CHUYêN Đề CHNG MINH BT ĐNG THC
1 . Định nghĩa :
- BĐT là 1 hệ thức có một trong các dạng : A > B ; A < B ; A B ; A B
(A , B là các biểu thức số hay chữ )
2 . Tính chất BĐT số :
. a > b

a - b > 0
. a > b và b > c

a > c
. a > b

a + c > b+ c
. a > b và c > d

a + c > b+ d
. a > b

ac > bc nếu c > 0
ac < bc nếu c < 0
. a > b > 0 và c > d > 0

ac > bd
.
1 1
0
a b
ab
a b
>

. A > B

A
n
> B
n
với n lẻ
. |A| > |B|

A
n
> B
n
với n chẵn
.
0
1
m n
m n
A A
A
> >

>

>

.
0
0 1

xy yz xz
y
x
z
+ +
=
2 2 2
1
(x y) (x z) (y z)
2

+ + Vậy x + y +z xy + yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
b,Ta xét hiệu
: x +y + z - ( 2xy -2 xz + 2yz) = x + y + z - 2xy + 2xz - 2 yz
: x +y + z - ( 2xy -2 xz + 2yz) = x + y + z - 2xy + 2xz - 2 yz

= ( x - y + z )
= ( x - y + z )


0. Vậy x + y + z
0. Vậy x + y + z



b,
3 3
2
2 2 2
a b c a b c+ + + +


ữ Giải :
a , Ta xét hiệu :
2 2
2
2 2
a b a b+ +


ữ

(
)
2
2
4 4
2 2
2 2
a b
a ab b
+

3 3
2
2 2 2
a b c a b c+ + + +


ữ

( ) ( ) ( )
1
0
9
2 2 2
a b b c c a

= + +
Vậy:
3 3
2
2 2 2
a b c a b c+ + + +


ữ

Dấu bằng xảy ra khi a =b =c .
Tổng quát :

Phơng pháp 2:
ơng pháp 2:

Dựng phộp bin i tng ng
L u ý : Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tơng đơng với BĐT đúng
hoặc BĐT đã đợc chứng minh là đúng .
Chú ý : Các hằng đẳng thức sau :
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2

(A+B+ C )
2
= A
2
+B
2
+C
2
+2AB +2AC + 2BC
(A + B )
3
=A
3

+ e
2
a ( b + c + d +e )
Giải: a ,
+
2
b
2
ab
a
4

<=> 4a
2
+ b
2
4ab <=> 4a
2
4ab + b
2
0
<=> (2a b)
2
0 (Bất đẳng thức này luôn đúng )
Vậy:
+
2
b
2
ab

Vậy: a
2
+ b
2
+1 ab +a +b. Dấu bằng xảy ra khi: a = b =1 .
c, a
2
+ b
2
+ c
2
+d
2
+e
2
a( b + c + d +e )
4( a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+e
2
) 4a( b + c + d + e)
(a
2
- 4ab + 4b

2
+ b
2
) > ( a
8
+ b
8
)( a
4
+ b
4
) (*)
Giải : Ta có (*) tơng đơng với :
a
12
+ a
10
b
2
+ a
2
b
10
+ b
12
> a
12
+ a
8
b

- b
2
)( a
6
- b
6
) > 0
a
2
b
2
( a
2
- b
2
)
2
( a
4
+ a
2
b
2
+a
4
) > 0
BĐT cuối đúng, ta có điều phải chứng minh.
Chú ý: ở đây ta dùng hằng đẳng thức :
x
3

1
= x
2
= =x
n

Một số chú ý khi áp dụng BĐT CÔSI :
Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi
1, Cần chỉ rõ BĐT Côsi đợc áp dụng cho những số không âm nào .
o Đặc biệt với n = 2 ta có những BĐT quen thuộc :
(1) ( a , b 0 )
4ab ( a + b)
2

( 2)

(3) (nhân vế với vế của (1) và (2))
(*)
Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi
b, Đặc biệt với n =3. Ta có những BĐT quen thuộc :
. x + y + z (1) ( x , y , z 0 )
. xyz
. (2)
Từ (1) và (2). Ta có :
( x + y + z) 9

Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi
c , Với n = a
i


ví dụ 2: cho a , b , c là các số không âm . Chứng minh rằng :
(a+b) (b+c ) (c + a) 8 abc
Giải : áp dụng BĐT CÔSI ta có :
a+b 2 b+c 2
c +a 2
=> (a+b)(b+c )(c + a) 8 abc
Phýừng phỏp 4:
Dựng B T
Dựng B T Bunhia
Bunhiacụpski
cụpski
Cho 2n số tuỳ ý : a

2
2
+ .+ b
n
2
) ( a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)
2

Đẳng thức xảy ra khi :
quy ớc : Nếu b
i
= 0 thì a
i
= 0
Một số chú ý : BCS không yêu cầu các số phải không âm, nên trong
BCS có thể sinh ra dấu - ở vế phải
* Nếu a
i
(a
1
2
/b
1
+ a
2
2
/b
2
+ .+ a
n
2
/b
n
)(b
1
+ b
2
+ + b
n
) (a
1
+ a
2
+ .+ a
n
)

n
)
=> Đây là BĐT SVAC X
*Nếu cho b
i
=1 Ta có :
n ( a
1
2
+ a
2
2
+ .+ a
n
2
) ( a
1
+ a
2
+ .+ a
n
)
2
Phýừng phỏp 4:
Dựng B T
Dựng B T


+ b
2
+ + b
n
)

=>

Nếu chọn b
i
= 1 thì ta có :
*Với n =2 ta có BĐT quen thuộc :
( x
2
+ y
2
) ( a
2
+ b
2
) ( ax + by )
2
Phýừng phỏp 4:
Dựng B T
Dựng B T
+ c
2
) ( ax + by + cz )
2

Cũng nh BĐT CÔ SI cần đặc biệt chú ý việc chọn đại lợng tham gia vào
BĐT.
Trong rất nhiều trờng hợp cần phải phối hợp giữa
CÔSI và BCS .
. Ví dụ 1 :
Cho 3 số a ; b ; c 0 . CMR :

Phýừng phỏp 4:
Dựng B T
Dựng B T
Bunh
Bunhiacụpski
iacụpski
Ví dụ 2:
Cho x; y; z thoả mãn điều kiện : x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 .
CMR :
Giải : p dụng BĐT BCS Ta đợc :
(x +2y + 3z )
2
( 1
2
+ 2
2
+ 3
2
)(x
iacụpski
iacụpski
Ví dụ 3 : CMR : a
2
+ b
2
+ c
2
> ab + bc + ca
Giải : Dùng BĐT BCS .
Xét cặp số ( 1;1;1 ) và ( a, b, c ) ta có :
(1
2
+ 1
2
+ 1
2
) (a
2
+ b
2
+ c
2
) > (1 .a + 1 . b + 1. c )
2
=> 3(a
2
+ b


t
t

b
b
c c
c c
u
u L u ý : A > B và B > C thì A > C
0 < x < 1 thì x
2

c c
c c
u
uVí dụ 2 : Cho a , b , c > 0 thoả mãn a
2
+ b
2
+ c
2
=
Chứng minh rằng :
Giải : Ta có :
( a + b c )
2
= a

t

b
b
c c
c c
u
uVí dụ 3 : Cho 0 < a , b , c , d < 1 . CMR :
( 1 a)( 1- b )( 1- c )(1 d ) > 1 a b c d
Giải : Ta có ( 1 a)( 1- b) = 1 a b + ab
Do a > 0 , b > 0 Nên ab > 0 => ( 1 a)( 1- b ) > 1 a b (1 )
Do c< 1 nên 1- c > 0


c c
c c
u
uVí dụ 4 : So sánh 31
11
& 17
14

Giải : Ta thấy:
31
11
< 32
11
= ( 2
5
)
11

11
< 17
14
Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din
Để chứng minh A < B ta tìm một biểu thức C rồi chứng minh : A
< C < B
Khi đánh giá đại diện thờng đợc kết hợp với phơng pháp làm trội và
phơng pháp triệt tiêu dần
Ví dụ 1 : a , b , c là độ dài 3 cạnh của tam giác, x ,y ,z là độ dài
các đờng phân giác trong tam giac ABC. CMR :
Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din
Giải : S
ABC
= bc SinA = bxSin + cxSin
bcSinA=bxSin + cxSin
2bcSin Cos = x(b + c)Sin

2bcCos = x( b + c) (1)

Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din
Tơng tự :
(2)
(3)
Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din
Cộng vế với vế (1);(2);(3) :
Cách khác :


Giải :
a , Vì a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có:
0 < a < b + c a
2
< a(b + c)
0 < b < a + c => b
2
< b( a+c)
0 < c < a + b c
2
< c(a+ b)
Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có:
a
2
+b
2
+c
2
< 2( ab +bc +ca)
( iều phải chứng minh )
Ph ơng pháp 7:
Dùng BĐT trong
Dùng BĐT trong
tam giác
tam giác
b, Ta có : a> => a
2
> a
2
(b-c)

> ( a+b-c)
2
(b+c-a)
2
(c+a-b)
2

abc > ( a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
( iều phải chứng minh )

PHƯƠNG PHáP 8
PHƯƠNG PHáP 8
:
:
Sử dụng bất ph
Sử dụng bất ph
ơng
ơng
trình bậc 2
trình bậc 2
Nếu a x b <=>(x-a)(x-b) 0 để bất phơng trình :
ax
2
+ bx + c 0 với a>0
có nghiệm thì 0

Ví dụ 1
Ví dụ 1
:
: Cho 2 số x,y thoả mãn điều kiện :

trình bậc 2

Ví dụ 2
Ví dụ 2
:
: Cho 9x
2
+ 5y
2
+12xy +15x +10y +6 = 0
CMR : -3 3x+2y -2

Giải
Giải
:
:
9x
2
+4y
2
+12xy + 15x +10y +6 +y
2
=0
(3x +2y )
2
+5(3x+2y) +6 +y
2
=0
Đặt :3x +2y = t ta đợc : t
2

hoặc x > x
2

a.f(x) <0 với x
1
< x < x
2PHƯƠNG PHáP 9
PHƯƠNG PHáP 9
:
:
Dùng tam thức
Dùng tam thức
bậc 2
bậc 2
Ví dụ 1
Ví dụ 1
:
: Chứng minh rằng :
f(x,y) = x
2
+5y
2
4xy +2x 6y +3 > 0 (1)

Giải
Giải
:

Dùng tam thức
Dùng tam thức
bậc 2
bậc 2Ví dụ 2
Ví dụ 2
:
: Chứng minh rằng :
f(x,y) = x
2
y
4
+2(x
2
+2 )y
2
+ 4xy + x
2
4xy
3
(2)Giải
Giải
:
:
Bất đẳng thức (2) tơng đơng với :

- 4y
2
(y
2
+1)
2

= 4y
2
[(1-y
2
)
2
(y
2
+1)
2
]
= 4y
2
(1-y
2
+y
2
+1)(1- y
2
y
2
1)
=4y

Lu ý
u ý :
: Giả sử phải chứng minh BĐT nào đó đúng ta hãy giả sử BĐT đó sai
và kết hợp với các giả thiết suy ra điều vô lý. Điều vô lý có thể là điều trái
giả thiết có thể là điều trái ngợc nhau. Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh
là đúng .Ví dụ 1
Ví dụ 1
:
: Chứng minh rằng: Trong 3 BĐT sau phải có ít nhất một BĐT sai :
x
2
< (y- z)
2
(1)
y
2
< ( z- x )
2
(2)
z
2

2
< 0 (Vô lý)

Vậy : Trong 3 bất đẳng thức đã cho ít nhất có 1 bất đẳng thức sai .
Vậy : Trong 3 bất đẳng thức đã cho ít nhất có 1 bất đẳng thức sai .
Ph
Phơng pháp 10
ơng pháp 10 :
:
Chứng minh phản
Chứng minh phản
chứng
chứngVí dụ 2
Ví dụ 2
:
:
Cho x,y,z > 0 và xyz=1. CMR : Nếu thì có một
và chỉ một trong ba số này lớn hơn 1

Giải
Giải

Giải:
Ta có:
Vậy:
Vậy:

Phơng pháp 11
: Ph
: Ph
ơng pháp làm
ơng pháp làm
trội,
trội,
làm giảm
làm giảm
Với n=2 thì
Với thì
Vậy
Vậy với n >1 thì
Nên với n >1 thì

Phơng pháp 11:
Ph
Ph
ơng pháp làm trội, làm giảm
ơng pháp làm trội, làm giảm
Ví dụ 2:
Ví dụ 2: CMR:
Giải:
Giải:
Có

toán học
Ph
Ph
ơng pháp 12
ơng pháp 12
: Ph
: Ph
ơng pháp quy nạp
ơng pháp quy nạp
toán học
toán học

Vớ d
Vớ d


4:
4: CMR: vi ta cú:
Gi
Gi


i:
i:
Th vi n=1: ỳng.
Gi s mnh ỳng v i n=k:
Ta cn CM mnh ỳng v i n =k+1
Tht vy:
Vỡ:
Ph

:
PP Đổi biến
PP Đổi biến

Ví dụ 6:
Ví dụ 6:

Cho CMR:
Giải:
Giải:
Đặt:
Từ , ta có:
Do
(dấu bằng xảy ra <=> x=0)
Mà
Vậy
Ph
Ph
ơng pháp 14:
ơng pháp 14:
Ph
Ph
ơng pháp xét miền
ơng pháp xét miền
giá trị của biến
giá trị của biến
Ví dụ 7: CMR
Giải: (xét từng khoảng giá trị của biến)
Nếu x=1 => A =1 > 0
Nếu Có

với (dấu bằng xảy ra
với
với
nếu
nếu thì
Vậy với
Trên đây là môt số phơng pháp chứng minh BĐT mà chúng tôi vẫn th-
ờng dùng để bổ xung cho học sinh trong quá trình dạy đại trà và dạy chất
lợng mũi nhọn, các em đã đợc hiểu và vận dụng các BĐT có kết quả. Tuy
nhiên ngoài các phơng pháp trên các đồng chí có thể tham khảo các phơng
pháp khác nh: Phơng pháp quy nạp, phơng pháp làm trội, phơng pháp
dùng véc tơ, phơng pháp lợng giác, phơng pháp miền giá trị, phơng pháp
đạo hàm mục tiêu để hớng dẫn học sinh trong quá trình làm bài tập .