Phơng pháp làm trội để chứng minh bất
đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức A < B ta có thể chọn số C sau đó chứng minh
A <C và C < B
Có những bất đẳng thức ta phải sử dụng nhiều đại lợng trung gian để chứng
minh
Bài 1 : Cho các số dơng a, b ,c ,d.Chứng minh rằng:

1
a b c d
b c d c d a d a b a b c
+ + + >
+ + + + + + + +
Giải:
Vì a, b, c , d là các số dơng nên : b + c + d < a+ b + c +d
c + d + a < a+ b +c + d
d + a + b < a + b +c +d
a + b + c < a + b + c + d
Ta có:
a a
b c d a b c d
>
+ + + + +

b b
c d a a b c d
>
+ + + + +

c c
d a b a b c d

b c d c d a d a b a b c
+ + + >
+ + + + + + + +
(ĐPCM)
Bài 2:Cho các số dơng a , b .Chứng minh rằng:

1
2 2
a b
a b b a
+ <
+ +
Giải:
Do a, b là các số dơng => 2a + b > a + b và 2b + a > a + b
=>
2
a a
a b a b
<
+ +
;
2
b b
b a a b
<
+ +
Cộng các vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có:
1

1

x y z y x z
y y z
+ +
+
=
( )
xy xz xy yz
y y z
+
+
=
( )
( )
z x y
y y z

+
<0
(Vì x < y => x - y < 0 )
Vậy :
x x z
y y z
+
<
+

Sử dụng kết quả này ta có:

a a c
a b a b c


3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ +
+ + + + + +
Giải :
Ta có : a
3
+ b
3
- ab(a+b) = (a + b)(a
2
- ab + b
2
) - ab(a + b)
= (a + b)(a
2
- ab +b
2
- ab) = (a + b)(a
2
- 2ab + b
2
)
=(a + b)(a - b)
2


0

3 3
1 1
( ) ( )
a
b c abc bc a b c abc a b c
=
+ + + + + +

3 3
1 1
( ) ( )
b
c a abc ac a b c abc a b c
=
+ + + + + +
Cộng từng vế tơng ứng của các bất đẳng thức trên ta có:
2

3 3 3 3 3 3
1 1 1
a b abc b c abc c a abc
+ +
+ + + + + +( )
c
abc a b c+ +
+
( )

k

2009
Ta có :
2
1
k
<
1
( 1)k k
=
1 1
1k k


áp dụng bất đẳng thức này với k = 2,3,4,.,2009 ta có:

2
1 1 1
2 1 2
<

2
1 1 1
3 2 3
<
..

2
1 1 1


2
1 1 1
3 3 4
>

2
1 1 1
4 4 5
>
..

2
1 1 1
2009 2009 2010
>
3
=>
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
...
2 3 4 2008 2009
+ + + + + >1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
2 3 3 4 4 5 2008 2009 2009 2010
+ + + + +
=

+
;
2 2
1 1
13 2 3
=
+
..
Do đó số hạng tổng quát có dạng:
2 2
1
( 1)k k+ +
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có:
k
2
+ (k + 1)
2
> 2k(k +1)
=>
2 2
1 1 1 1 1
( 1) 2 ( 1) 2 1k k k k k k

< =
ữ
+ + + +

áp dụng kết quả trên với k = 1 , 2 , 3 ,.2002 ta có
2 2
1 1 1

< 88
Giải
Số hạng tổng quát là:
1
k
với k > 1
Ta có :

2 1 2
1 1k k k k k
< <
+ + +
Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu,rồi thu gọn ta đợc:
2(
1k k+
) <
1
k
< 2(
1k k
)
4
áp dụng bất đẳng thức này với k = 2 , 3 , 4 , , 2025 ta có
1 1 1 1 1
...
2 3 4 2024 2025
+ + + + +
> 2(
3 2 4 3 ... 2026 2025 + + +
)

Giải
Số hạng tổng quát là :
1 1 1
( 1) 1
( 1)
k
k
k k k k
k k

= =
ữ
+ +
+

=
1 1 1 1
1 1
k
k k k k

+
ữ ữ
+ +

=
1 1
1
1 1
k

2 3 2 4 3 ( 1)n n
+ + + +
+
< 2
1 1 1 1 1 1
...
1 2 2 3 1n n

+ + +
ữ
+

= 2
1
1
1n


ữ


< 2
Bài tập tham khảo:
1) Cho các số dơng a , b , c .Chứng minh rằng :

2008 2008 2008
2009 2009 2009
a b c
c a b
b c a