Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Lời nói đầu
Trong những năm qua, việc bảo vệ môi trờng đã trở thành một vấn đề rất
quan trọng và đó là một vấn đề bức xúc trên phạm vi nớc ta nói riêng và trên
phạm vi toàn thế giới nói chung. Sự phát triển mạnh mẽ của các ngành công
nghiệp đã làm cho mức độ ô nhiễm môi trờng tăng lên và nó không chỉ ảnh h-
ởng tới một khu vực nào đó mà còn ảnh hởng tới cả các vùng lân cận trên một
diện rộng. Trong khi đó, các ngành công nghiệp tiếp tục phát triển không ngừng
và một vấn đề đặt ra là đặt các nhà máy công nghiệp đó ở đâu để mức độ ô
nhiễm do nhà máy đó gây ra là nhỏ nhất đối với môi trờng xung quanh.
Sự phát triển công nghiệp nhanh chóng trên toàn thế giới đã đặt ra một
bài toán cho toàn bộ loài ngời đó là giải quyết nguồn độc hại mà nhà máy công
nghiệp đó gây ra đối với hệ sinh thái và ảnh hởng trực tiếp đến con ngời. Hiện
nay nhiều thành phố trên thế giới đã ở trong tình trạng báo động về mức độ ô
nhiễm. Và càng ngày mức độ độc hại đó càng tăng do đó dẫn đến không khí bị
ô nhiễm và sức khoẻ của con ngời bị ảnh hởng nghiêm trọng. Rất nhiều nhà
khoa học đã nghiên cứu vấn đề này và đã tìm rất nhiều các phơng pháp tối u để
đặt các nhà máy công nghiệp sao cho mức độ độc hại do nhà máy công nghiệp
đó gây ra cho con ngời là nhỏ nhất. Đây là một bài toán rất phức tạp và khó giải
quyết. Một trong những công cụ toán học hữu hiệu nhất để giải bài toán đó là
dùng phơng trình truyền tải và khuyếch tán, đặc biệt là phơng trình liên hợp của
nó. Ngày nay khi khoa học phát triển rất mạnh mẽ, đặc biệt là sự ra đời của máy
tính đã hỗ trợ rất nhiều cho việc tính toán, đã giảm đợc rất nhiều khối lợng tính
toán và có độ chính xác cao hơn. Kết quả chính trong luận án là cách xác định
tối u vị trí đặt các nhà máy công nghiệp dựa trên các yêu cầu về môi trờng.
Luận án bao gồm các phần chính nh sau:
Tối u hoá - 1 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Chơng I. Cơ sở toán học
Mục đích chính của chơng này là nêu nên cơ sở toán học thuần tuý, cụ
thể là phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất trong không khí, đồng thời

I.1.4. Phơng trình truyền tải và khuyếch tán hai chiều..............20
I.2. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật
chất........................................................................................................22
I.2.1. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán
đơn giản ..........................................................................................22
I.2.2. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán
hai chiều..........................................................................................29
I.2.3. Tính duy nhất nghiệm của bài toán liên hợp......................32
I.3. Thuật toán giải phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và
khuyếch tán vật chất trong trờng hợp hai chiều...................................34
I.4. Tính ổn định của lợc đồ sai phân và tính không âm của nghiệm bài
toán........................................................................................................36
I.4.1. Tính ổn định của lợc đồ sai phân.....................................36
I.4.2. Tính không âm của nghiệm bài toán ................................38
Chơng II
Mô hình xác định đặt nhà máy công nghiệp ..................................................40
II.1. Phát biểu bài toán .........................................................................40
II.2. Trờng hợp chỉ có một nhà máy cần đặt trong miền G ................42
Tối u hoá - 3 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
II.1.1. Đặt bài toán .....................................................................42
II.2.1 Chuyển bài toán tối u về dạng liên hợp ..........................46
II.3. Các mở rộng khác..........................................................................49
II.3.1. Trờng hợp cần đặt nhiều nhà máy công nghiệp trong miền
G...................................................................................................49
II.3.2. Đánh giá sự mất cân bằng sinh thái do các tác động của
chất thải công nghiệp.............................................................................56
Chơng III
Chơng trình và Kết quả thử nghiệm...............................................................60
III.1. Chơng trình minh họa phơng pháp giải bài toán truyền tải và

i
,

j
,

k
là vectơ đơn vị của các trục x,y,z tơng ứng). Sự truyền tải vật chất
đợc mô tả bởi phơng trình sau:
t


=0
Dạng khai triển của phơng trình này là:
0=


+


+


+


z
w
y
v

u
=0, sau đó giả sử rằng:
w=0, tại z=0, z=H (1.1.4)
Từ (1.1.3) sử dụng đồng nhất thức sẽ đợc:

=


+


+


udivudiv
z
w
y
v
x
u


(1.1.5)
điều này là hợp lý nếu hàm và

u
là khác nhau. Với các giả thiết trên ta có thể
đa (1.1.5) trở thành:


<0 (1.1.7)
với
0
và
S
là hàm đã cho và u
n
là hình chiếu của vectơ vận tốc dòng chảy trên
vectơ pháp tuyến ngoài của biên S. Điều kiện (1.1.7) định nghĩa mức độ ô
nhiễm trong miền G. Nghiệm chính xác của bài toán đợc cho bởi phơng trình
(1.1.3) là xác định đợc nếu hàm u,v,w là biết đợc trong không gian và thời gian.
Phơng trình (1.1.3) có thể đợc tổng quát hoá. Ví dụ, nếu hệ số phân huỷ,
lắng đọng 0 trong miền G, khi đó phơng trình sẽ trở thành:
t


+div

u
+=0 (1.1.8)
Nghiệm này sẽ đợc cụ thể nếu u=v=w=0 trong phơng trình (1.1.8). Bây
giờ ta xét phơng trình
t


+=0, và nghiệm của nó là
=
0
exp(-t)
nghiệm có dạng hàm mũ, còn

=++
==


0
2
0
2
0
0
22
2
|
2
|
2
(1.1.10)
áp dụng công thức Ostrogradsky-Gauss nh sau:

=
S
n
G
dS
u
dG
u
div
22
2

G G
Sn
T
G
T
G
Sn
T
G
T

+=++
+





0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2222
(1.1.13)

2
là:
t


+div

u
+=0 (1.1.14)
=0 tại t=0,
=0 trên S nếu u
n
<0 (1.1.15)
Tối u hoá - 7 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Phơng trình (1.1.13) cho hàm sẽ có dạng
0
22
2
0
2
0
2
=++

+
dGdtdS
u
dtdG
G

=
S
trên biên S với u
n
<0 (1.1.18)
bài toán này cũng nó có nghiệm duy nhất.
I.1.2. Xấp xỉ sự khuyếch tán và tính duy nhất nghiệm của bài toán truyền
tải và khuyếch tán vật chất
Những mô hình cho sự truyền tải các chất gây ô nhiễm trong không gian
từ nguồn chất thải đợc xét đến ở đây không để ý đến các yếu tố tác động bên
ngoài nh sức gió, nguồn ô nhiễm từ bên ngoài..., các mô hình đó chỉ mới xét
đến trờng hợp u=v=w=0, do đó bài toán trở nên đơn giản hơn.
Khi đó bài toán truyền tải vật chất trở thành:
t


+=f (1.2.1)
=
0
tại t=0
Nếu f không phụ thuộc vào t, nghiệm sẽ là
=
0
e
-

t
+
)1(
t


a
=

+Tt
t
adt
T
1
(1.2.4)
và
0'
1
' ==

+

Tt
t
dta
T
a
(1.2.5)
Nếu nh quá trình xử lý thoả mãn điều kiện (1.2.3)-(1.2.5), chúng ta có
thể áp dụng phơng pháp dới đây để xác định đợc sự truyền tải vật chất trong
không gian trong các trờng hợp khác nhau.
Lấy tích phân của phơng trình (1.1.8) trên khoảng tt+T

++


udivudiv
T
tTt
(1.2.7)
hoặc tơng đơng với
T
tTt
udivudiv
T
tTt )(')('
''
)()(



+
=+++
+

(1.2.8)
Tối u hoá - 9 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Tiếp theo ta viết các hàm nồng độ nh sau:

=
, =a. Với giả sử rằng


, thế thì a<< và có a/=<<1. Do đó phơng trình (1.2.8) đợc viết lại là
)1(''

T
tTt )()(

+
bằng vi phân
t


từ đó đi tới phơng trình cho các thành phần
trung bình nh sau
0''
=+++





udivudiv
t
(1.2.11)
phơng trình này khác với (1.1.8) là có sự xuất hiện của
''


udiv
.
Nếu các thành phần của vectơ dòng chảy có dạng sau thì nghiệm của bài
toán đợc xác định:
x
u


Dudiv
t
=++


(1.2.13)
với
zzyyxx
D




+




+




=



à











+


+
+



















0
2
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
222
d
z
d
z
d
n
dG
zyx
dtdGdtdS
u
dtdGdG
H
G
T
G

là đạo hàm riêng theo hớng vectơ pháp tuyến của
bề mặt . Gọi lại rằng S là tổng số bề mặt của miến G, là bề mặt hình trụ,
H
là phần mặt cắt ngang hình trụ khi z=H,
0
là phần mặt cắt ngang của hình trụ
khi z=0. Phơng trình (1.2.17) đợc viết thành:






















+













+








++





+
0
22

n
T
GG
T
T
GS
n
T
G
T





à





à


T
0
dt

(1.2.18)
Xét điều kiện biên dới đây:

Ngoài ra ta còn có:
w=0 tại z=0, z=H (1.2.20)
Sử dụng các điều kiện (1.2.19), (1.2.20) và điều kiện đầu (1.2.16) ta thu đợc
mối tơng quan sau:








+



+
+=++
+

















++
d
n
d
u
dtdGddGdt
dG
zyx
dtd
u
dtdG
Sn
T
GG
T
T
G
n
T
G
T

à



Bây giờ chúng ta chứng minh rằng nghiệm của nó là duy nhất. Bằng ph-
ơng pháp phản chứng, giả sử rằng có hai nghiệm
1
và
2
khác nhau thoả mãn
(1.2.13), điều kiện ban đầu (1.2.16), điều kiện biên (1.2.19) và các điều kiện
khác. Do đó hàm độ lệch =
1
-
2
đợc viết dới dạng phơng trình nh sau:
t


+div

u
+=D (1.2.22)
với điều kiện ban đầu
=0 tại t=0 (1.2.23)
và điều kiện biên
=0 trên khi u
n
<0,
0=


n


2
2
2
2
0
2
=++
+


















+




ddGdt
dG
zyx
dtd
u
dtdG
G
T
T
G
n
T
G
T




à


(1.2.25)
Vì các giá trị
+
n
u
, à, , , trong phơng trình (1.2.25) là không âm, nên
chỉ có trờng hợp =0 tức là
1
=


=


z
trên
0
,
0=


z

trên
H
Giả sử rằng vectơ vận tốc không thay đổi trong một khoảng thời gian nhất định
tức là
div

u
=0 và w=0 tại z=0, z=H
Trong trờng hợp nh vậy thì bài toán (1.2.26) có dạng đơn giản hơn, và bài
toán này đôi khi đợc sử dụng để tính toán, bài toán này cũng có nghiệm duy
nhất. Dạng toán học nh sau:
fDudiv
t
+=++




zzzz
yx




+=




+








+


àà
2
2
2
2
Để dễ dàng cho việc phân tích và tính toán, chúng ta giả sử rằng hệ số
khuyếch tán à không phụ thuộc vào cả không gian và thời gian.

y
dzu
x
dzudiv
=
=

+










+










=


HHH
dzv
y
dzu
x
dzudiv
000

(1.2.30)
Khi đó chúng ta đi tới phơng trình cân bằng nh sau
00
0
||
=
=
=


=


=





z
Hz




z
H
dz
zz



Nếu xấp xỉ nồng độ tạp chất tại z=0 bằng

=
=
H
z
dz
H
0
0
1
|

Thì sẽ thu đợc kết quả cuối cùng nh sau

=





u
dt
+=+

+

+

à

(1.2.33)
với
H


+=
. ở đây


là tổng độ lắng đọng của chất gây ô nhiễm trong
không khí, còn (
H


) là độ lắng đọng trên bề mặt trái đất.
I.1.3. Phơng trình khuyếch tán đơn giản
Ta xét bài toán đơn giản nhất của phơng trình truyền tải và khuyếch tán
vật chất đó là bài toán một chiều đợc mô tả toán học nh sau
)(
0

xx nếu
0
1
Chúng ta lấy tích phân phơng trình (1.3.1) trong lân cận của điểm x
0
ta đợc
Q
x
d
x
d
dx
xx
x
x
+



=
+
+


2/2/
2/
2/
00
0
0

0
x<+; các ngiệm t-
ơng ứng ký hiệu là
-
và
+
, khi đó các bài toán cần giải tơng ứng là
0
2
2
=
+
+


à
dx
d
(1.3.3)

+
=0 khi x+
và
0
2
2
=




+
=
-
tại x=x
0
(1.3.6)
Ta có thể dễ dàng thấy nghiệm của bài toán (1.3.3) và (1.3.4) là

+
=C
+
exp(
))(/
0
xx
à
,

-
= C
-
exp(
))(/
0
xx
à
(1.3.7)
Thế vào phơng trình (1.3.5) và (1.3.6) ta thu đợc hai phơng trình tuyến tính và
thu đợc kết quả sau
C

à

(1.3.8)
và đồ thị của nó đợc minh hoạ trong hình 1 dới đây
Ta có thể chứng minh dễ dàng rằng


Q
dxx =



)(
Bây giờ chúng ta xét trờng hợp mà vectơ vận tốc dòng chảy là khác 0 và
có thể coi làhằng số và dơng. Khi đó ta sẽ có phơng trình sau
)(
0
2
2
xxQ
dx
d
dx
d
u +=+


à

(1.3.9)

2



à
dx
d
u
dx
d
(1.3.11)
Tổ hợp hai phơng trình này lại ta đợc
0
xx tại ==
=
+
+


à

à
0Q
dx
d
dx
d
(1.3.12)
Tối u hoá - 17 -
(x)















++=
















C
+
=C
-
=C=
2
4 u
Q
+
à
Nghiệm cuối cùng có dạng





















+
+
=
00
2
2
00
2
2
2
,)(
2
4
exp
,)(
2
4
exp
4
)(
xx
xx
xx
uu
xx
uu
u
Q
x





























++


2
1
2
1
1
,)(
2
||
4
exp
,)(
2
||
4
exp
4
)(
xx
xx
xx
uu
xx
uu
u
Q
x
à
à
à








+




















++
+
=

uu
u
Q
x
à
à
à

à
à
à

à

(1.3.16)
Nếu chu kì dơng là t
1
ngày, còn chu kì âm là t
2
ngày, khi đó nồng độ
đợc tính theo công thức
)()()(
2
21
2
1
21
1
x
tt

. Nếu dòng chảy không khí chịu ảnh hởng của hớng
Tối u hoá - 19 -
(x)
x
0
0 x
y
Hình 3. Đồ thị mô tả nghiệm trong trường hợp vectơ
hướng gió thay đổi ngược chiều nhau trong một khoảng
thời gian nhất định
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
gió thì nghiệm của bài toán (1.3.9) với điều kiện (1.3.18) đợc biểu diễn dới
dạng tích phân của các biến ngẫu nhiên sau

+

=
1
0
2
0
4
)(
))(,(
2
)(

à

à











++




















u
uxxw
à

à

à

à

à

à


(1.3.20)
Cho mỗi giá trị cố định của x, ta sẽ tính đợc tích phân trong phơng trình
(1.3.19) đợc tính bằng phơng pháp Monte-Carlo.[2]
I.1.4. Phơng trình truyền tải và khuyếch tán hai chiều
Trong phần này chúng ta hãy xét trờng hợp riêng của bài toán tổng quát.
Ta chỉ xét bài toán trong trờng hợp hai chiều, đó là ta chỉ xét trên bề mặt trái đất
mà ta không để ý đến sự thay đổi theo chiều thẳng lên trên. Miền đợc xét bây
giờ là một miền phẳng G có biên . Khi đó phơng trình vi phân mô tả quá trình
truyền tải và khuyếch tán vật chất có dạng sau:
à

+=+


+

2
x

+
2
2
y


(1.4.3)
f: hàm nguồn
với các điều kiện đầu và điều kiện biên sau:
Tối u hoá - 20 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
(x,y,0)=
0
(x,y)

=


|
(1.4.4)
0| =


+

r


u
t
à+=+


+


+


(1.4.5)
với các điều kiện đầu và điều kiện biên sau:
0|
0t1
=
=
;
0|
1
=



;
0|
1
=



;

=


|
2
;
0|
2
=


+

n

Khi ứng dụng vào quá trình tính toán xác định nồng độ của chất ô nhiễm
thì chúng ta không dùng trực tiếp phơng trình truyền tải và khuyếch tán vì có
thể rất phức tạp và không chính xác. Do đó chúng ta đi nghiên cứu bài toán liên
hợp của nó vì nó cho ta trực tiếp giá trị nồng độ ô nhiễm và đối với bài toán liên
hợp thì việc tính phiếm hàm nồng độ sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Điều này đã đ-
ợc chứng minh.[2]
Dới đây chúng ta đi nghiên cứu bài toán liên hợp của phơng trình truyền
tải và khuyếch tán vật chất.
Tối u hoá - 21 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
I.2. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chất
I.2.1. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán đơn giản
Xét phơng trình khuyếch tán đơn giản sau




<dxdt
T
2
0

Chúng ta viết phơng trình (2.1.1) dới dạng
L=f (2.1.3)
với
L=
2
2
x
t


+


à
, f=Q(x-x
0
)
Xét trong không gian Hilbert với tích vô hớng đợc định nghĩa
(g,h)=




*
0


à


(2.1.4)
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta đợc
Tối u hoá - 22 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
dx
t
dtdxdx
t
dt
T
Tt
t
T



=
=






=


dx
t
dtdt
xx
dx
x
dt
TT
x
x
T
*2
00
*
*
2
*
0
|)(









x
*
*Tt
0t
*
2
*2
*
*
T
0
dt)t,x(Q|dt)
xx
(|dxdx)
x
t
(dt
(2.1.7)
Giả sử rằng

*
=0 khi x (2.1.8)
khi đó (2.1.7) đợc rút gọn lại thành

=+


à+



x
t


à+



=p (2.1.10)
với điều kiện đầu

*
=0 khi t=T (2.1.11)
và điều kiện biên (2.1.8), ở đây p là hàm của x và t, đợc cho trớc, khi đó bài
toán này sẽ là bài toán liên hợp của phơng trình đã cho. Ta có thể viết gọn ph-
ơng trình (2.1.9) lại nh sau





+=
dx)0,x()0,x(dt)t,x(Qdxpdt
*
T
0
0
*
T
0

toàn bộ miền G. Trong trờng hợp hàm p nh sau
p(x,t)=
)t()x(
(2.1.15)
Thế nó vào (2.1.13) ta đợc
J=(,) (2.1.16)
Thì đây là giá trị của nghiệm tại x=, t=. Điều này cũng có thể đợc tính bằng
công thức (2.1.14) nếu p trong bài toán liên hợp (2.1.10) và (2.1.11) đợc cho bởi
công thức (2.1.15).
Xét trờng hợp khác, chúng ta cần tìm tổng số lợng vật chất trong khoảng
axb. Trong trờng hợp này hàm p(x,t) sẽ có dạng
p(x,t)=





b][a,x 0,
b][a,x ,1
(2.1.17)
Thế vào (2.1.13) ta đợc

=
b
a
T
0
dxdtJ
(2.1.18)
phiếm hàm tơng tự có thể đợc tìm bằng cách sử dụng (2.1.14).

a
dx)x(X)t(VdtJ
2
1
(2.1.20)
Tối u hoá - 24 -
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Tập hợp các phiếm hàm thoả mãn đã đợc mở rộng. Điều này rất quan
trọng để chú ý rằng trong cách này chúng ta có thể tính bất cứ một phiếm hàm
tuyến tính nào của nghiệm và do đó đi tới xây dựng bài toán liên hợp của nó.
Nếu xét một số phiếm hàm của nghiệm của các bài toán đã cho, ta có thể
có đợc công thức riêng biệt của từng bài toán liên hợp đối với mỗi nghiệm của
chúng.
Bây giờ ta xét bài toán nh sau
Cần xử lý mức độ ô nhiễm trong một miền G=(-,) đợc mô tả bởi ph-
ơng trình (2.1.1). Ta cần tìm một vùng G sao cho phiếm hàm (2.1.16)
mức độ ô nhiễm tại điểm x=
1
và tại t=
1
- không vợt quá một giá trị c nào đó
cho trớc (nguồn nớc thải giả sử đợc đặt tại điểm x
0
). Trong bài toán này giá
trị ban đầu có thể chọn bằng 0, tức là
=0 khi t=0 (2.1.21)
Bài toán có thể giải ít nhất bằng hai cách. Cách thứ nhất là giải theo ph-
ơng trình gốc (2.1.1) cho giá trị khác nhau của x
0
G, giá trị của phiếm hàm

(2.1.23)
điều kiện đầu

*
=0 tại t=T (2.1.24)
Từ tính đối ngẫu ta có thể chọn đợc một vùng có thể đặt nguồn thải G bằng
cách giải bài toán liên hợp của (2.1.1).
Tối u hoá - 25 -