Tµi LiƯu su tÇm
Chuyên đề 7 : BẤT ĐẲNG THỨC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Số thực dương, số thực âm:
• Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0
• Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0
• Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu
0
≥
x
• Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu
0
≤
x
Chú ý:
• Phủ đònh của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề "
0≤a
"
• Phủ đònh của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề "
0≥a
"
II. Khái niệm bất đẳng thức:
1. Đònh nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức
là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
Ta có:
0a b a b> ⇔ − >
• Nếu a>b hoặc a=b, ta viết
ba ≥
. Ta có:

0b-a ≥⇔≥ ba

> ⇔ − > −
Hệ quả 2:
a c b a b c+ > ⇔ > −
3. Tính chất 3:
a b
a c b d
c d
>

⇒ + > +

>

4. Tính chất 4:
nếu c > 0
nếu c < 0
ac bc
a b
ac bc
>

> ⇔

<

Hệ quả 3:
a b a b
> ⇔ − < −
1
Tµi LiƯu su tÇm

6. Tính chất 6:
1 1
0 0a b
a b
> > ⇔ < <
7. Tính chất 7:
nn
baNnba >⇒∈>>
*
,0

8. Tính chất 8:
n
baNnba >⇒∈>>
n

*
,0
Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì :

22
baba >⇔>
Nếu a và b là hai số không âm thì :

22
baba ≥⇔≥
IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối :
1. Đònh nghóa:
nếu x 0
( x )

•
c a b c a− < < +
•
a b c a b− < < +
•
a b c A B C
> > ⇔ > >
VI. Các bất đẳng thức cơ bản :
a. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho hai số không âm a; b ta có :
2
a b
ab
+
≥
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Tổng quát :
Cho n số không âm a
1
,a
2
, a
n
ta có :

1 2
1 2

.
n

n
b b b
ta có :

2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =
với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng
c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có:
1 1 1 1
( )
4a b a b
≤ +
+

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức :
Ta thường sử dụng các phương pháp sau

x
x
x

2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp
Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng
minh.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
2 2 2
2( )+ + < + +a b c ab bc ca
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
4
5
=+ yx
. Chứng minh rằng:
3
Tµi LiƯu su tÇm

5
4
14
≥+
xx
Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:
zxyzxyzyx 53423 ++≥++
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có:
)(2
11
22
yx

≥+++++
zyx
zyx
Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng :
3
b c c a a b
a b c
a b c
+ + +
+ + ≥ + + +
3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức:
2
1cos
2
x
x −>
với mọi x > 0
Ví dụ 3 : Chứng minh bất đẳng thức:
xtgxx 2sin >+
với mọi
)
2
;0(
π
∈x
Ví dụ 4 : Với
2
0

+ c
2
= 1. CMR
abc + 2( 1 + a + b + c + ab + bc + ca) ≥ 0
Bµi 5: Cho a,b,c > 0. CMR
1) NÕu ab ≥ 1 th×
ab
ba
+
≥
+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
.
2) NÕu a,b,c ≥ 1 th×
abc
cba
+
≥
+
+
+
+

.
Bài 7: Cho a+b 0. CMR
3
33
22






+

+ baba
.
Bài 8: Cho a,b,c > 0. CMR
3
22
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a ++

+ d
2
a( b + c + d) a,b,c,d.
Bài 11.Cho x>0 CMR
2
2
1 2
(x 1) ( 1) 16
x x
+ + +
Bài 12.Cho a,b>0 CMR
a b
a b
b a
+ +
.
Bài 13.Cho a,b>0 và
1 1 2
1+a 1 b
1 ab
+
+
+
(Nhân chéo và phân tích).
Bài 14.Cho a,b,c>0 và a,b,c

1,CMR
2 2 2
1 1 1 3
1+a 1 b 1 c 1 abc

4)
ba
a
b
b
a
++
5)
33335
2
5
2
5
2
5
2
1111
dcbaa
d
d
c
c
b
b
a
++++++
6)
a
c
c






+
+






+
+






+

Bài 3: Cho x,y,z > 0 thoả mãn x + y + z = 1.
a) CMR :












+
x
3
2








+
y
3
2






+
z

+
+ ba
c
ac
b
cb
a
(BÊt ®¼ng thøc Nesbit)
b) NÕu abc = 1 th× :
( ) ( ) ( )
2
3
222
≥
+
+
+
+
+ bac
ab
acb
ca
cba
bc
.
Ba× 6.
1. Cho a,b
≥
0,CMR.
6

2 2
1 1 25
(a ) (b )
a b 2
+ + + ≥
•
2 2
1 1 25
(a ) (b )
b a 2
+ + + ≥
•
1 1 25
(a )(b )
a b 4
+ + ≥
•
1 1 25
(a )(b )
b a 4
+ + ≥
Bµi 8:Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c,CM c¸c B§T sau:
1.
1 1 1 1 1 1
b c a c a b a b c a b c
+ + ≥ + +
+ − + − + −
2.
1 1 1 1 1 1
b c a c a b a b c a b c

1.
ab bc ca a b c
a b 2c b c 2a c a 2b 4
+ +
+ + ≤
+ + + + + +
2.
1 1 1 1 1 1
a b 2c b c 2a c a 2b 4a 4b 4c
+ + ≤ + +
+ + + + + +
3.
1 1 1 1 1 1
a 3b b 3c c 3a 4a 4b 4c
+ + ≤ + +
+ + +
4.
a b c 3
2
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
+ + ≤
+ + + + + +
5.
bc ca ab 3
2
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
+ + ≤
+ + + + + +
6.
1 1 1 1 1 1 1

3
20
4
15
5
12
++≥






+






+






Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 11: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn
4

+
ca
ca
bc
bc
ab
ab
Bµi 13.(Kü tht co si ngỵc dÊu).
1. Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=3 CMR:
2 2 2
a b c 3
1 b 1 c 1 a 2
+ + ≥
+ + +
2. Cho a,b,c,d>0,CMR
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d a b c d
a b b c c d d a 4
+ + +
+ + + ≥
+ + + +
3. Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR
2 2 2 2
1 1 1 1
2
1 a 1 b 1 c 1 d
+ + + ≥
+ + + +
4. Cho a,b,c>0 tho¶ m·n a+b+c=3,CMR

1
a 2b b 2c c 2a
+ +
+ + +
8. Cho a,b,c

0 thoả mãn a+b+c=3 CMR
2 2 2
3 3 3
a b c
1
a 2b b 2c c 2a
+ +
+ + +
9. Cho a,b,c,d>0 thoả mãn a+b+c+d=4,CMR
2 2 2 2
a 1 b 1 c 1 d 1
4
b 1 c 1 d 1 a 1
+ + + +
+ + +
+ + + +
10. Cho a,b,c

0 thoả mãn a+b+c=3 CMR
2 2 2
2 2 2
a b c 3
a b b c c a 2
+ +

+ + + + + +
(Thêm(1+b)/8+(1+c)/8 )
5. Cho a,b,c,d>0 thoả mãn a+b+c+d=4,CMR

2 2 2 2
a b c d 4
b c d c d a d a b a b c 3
+ + +
+ + + + + + + +
(Thêm (b+c+d)/9 )
6. Cho a,b,c>0 CMR
3 3 3 2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + + +
(Thêm a,b,c)
7. Cho a,b,c>0 CMR
4 4 4 3 3 3
2
2 2 2
a b c a b c
(Them a )
b c a b c a
+ + + +
8. Cho a,b,c>0 CMR
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a

333
111
cba
cba
cba ++






++++

b)
( )
( )
( )
222333
3 cbacbacba ++++++
c)
( )
( )
3
333
9 cbacba ++++
Bài 2 : Cho a,b,c
4
1

thoả mãn a+b+c = 1. CMR:

22
+ ba
với 2a + 3b 7
d)
3
222
222222

+
+
+
+
+
ca
ca
bc
bc
ab
ab
với ab + bc + ca = abc
Bài 5: Cho x,y > 0. Tìm GTNN:
a) A =
yx 4
14
+
với x + y = 1
b) B = x + y với
6
32
=+

4
3
cba >+
Bài 2: CMR
11
3
2
3
++ aaaa
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức:
a) A =
2
1
2
x
x +
với x > 0 ; B =
2
1
3
x
x +
với x > 0 ; C =
( )
2
2
2
1
1
x

2
2233
+++ yxyxyx

9
Tài Liệu su tầm
Bài 5:Cho x,y,z > 0 thoả mãn xyz( x + y + z) = 1.Tìm GTNN P = (x+y)(x+z)
Bài 6: Cho a,b,c > 0.CMR:
a)
ba
c
ac
b
cb
a
ac
c
cb
b
ba
a
+
+
+
+
+
<<
+
+
+

4
+ c
6
Bài 8: Cho a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c = 1.Tìm GTNN P =
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
222
Bài 9: CMR:
a)
2222
11 yxyxyyxx +++++++
b)






+
+++++
2

1 thi
b b b c
+
< <
+
2. Nếu
a a a c
1 thi
b b b c
+
> >
+
3. Nếu cho thêm d>0 thì Nếu
a c a a c c

b d b b d d
+

+
B.Bài tập
1. Cho a,b,c>0,CMR
a b c
1 2
a b b c c a
< + + <
+ + +
2. Cho a,b,c,d>0 CMR
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b

ab ++
≤
+
+
+
+
+
b)
cba
b
ca
a
bc
c
ab
++≥++
c)
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 a 2 b 2 c 1 1 1
a b b c c a a b c
+ + ≤ + +
+ + +
11