1Chuyên đề về bất đẳng thức cổ điển
Lương Hải Đăng
10T2 Trường THPT chuyên ĐHSPHN

I. LỜI NÓI ĐẦU
Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó, yêu cầu óc quan sát, linh cảm thực tế và sức sáng tạo
của người giải không gánh nặng lắm về lượng kiến thức.Chính vì thế hầu hết các kì thi
HSG thường có ít nhất 1 bài bất đẳng thức. Có thể nói hiện nay có rất nhiều phương pháp
hiện đại chẳng hạn như SOS;…. mà do chính người VN ta tìm ra. Để chứng minh bất
đẳng thức nếu sử dụng chúng thì hầu như bài nào cũng giải được. Nhưng liệu khi đi thi
chúng ta có đủ thời gian để sử dụng chúng không? Nên việc tìm ra lời giải bằng các đẳng
thức cổ điển luôn được đánh giá cao đặc biệt là đối với những người yêu bất đẳng thức.
Trong bài viết này tôi sẽ chỉ nói về hai bất đẳng thức quen thuộc: côsi (AM-GM) bunhia
(Cauchy – Schwarz) trong giải các bài bất đẳng thức đại số. Hai bất đẳng thức này tuy
nhiều ứng dụng nhưng để tìm ra chúng không phải dễ dàng. Tất cả được chỉ ra qua một
lượng đáng kể những ví dụ đa dạng, từ nhiều nguồn khác nhau, đặc biệt là những kì thi
Olympic toán hoặc trên những trang web. làm cho bài viết trở nên vô cùng sinh động.
II. HAI BẤT ĐẲNG THỨC: AM–GM; CAUCHY- SCHWARZ VÀ ỨNG DỤNG
1. Bất đẳng thức AM – GM.
Với a1, a2…; an là n số thực không âm ta có:
a1 + a2 + … + an-1 + an
³
n
n
nn
aaaa
121


(a1b1+a2+b2+ anbn)
2

Dấu “=”
Û
J số k sao cho aj = k.bj (Với J = n,1 )
*Hệ quả: (dạng cộng mẫu số)

n
n
n
n
n
xxx
aaa
x
a
x
a
x
a
++
++
³+++

) (

21
2
21

0. CMR

2
3
³
+
+
+
+
+
b
a
c
a
c
b
c
b
a
(*)(BĐT Nesbit)
Cách 1:
BĐT: (*)
Û

1 1 1
( ) ( ) ( ) 0
2 2 2
a b c
b c c a a b
- + - + - ³

b c c a a b a b b c c a
- - -
+ + ³ +
+ + + + + +Cách 2:
2 2 2 2
( )
( ) ( ) ( ) 2( )
a b c a b c a b c
b c c a a b a b c b c a c a b ab bc ca
+ +
+ + = + + ³
+ + + + + + + +

(Cauchy – Schwarz dạng Engel)
Mà :
)(2
)(
2
cabcab
cba
++
++
Û³
2
3
2(a
2

a

³
0

Þ

c
b
a
+
³

4
1
.
1
1
8
+
+
-
+
c
b
a
cb
a
=
)(4

+ +

Cộng ba bất đẳng thức lại thì ta có:
b
a
c
a
c
b
c
b
a
+
+
+
+
+

³

2
3
)(4
)8()8()8(
=
++
-
-
+
-

+ +

· Lời giải:
4

*Nhận thấy dấu ‘=’ ó a=b=c
Đối với những bất đẳng thức hoan’ vị:
a
c
c
b
b
a
++ thì ta cần phải sử dụng bất đẳng
thức phụ để đưa về đối xứng thì việc giải quyết sẽ dễ dàng hơn J.
*Dự đoán.Nếu có:
a
c
c
b
b
a
++
3
a b c
abc
+ +
³ (cũng có dấu ‘=’ ó a=b=c)

Thì theo AM – GM :

+
.
Thật vậy: nếu sử dụng bất đẳng thức AM – GM thì ta có:
3
3
. . 3
3
. .
x x y x x y x
y y z y y z
xyz
+ + ³ = .
Tương tự:
y y z
z z x
+ +

³

3
3
xyz
y
;
y
x
x
z
x
z

z
y
y
x
+++
³
2 +
3
)(2
xyz
zyx
+
+
(*)
* Bất đẳng thức (*) sau khi khai triển ta được:
(
x
z
z
y
y
x
++ ) + (
y
z
x
y
z
x
++ )

+ ³
+ +

*Nhận thấy:
3 3 3
2 2 2
1; 1
3
a b c ab bc ca
abc a b c
+ + + +
³ £
+ +
nên chúng ta thường nghĩ ngay đến việc
sử dụng SOS.
Chú ý:
3 3 3 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )
3 [(a-b) ( ) ( ) ]
2
1
[(a-b) ( ) ( ) ]
2
a b c
a b c abc b c c a
a b c ab bc ca b c c a
+ +
+ + - = + - + -
+ + - - - = + - + -

a b c ab bc ca a b c ab bc ca
abc a b c abc a b c
+ + + + + + + +
+ ³
+ + + +
(Am-Gm)
Mà:
3 3 3 2 2 2 2
( )( ) ( )
a b c a b c a b c
+ + + + ³ + + (CS)
Và:
2
( ) 3 ( )
ab bc ca abc a b c
+ + ³ + +

Phép chứng minh hoàn tất J
Không dừng lại ở đó chúng ta còn có:
3 3 3
2 2 2
2 3
3
n
a b c ab bc ca
abc a b c
+ + + +
+ ³
+ +
với mọi n nguyên dương.

2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2 3
( )
1
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a a a b a b
+ +
+ + ³ ³
+ + + + + + + +
å å å

Nhưng
2 2 2 2
4 2 2 3
( )
1
a b c
a a b a b
+ +
³
+ +
å å å
thì lại không đúng nên ta sẽ phải tìm cách khéo
léo hơn để sử dụng được CS.
*Lời giải:
BĐT: (*)
Û

2
2

*Đến đây ta sẽ đổi biến đặt

'; '; '
b c a
x y z
a b c
= = =
thì ta có:x’.y’.z’=1.
Nếu đổi biến 1 lần nữa cho: x=
2 2 2
; ;
yz zx xy
y z
x y z
= = để xem dung CS dạng Engel còn
được nữa không.

Thì BĐT về dạng:

4
4 2 2 2
x
x x yz y z
+ +
å

³
1
Áp dụng BĐT CS dạng Engel ta được:
7

)( zyx ++
³

å
+
4
x
å
+++ )(
22
zyxxyzyxÛ
å
22
yx

³
xyz (x + y + z)

Û

[
]
222222
)()()(
2
1
xzyzyxyxz -+-+-

³
1
Cùng với cách tương tự trên ta có với x, y, z > 0, xyz = 1.

1
1
2
+
+
x
x
+
1
1
2
++ yy
+
1
1
2
+
+
z
z

³
1
(Võ Quốc Bá Cẩn, Vascle Cutoaje)
Bài toán 5: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3
CMR:

2

Nên: 3 (b + ca)
£
(a + b + c) b + c
2
+ a
2
+ ca = a
2
+ b
2
+ c
2
+ ab + bc + ca.
8

Vậy:
2
a bc
ac b
+
+
+
2
b ca
c ab
+
+
+

Cách 1:
Đặt: ; ;
1 1 1
x y z
a b c
x y z
= = =
- - -
khi đó từ giả thiết xyz=1 nên:
( 1)( 1)( 1)
abc a b c
= - - -
suy ra được
1
a b c ab bc ca
+ + - - - =
.
Mà bài toán bây giờ trở thành chứng minh:
2 2 2
a b c
+ +
³
2(
a b c ab bc ca
+ + - - -
)-1
ó
2
( 1) 0
a b c

+
2
2
)( ac
c
-

³
1
Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz.
VT:
[
]
222222
)()()()()()( bcacabcbcaba -+-+ + ³

[
]
2
)()()( bccabbcaa -+-+-

9

Đặt m = (a-b) (a-c); n (b-c) (b-a); p = (c – a) (c-b)
Hiển nhiên
Þ
mn + np + mp = 0

Nhìn vào bài toán thì nhiều người sẽ sử dụng ngaySOS .
ó
2 2 2
5
( ) 0
2
a ab bc ca
b c a b c
+ +
- + ³
+ + +
å

Với chú ý là:

2
3 ( )
2 2( )( )
a a b
b c c a c b
-
- =
+ + +
å å

Và:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
1

+ +
å
0
³

Đến đây việc đánh giá của chúng ta không còn đơn giản như bài toán 4 nữa.
Đặt
2 2
( )( )
c
ab bc ca a b
S
c a c b
+ + - -
=
+ +
;
2 2
( )( )
b
ab bc ca a c
S
b a b c
+ + - -
=
+ +
;
2 2
( )( )
a

S
b a b c
+ - + -
= ³
+ +
(2)
2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2
2 2
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )
( )( )( ) ( )( )( )
b c
a b c a b c abc b c a b bc c a b c abc b c
b S c S
a b b c c a a b b c c a
+ - + + + - + - + + +
+ = ³ ³
+ + + + + +
(3)
Ta đang cần chứng minh:
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0
c b a
S a b S a c S b c
- + - + - ³
(*)
Mà:
a c b
a b c
-
³

³

ó
2
2 2 2 2 2 2
1 ( )
2 2( )
b c a ab bc ca a b c
b c a b c a b c
+ - + + + +
³ + =
+ + + + +
å

Thật vậy:
2
( )
( )( )
b c a a b c
b c b c a b c
+ - + +
³
+ + - +
å
å

Mà:
( )( )
b c a b c
+ - +

-+
å
bc
³
a + b + c
Cách 1: BĐTó
( )( )
a
a b a c
b c a
- -
+ -
å
+
2
( ) ( )
( )( )
a b ab a b c
b c a c a b
- + +
+ - + -
å
³
0
Theo voirn_shur :
( )( )
a
a b a c
b c a
- -

å

³
4 (x + y + z).
Theo Cauchy – Schwarz thì:
))(( zxyx ++

³

yzx +

Nên ))((
2
zxyx
x
zy
++
+
å
x
yzxzy ))(( ++
³
å
= 2 (x + y + z) +
x
yzzy )( +
å

Theo AM – GM:
x

Tta cũng có bài toán chặt hơn sau:

2 2 2
3( )
a
bc a b c
b c a
³ + +
+ -
å

*Nhận xét: BĐT trên cũng chỉ sử dụng hai bất đẳng thức quen thuộc.Các
bạn có thể thử nhé J! Sau một số ví dụ trên chúng ta cũng thấy phần nào sức
mạnh của hai bất đẳng thức cổ điển làm cho lời giải trở nên rất đẹp !
Tiếp theo chúng ta sẽ đến bài toán từ mathlinks.ro đã thể hiện sự nghệ thuật khi
sử dụng CS.
Bài toán 9:Cho a;b;c là các số thực dương.CMR:
2 2 2
3( )
2 2 2a
a b c a b c
a b b c c
a ab bc b bc ca c ca ab
+ + ³ + +
+ + +
+ + + + + +

Lời giải:
2
2

3 (2 ) 6
2
3 2 6
2
a a a b
a b a ab bc
a a bc
a b a ab bc a ab bc
+
+ - ³
+ + +
+ + ³
+ + + + +
å å
å å å

Mà theo CS chúng ta có những bất đẳng thức sau:
2
2
( )
1
2 2
a a b c
a b a ab
+ +
³ =
+ +
å
å å


2
( 2 )
( )( )
2
a a a b
a b a ab bc
+
+ + +
å å
như thế này? Có nhiều người sẽ nghĩ
đây là 1 điều huyền bí chăng ? Nhưng chẳng có gì sự “huyền bí” gì ở đây cả vì ta
thấy vế trái
2
a
a b
+
å
nên ta sẽ tìm cách tách vế phải để tao dạng giống vế trái trái
khi đó việc chứng minh sẽ dễ dàng hơn J. Ngoài ra chúng ta còn có bài toán chặt
hơn sau (cũng chỉ sử dụng CS):
2
2
2 1
2
a a
a b a ab bc
³ +
+ + +
å å



3
2 2
( )
6
a c
a
a ac c
+
£
+ +

Nên ta cần chứng minh:
3
2 2
( )
3
6a
a b
a b
a b b
+
+ + £
+ +

Chúng ta sẽ chứng minh bđt chặt hơn sau:
3
2 2
2 2
( ) 3

ó
2 2 2 2
2( ) 16a ( ) 2( )
a b b a b a b
+ + ³ + +
Theo CS thì ta có:
2 2
( ) 2( )
a b a b
+ £ +
2 2 2 2
( ) 2( ) 2( )
a b a b a b
+ + £ +
Phép chứng minh hoàn tất J
Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự ta có bài toán rất đẹp sau:
3 3 3 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 6( )( )
6a 6 6 3( ) 2( )
a b b c c a a b c a b c
a b b b bc c c ca a a b c ab bc ca
+ + + + + + +
+ + £
+ + + + + + + + + + +

Với a;b;c là các số thực không âm.
4.Sáng tạo bất đẳng thức bằng cách sử dụng 2 bất đẳng thức cổ điển.
Bài toán 11: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3
a (a-b) (a-c) + b(b-a) (b-c) + c(c-a) (c-b)

2
) – c (a
2
– ab + b
2
)
= a
3
+ b
3
+ c
3
-
c
b
cba
+
+ )(
33
-
a
c
acb
+
+ )(
33
-
b
a
bac

accb
babaab
++
-+
+
))((
))((
2
bcac
cbcbbc
++
-+
+
))((
))((
2
cbba
acacca
++
-+

=
))()((
)()()(
2222222
accbba
accacbbcbaab
+++
-+-+-


222
)( -
+
b
ac
222
)( -

c
b
a
ba
++
-
³
)(4
22Þ
Đpcm.
*Đây là 1 trong những cách sáng tạo bất đẳng thức khá phổ biến là làm mạnh 1
bất đẳng thức. Sử dụng CS để sáng tạo chúng thì việc tìm ra lời giải không dễ như
là làm chặt bằng Am-Gm qua bài toán 1 J
NX: Bất đẳng thức này rất hay và khác hơn bất đẳng thức shur.
*BĐT shur của chúng ta là:
a (a-b) (a-c) + b (b-a) (b-c) + c (c-a) (c-b)
³
0
Bài toán 12: (Lương Hải Đăng).


9
8
(a + b + c) (ab + bc + ca) và từ dấu ‘=’ó a=b=c=1.Thì ta suy ra
được:
c
b
a
accbba
++
+
+
+
))()((

³

c
b
a
cabcabcba
++
++++ ))((
9
8
=
9
8
(ab + bc + ca)
Đến đây ta sẽ dùng Am-Gm để chế tiếp J.Nên chúng ta phải cộng thêm 1 lượng


16Þ

2222
)(
24
accbba ++

³

ca
bc
ab
++
8

Mà: (a + b) (b + c) (c + a)
³

9
8
(a + b + c) (ab + bc + ca)

Û
ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a)
³
6abc

9
8
=
9
8
(ab + bc + ca)
Nên theo AM – GM:
9
8
(ab + bc + ca) +
ca
bc
ab
++
8
13
6
³

Þ
Đpcm.
Bài toán 13: Cho a, b, c > 0. CMR:

2 2 2 2 2 2
2 2 2 3
3( )( )( )
8( )
a b b c c a
a b c
+ + +

++
++

³

2222
2
)(9
)(
cba
cabcab
++
++
(Cauchy –
Schwarz).
Đặt x = ab + bc + ca
Þ

222
cba ++ = 1 – 2x
Þ
0
£
x
£

3
1

Nên ta chỉ cần chứng minh:

3x – 1
³
0
Và : 64x
2
+ 9 = 81x
2
+ 9 – 17x
2

³
54x – 17x
2
(côsi hay AM – GM)
Nên (24x
2
– 64x
2
+ 45x – 9)
³
24x – 54x + 17x
2
+ 45x
= 24x
3
– 9x + 17x
22

(x + y + z) (xy + yz + zx) mà thôi rồi đưa về 1 biến để
chứng minh J. Bài toán 14: (MIC vòng 1)
Cho a, b, c không âm và không có 2 số nào cùng bằng 0. CMR:
A =
22
2
c
bc
b
bca
+
-
+
+
22
2
a
ca
c
cab
+
-
+
+
22
2
b

ab
Và: b
2
– bc + c
2
= b
2
+ c (c – b)
£
b
2
; c
2
– ca + a
2

£
a
2

18

Nên A
³
2
2
b
a
+
2

b

³

1
2
-
a
bÞ
A
³
(
1
2
-
b
a
) +
)1
2
( -
a
b
+
22
b
ab


Þ
Bài toán được giải quyết.
Cách 2:
Sử dụng bất đẳng thực CS thì ta có
VT
2 2 2 2
2 2 2
( )
( )( )
a bc b ca c ab
a bc b bc c
+ + + + +
³
+ - +
å

Ta cần chứng minh:
2 2 2 2
2 2 2
( )
3
( )( )
a bc b ca c ab
a bc b bc c
+ + + + +
³
+ - +
å


bca
+
-
+
+
22
2
a
ca
c
cab
+
-
+
+
22
2
b
ab
a
abc
+
-
+

³
3+
2
3
2 2 2 2 2 2

3
+ b
3
+ c
3

³
a cb + + b ac + + c ba +
(JBMO 2002)
2. Cho a, b, c; x, y, z > 0 và x + y + z = 1. CMR:
ax + by + cz + 2 ))(( cabcabzxyzxy ++++
£
a + b + c
(Ukrame, 2001)
3.
22
3
c
bc
b
a
+
-
+
22
3
a
ca
c
b


³
ab )(2
22
ba + + bc )(2
22
cb + + ca )(2
22
ac +
5. (Việt Nam 2002) cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 9. CMR:
2(a + b + c) – abc
£
10.
(vascle artoajre)
6. Cho a, b, c > 0. CMR:

ba
a
+
2
+
cb
b
+

2
+ b
2
+ c
2
= 3. CMR:
8(2 - a) (2 - b) (2 - c)
³
(a + bc) (b + ca) (b + ca) (c + ab).

9. Cho a, b, c
³
0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. CMR.
21

22
3
c
bc
b
a
+
-
+

+
+
+
222
d
c
a
b
+
+
+
222
d
b
a
c
+
+
+
222
c
b
a
d
+
+
)
³

d

b c
+
+
ac
b
+
+
ba
c
+

³
2
))()((
1
accbba
abc
+++
+
³

a
b a
+
+
b
c b
+

+

)(21
cba
cabcab
a
c
c
b
b
a
++
+
+
+++
³
10
(Võ Quốc Bá Cẩn)
15.Cho a;b;c>0.CMR:
a.
3
2 2
3
( )
4
a b c abc a b c
a b
abc
+ + + +
+ ³
å