Bài tập cơ bản.
Câu 1. Chứng minh rằng, nếu a>b và ab> 0 thì:
1 1
a b
<
.
Câu 2. Chứng minh rằng nữa chi vi của tam giác lớn hơn độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.
Câu 3 Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c ab ac bc+ + ≥ + +
với mọi a, b, c
Câu 4. Hãy so sánh các kết quả sau:
a.
2000 2005+
và
2002 2003+

b.
2 4a a+ + +
và
6;( 0)a a a+ + ≥
Câu 5. Chứng minh rằng, nếu a> 0, b> 0 thì:
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
.
Câu 6. Chứng minh rằng, nếu
0, 0a b≥ ≥
thì
3 3

≥
+ +
b. Chứng minh rằng với hai số tuỳ ý a và b ta có:
| | | | | |
1 | | 1 | | 1 | |
a b a b
a b a b
−
≤ +
+ − + +
Câu 11. Chứng minh rằng:
a. Nếu a, b là hai số cùng dấu thì:
2
a b
b a
+ ≥
b. Nếu a, b là hai số trái dấu:
2
a b
b a
+ ≤
Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
( ) ( 3)(5 )f x x x= + −
với
3 5x− ≤ ≤
Câu 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2
( )
1
f x x

1 4A x x= − + −
Câu 18. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có:
2 2 2 2
( ) 3( )a b c a b c+ + ≤ + +
Câu 19. Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là 4 số không âm thì:
4
4
a b c d
abcd
+ + +
 
≥
 ÷
 
Câu 20. Chứng minh rằng:
a. Nếu
2 2
1x y+ =
thì
| | 2x y+ ≤
b. Nếu 4x -3y = 15 thì
2 2
9x y+ ≥
Chuyên đề 1. Chứng minh bất đẳng thức bằng cách dùng định nghĩa
Câu 1. Cho a, b, c là ba số thực. CMR:
a.
2 2 2
a b c ab ac bc+ + ≥ + +
b.
2

( )a b ab a b+ ≥ +
2.
1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
abc
a b abc b c abc c a abc
+ + ≤
+ + + + + +
Câu 7. Cho
a, b, c 1.≥
Hãy chứng minh rằng:
1.
1 1 2
2 2
1
1 1
ab
a b
+ ≥
+
+ +
2.
1 1 1 3
3 3 3
1
1 1 1
abc
a b c
+ + ≥
+

2/
3 3 3
3
0
a b c abc
a b c
+ + −
≥
+ +
Câu 11. Cho
, , 0
2 2 2
1
x y z
x y z
>



+ + =


. Hãy chứng minh:
1/
2
2
(1 )
3 3
x x− ≤
2/

2 2
2x y+ ≤
Câu 15. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác
a b c≤ ≤
. CMR:
2
( ) 9a b c bc+ + ≤
Câu 16. Giải hệ phương trình:
4 4 1
1
x y
x y


+ ≤

+ ≥ −


Câu 17. Cho
2a b
+ ≥
. CMR:
4 4 3 3
a b a b+ ≥ +
Câu 18. Chứng minh rằng:
( )
1 2
2
1 1 16

+ + +
   
Câu 20. Cho
, 0a b ≥
. CMR:
a.
3 3 5 5 9 9
( )( )( ) 4( )a b a b a b a b+ + + ≤ +
b.
5 5 5
16( ) ( )a b a b+ ≥ +
CHỦ ĐỀ 3. Chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức côsi
Câu 1. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1.
CMR:
1 1 1
1 1 1 64
a b c
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
Câu 2. Giải phương trình:
4 2 2 4 3 6 5x y z x y z+ + + = − + − + −
Câu 3. Chứng minh rằng:
3
3
)(1 )(1 )(1 ) (1 ) ; , , 0
1 1 1
) 1 1 1 27
sin sin sin

) 9;
2 2 2
1
2 2 2
a x y z
x y z
a b c
b
a b c
a bc b ca c ab
+ + + + ≥
>

+ + ≥

+ + =

+ + +
Câu 6. Cho a, b, c > thoã mãn:
1 1 1 1
3
1 1 1 1
1
:
81
a b c d
CMR abcd
+ + + ≥
+ + + +
≤

 ÷
 
 
Câu 10. Cho
, 0a b ≥
. Chứng minh rằng:
1 1a b b a ab− + − ≤
Câu 11. Cho
, , 0a b c ≥
và a + b + c = 1. CMR:
8
( )( )( )
729
P abc a b b c c a= + + + ≤
Câu 12. Cho a, b, c > 0 thoã mãn: a + b + c = 4. CMR:
( )
3
( )( )( )a b b c c a abc+ + + ≥
Câu 13. Cho
0, 0a c b c≥ ≥ ≥ ≥
CMR:
( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤
Câu 14. Cho a, b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2
1 1
a b
S
b a
= +
− −

2
1 1 1x y z
+ + ≥
+ + +
Tìm giá trị lớn nhất của P =xyz
Câu 19. Cho hai số dương a, b thoã mãn:
1
a b
x y
+ =
với x, y > 0. Tìm x, y để: S = x + y nhỏ nhất ( tính theo a, b)
Câu 20. Cho tam giác ABC. Gọi m
a
, m
b
, m
c
lần lượt là 3 trung tuyến của tam giác xuất phát từ A, B, C. CMR:
a)
2 3
a b c
m m m
a b c
+ + ≥
b)
3 3
2
m m m
a b c
a b c

≥

CMR:
a)
3
2 2 2
2
1 1 1
x y z
x y z
+ + ≤
+ + +
b)
1 1 1 3
1 1 1 2x y z
+ + ≥
+ + +
Câu 24. Cho
, 2n Z n∈ ≥
. CMR:
1 1 2
n n
n n
n n
n n
+ + − <
Câu 25. Đặt
1
1 ,
n

, 0
, :
6
2
(4 ) 4
x y
CMR
x y
x y x y
≥


+ ≤

− − ≤

Câu 28. Cho a, b, c, d >0. CMR:
2 2 2 2
1 1 1 1
5 5 5 5 3 3 3 3
a b c d
b c d a a b c d
+ + + ≥ + + +
Câu 29. Cho a, b, c, d > 0. CMR:
a b c a b c
a b b c c a b c c a a b
+ + < + +
+ + + + + +
Câu 30. Cho:
x,y,z>0


CMR:
4
( 1)( 4)( 2)( 3)
1
4
a b c d
a b c d
+ + − −
≤
+ + +
Câu 32. Cho a, b, c > 0. CMR:
1 1 1 1 1 1
4 4 4 2 2 2a b c a b c b c a c a b
+ + ≥ + +
+ + + + + +
Câu 33. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR:
a)
1 1 1 8
a b c
b c a
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
b)
2 2 2
3
1 1 1 2
a b c

= + >
Câu 36. Tìm giá trị nhỏ nhất lớn nhất của:
2
) os (1 sinx)
3
b)y=sin (1 osx)
a y c x
x c
= +
+
Câu 37. Cho a, b, c> 0. CMR:
( )
6
2 3
) 2 3 6 (6 ) (6 )
)( )( )( )( ) 16
a a b c a b c
b a b b c c d d a abcd
+ + ≥
+ + + + ≥
Câu 38. Cho
( ) ( )
4 4
10, 1 1a b P a b+ = = + +
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
b) Cho thêm điều kiện
0ab ≥
Tìm giá trị lớn nhất của P.
Câu 39. Cho
2, 3, 4a y z≥ ≥ ≥

2
h h h h h h p
a b b c c a
+ + ≤
b)
1 1 1
1
1 2 osA+4cosAcosB 1 2 osB+4cosBcosC 1 2 osC+4cosCcosAc c c
+ + ≥
+ + +
Câu 42. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c có a + b + c = 2. CMR:

52
2 2 2
2
27
a b c abc+ + + ≥
Câu 43. Cho x, y, z > 0. CMR:
2 2 2 3 3 3
x y y z z x x y z+ + ≤ + +
Câu 44. Cho a, b >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
( )( )
, 0
x a x b
A x
x
+ +
= >
Câu 45. Cho a
1

 ÷ ÷
  
 
(Thêm điều kiện a
1
+ a
2
+a
3
+ ….+ a
n
=1)
Câu 46. Cho
, 2n Z n∈ ≥
. CMR:
1
1
n
n
n
+ >
Câu 47. CMR:
1
, 0
2
a
a a> ∀ >
Câu 48. Cho a, b, c, d > 0. CMR:
2
2 3 2 3 2 3 2 3 3






=+++
=+++
dcbaCMR
dcba
dcba
Câu 4. Cho a, b, c > 0. CMR:
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
Câu 5.Cho
1
22
=+ ba

=
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
cba
B
+
+
+
+
+
=
1
1
1
1
1
1
Câu 7. Cho:





≥∈
=+++
2,
3
2

2
2

01
234
=++++ axbxaxx
có nghiệm thì:
5
4
22
≥+ ba
Câu 10.
0,, >
γβα
là 3 nghiệm của phương trình:
0
223
=+++ dcxbxax

)0( ≠a
. CMR:
5
81
23
777
a
cb
−≥++
γβα
Câu 11. Cho a, y, z > 0 và xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
)(
3
1

Câu 13. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC, S là diện tích:
Nếu p, q, r >0 thì:
Sc
qp
r
b
pr
q
a
rq
p
32
222
≥
+
+
+
+
+
Câu 14. Cho a, b, c > 0. CMR:
cba
cabcab
baba
c
acac
b
cbcb
a
++
++

Câu 16. Cho:



=++
>
1
0,,
cba
cba
. CMR
3
1
33
2
1
2
1
2
1
+≥






++



30
111
222
1
≥+++
++
=
bcacab
cba
P
Câu 19.Cho x,y, z > 0.CMR:
)(3
222222
zyxxzxzzyzyyxyx ++≥++++++++
Câu 20. Cho x,y thoã mãn:
2
1
2
1
22
xyyxyx −+−=+
.CMR:
543 ≤+ yx
Câu 21. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x, y,z là khoảng cách từ M đến
BC, CA, AB. CMR:
R
cba
zyx
2
222

, b
n
. CMR:
n
bbb
n
aaa
n
b
n
a
b
a
b
a
+++
+++
≥+++

21
2
)
21
(
2

2
2
2
1

c
ac
b
cb
a
S
Câu 28. cho a, b, c
R∈
CMR:
2
23
2
)1(
22
)1(
22
)1(
2
≥−++−++−+ accbba
Câu 29. Cho a, b, c và asinx + bcosy = c. CMR:
33
2
11
2
sin
2
cos
ba
c
bab

c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++≥++
2
2
2
2
2
2
Câu 35. Cho a, b thoã mãn: 3a – 4b = 7. CMR:
7
2
4
2
3 ≥+ ba
Câu 36. Cho hai số a, b thoã mãn: 2a – 3b = 7. CMR:
47
725
2
5
2

(
222
zyx
y
xz
x
zy
z
yx
++≥++
Câu 41. Cho a, b, c > 0. CMR:
( )
( )
2
111
cbacba
cba
++≥++






++
Câu 42. Cho a, b > 0 và a +b =1. CMR:
2
25
2
1

c
bac
b
acb
a
Câu 44. Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. CMR:
1
222
≥
−+
+
−+
+
−+ cba
c
bac
b
acb
a
Câu 45. Cho a, b, c, d > 0. CMR:
2≥
+
+
+
+
+
+
+ ba
d
ad

xyyxP )( +=
Câu 48. CMR nếu phương trình:
01
234
=++++ cxbxaxx
có nghiệm thì:
3
4
222
≥++ cba
Câu 49. Cho a, b, c > 0 và asinx + bcosy=c. CMR:
33
2
11
2
sin
2
cos
ba
c
bab
y
a
x
+
−+≤+
Câu 50. CMR nếu a, b, c> 1:
)1(111 +≤−+−+− abccba
Câu 51, Cho a, b, c > 0. CMR:
cabcab