HOÀNG NGỌC ANH TàiliệunàyđượcviếtdànhchocácbạnhọcsinhchuyênToán,Toán‐Tin,cácthầycôgiáo
dạyToánvàcácbạnsinhviênĐạihọc,CaoĐẳng,cácbạntrẻyêuToán.

www.VNMATH.com

1
VẤNĐỀ1:ỨNGDỤNGCỦABẤTĐẲNGTHỨCAM‐GM


AM‐GMhaycòncótêngọilàbđtCô‐Si!Ứngdụngcủabđtnàyrấtđadạngvà
phươngphápsửdụngbđtnàykháhiệuquảtrongviệcchứngminhcácbàitoánbđ


5



www.VNMATH.com

6



www.VNMATH.com

7



Vídụ3.(VõQuốcBáCẩn)



www.VNMATH.com

8




www.VNMATH.com


Bunhiacôpxky,làmộtbấtđẳngthứcthườngápdụngtrongnhiềulĩnhvựckhác
nhaucủatoánhọc,ch
ẳnghạncótrongđạisốtuyếntínhdùngchocácvector,trong
giảitíchdùngchocácchuỗivôhạnvàtíchphâncủacáctích,tronglýthuyếtsác
xuấtdùngchocácphươngsaivàhiệpphươ
ngsai.Bấtđẳngthứcnàycórấtnhiều
cáchchứngminh,nhưngtôikhôngđisâuvàophầnnàymàchỉkhaitháctriệtđể
côngdụngcủanó.
1. Những kĩ thuật sử dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số

Bài toán 1: Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:
a
2
b+c

+
b
2
a+c

+
c
2
a+b


a+b+c
2

Lời giải:

a+c

+
a+c
4
 b

c
2
a+b

+
a+b
4
 c. Cộng 3 bđt này lại ta được ĐPCM.
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.
Tuy nhiên nhìn qua bđt ở đề bài, ta nên nghĩ ngay cách 1!

Bài toán 2: CMR: Nếu a, b, c là các số thực dương thì
a
b+2c
+
b
c+2a
+
c
a+2b
 1. (CSM-1999)
Lời giải:
Khi đọc lướt qua bài trên ta cảm thấy không giống với dạng toán bài 1 vì trên tử không có

www.VNMATH.com

14
www.VNMATH.com

15
www.VNMATH.com

16

www.VNMATH.com

17
21




www.VNMATH.com

22




www.VNMATH.com

23



www.VNMATH.com

24


