đo ba cạnh của tam giác:
Chứng minh rằng:1<
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
<2
Giải
Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có: a, b, c >0 và a+b > c; b+c > a
Và c+a >b.
Từ a+b > c

++
2
Chứng minh tơng tự ta có:
ca
b
+
<
cba
b
++
2
và
bc
a
+
<
cba
a
++
2
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc

cb
a
+
+
ca
b
+
+

+
>
cba
a
++
+
cba
b
++
+
cba
c
++
=1 Do a, b, c dơng
Vậy 1<
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
< 2 (đpcm)
Nhận xét: ở đây ta đã sử dụng tính chất:
- Với ba số dơng a,b,c
Nếu

1
1
b
a
,
2
2
b
a
, ,
n
n
b
a
) ở đó b
i
là các số dơng i=1,2,..,n
Giải
Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của (
1
1
b
a
,
2
2
b
a
, ,
n

+b
2
++b
n
) < a
1
+a
2
++a
n
< M( b
1
+b
2
++b
n
)


m <
n
n
bbb
aaa
+++
+++
....
.....
21
21

a
a
+
1
+
b
b
Giải
Ta chứng minh
2
1
(
1
+
a
a
+
1
+
b
b
) <
1
++
+
ba
ba
Do a > 0 ta có
1
+

a
a
+
1
+
b
b
) < 2
1
++
+
ba
ba



2
1
(
1
+
a
a
+
1
+
b
b
) <
1

a
và
1
+
b
b
>
1
++
ba
a
Cộng vế với vế của hai
Bất đẳng thức này ta đợc:
1
++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1
+
b
b
(2)
-12-

4- Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh rằng
3
2
<
2005...753
2004...642
++++
++++
<
2005
2004
Bài 2: Cho a, b là các số dơng thoả mãn ab =1 chứng minh rằng:

22
1
+
a
+
22
1
+
b
<
ba
ba
++
+
1
<

m
IV - Ph ơng pháp 4 Phơng pháp phản chứng
(Ngời thực hiện: Đỗ Văn Thành)
1- Nội dung phơng pháp
Để chứng minh A

B ta giả sử phản chứng A<B rồi

điều vô lý với giả
thiết hoặc các hằng Bất đẳng thức từ đó khẳng định A

B là đúng.
2- Kiến thức cần nhớ:
Các tính chất của Bất đẳng thức.
Các Bất đẳng thức có sẵn.
Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức.
Các hằng đẳng thức và hằng Bất đẳng thức.
3- Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho 0<a,b,c <1 chứng minh rằng có ít nhất một trong các Bất đẳng
thức sau sai: a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25
Giải
Giả sử cả ba Bất đẳng thức a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 đều
đúng khi đó a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25
3
(1)
Mặt khác ta có
a(1-a) = a - a
2
= 0,25 -(a
2

<
,
xyz
<
Giải: Giả sử phản chứng cả ba Bất đẳng thức trên không có Bất đẳng thức
nào sai nghĩa là cả ba Bất đẳng thức đó đều đúng khi đó ta có:
:
x
<
zy



x
2
< (y-z )
2


x
2
-(y-z )
2
<0

(x-y+z)(x+y-z) < 0
Tơng tự ta có (y-x+z)( y+x-z)<0 và (z-y+x)(z+y-x )<0
Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
[(y-x+z)( y+x-z) (x-y+z)]
2


có ít nhất một trong các số a,b,c phải

0
Không mất tình tổng quát giả sử a

0. do abc >0

bc <0
Xét trờng hợp a

0 b>0 c<0

a+c<0
từ gỉa thiết ta có b >-a-c

b(a+c) < -(a+c)
2

ac + b(a+c) < ac-(a+c)
2

ac + b(a+c) < -(-ac+a
2
+c
2
)

ac +ba +bc < -(a-0.5c)
2

a
+
a
b
- 2 <0

ba
abba 2
22
+
<0


ab
ba
2
)(
+
< 0 Điêù này là vô lý


b
a
+
a
b

2
Vậy Tổng của một phân số dơng với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2.
4-Bài Tập áp dụng:

Chứng minh rằng trong các Bất đẳng thức sau có ít nhất một Bất đẳng thức
sai
ax
2
+bx +c

y ; ay
2
+by +c

z ; az
2
+ bz +c

x
V- Ph ơng pháp 5: Phơng pháp quy nạp;
(Ngời thực hiện: Nguyễn Văn Thành)
1) Nội dung phơng pháp;
Có rất nhiều các Bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thờng
thì không thể chứng minh đợc. Thờng các Bất đẳng thức đó có dạng dãy số
hoặc những Bất đẳng thức tổng quát. Thông thờng để chứng minh các Bất
đẳng thức kiểu nh vậy ta dùng phơng pháp quy nạp.
-15-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Để chứng minh một Bất đẳng thức đúng với mọi n ,bằng phơng quy nạp
chứng ta thực hiện các bớc sau;
Bớc 1 Kiểm tra xem Bất đẳng thức đúng với

n
0


daun
aaa
,
.....
+++
<
2
141
++
a
a

0
Giải
a) +) Với n =1 ta có (a+b):2

(a+b):2 đúng
+) Giả sử Bất đẳng thức đúng với n=k tức là [(a+b):2]
k


(a
k
+b
k
):2
+) Ta chừng minh Bất đẳng thức đúng với n =k+1 Tức là:
[(a+b):2]
K+1


a
k+1
+b
k+1
+a
k
b+ab
k

2(a
k+1
+b
k+1
)

a
k+1
+b
k+1
-a
k b
b - ab
k

0

(a-b)( a
k
- b

a
k

b
k
a
k
- b
k

0

* đúng
Chứng minh tơng tự cho trờng hợp a

0

b ta đợc * đúng
-16-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Do a+b

0 nên a, b không cùng <0.
Vậy * đúng với mọi a,b thoả mãn điều kiện của đề bài.
+) Vậy Bất đẳng thức [(a+b):2]
n


(a
n

>1 +2
a
>2
a
đúng

a
+ Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k tức là:


dauk
aaa
,
.....
+++
<
2
141
++
a
a

0
+ Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với

k+1 tức là

dauk

,
.....
+++
x
k+1
=

dauk
aaa
),1(
.....
++
+++
=
k
xa
+

Ta chứng minh
k
xa
+
<
2
141
++
a
a

0



x
k
<
2
141
++
a

Đúng do giả thiết quy nạp

Bất đẳng thức đúng với n = k+1.
+ Vậy

daun
aaa
,
.....
+++
<
2
141
++
a
a

0
Bài 2: cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông, c là độ dài cậnh
huyền của tam giác đó chứng minh rằng:

+a
2(k+1)


c
2(k+1)
-17-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
Thật vậy: Ta có c
2(k+1)
= c
2k+2
=c
2k
. c
2


(a
2k
+b
2k
)(a
2
+b
2
) =a
2k+2
+ a
2k



c
2n
Bài 3 cho m,n là các số nguyên dơng. Chứng minh rằng trong các số
n
m
,
m
n
có ít nhất một số không vợt quá
3
3
Giải:
Trớc hết ta chứng minh 3
n

n
3
*

n, Z
+


n bằng quy nạp.
+ Với n =1: ta có 3

1 * đúng
+ Với n =2: ta có 9

+3k
2
+ 3k +1 +k
3
-3k
2
+k
3
-3k -1 =
=(k+1)
3
+k
2
(k-3) +k(k
2
-3) -1 > (k+1)
3
do k

4 nên k
2
(k-3) +k(k
2
-3) >1

3
k+1
> (k+1)
3


3



n
n


n, Z
+


n
- Với m là số tự nhiên
- Nếu m

n


n
m



n
n



n

m
,
m
n
có ít nhất một số
không vợt quá
3
3
.
4- Bài tập áp dụng:
Bài 1: a) Chứng minh rằng với n

3 ta có 2
n
>2n +1
b) Chứng minh 1.2.3.n < 2
-n.
(n+1

)n
c)

n

1, Chứng minh:
-18-
Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chơng trình Toán THCS
d) 1+
212
1

2n
(n!)
2


n , N
*


n
VI-Ph ơng pháp 6 Dùng Bất đẳng thức trong tam giác:
(Ngời thực hiện: Nguyễn Quang Hiền)
1- Nội dung phơng pháp
Nhiều Bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hình
nên khi giải Bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của
Bất đẳng thức ta phải sử dụng cả các tính chất khác trong hình học đặc
biệt là Bất đẳng thức trong tam giác.
2- Các kiến thức cần vận dụng:
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì ta có
- a, b, c >0
- |a-c| < b <a+c ; |b-c| < a <b+c và |c-a| < b < a+c
- Một số quan hệ khác trong tam giác:
3- Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác chứng minh rằng
(a+b+c)
2


9bc. Biết a


2
-4bc -bc+ c
2

0


4b(b-c) -c(b-c)

0

( b-c)(4b-c)

0 (2)
ta thấy b

c

b-c

0 và 4b-c

a+b-c +2b

0

(2) đúng
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh.
Bài 2: cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác hãy chứng minh rằng:
-19-