Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
A. Mở Đầu
1. Lý do chọn đề tài.
Nh chúng ta đã biết vật lí hạt cơ bản là một chuyên ngành hẹp của
môn vật lí, trong đó đi sâu vào nghiên cứu tính chất, các quy luật tơng tác của
hạt cơ bản và phản hạt của chúng. Khi đi sâu vào thế giới hạt cơ bản tức là ta
đã nói tới thế giới hạt vi mô. Vì vậy lí thuyết cổ điển sẽ bị thay thế bởi lí
thuyết lợng tử và đợc dùng nh một công cụ khá tốt để nghiên cứu hạt cơ bản.
Theo giả thiết của Borh về lợng tử hóa quỹ đạo thì mômen xung lợng
của điện tử chuyển động quanh hạt nhân chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn
là một bội số nguyên của
h
.
Trong phần luận văn này ta sẽ thấy giả thiết của Borh là hệ quả của các
tiên đề của cơ học lợng tử. Để thấy rõ điều đó ta nghiên cứu lí thuyết lợng tử
về mômen xung lợng. Trong đó để hình dung một cách cụ thể về trị riêng của
toán tử mômen xung lợng ta có thể trình bày một cách thô sơ trên hình vẽ. Nh-
ng cách trình bày trên hình vẽ chỉ để hiểu một cách trực quan, không thể coi là
cách biểu diễn chính xác về mômen xung lợng. Vì vậy để hiểu một cách chính
xác về mômen xung lợng ta đi xét hệ hai hạt, bỏ qua tơng tác giữa chúng làm
thay đổi mômen xung lợng thì mômen xung lợng của hệ bằng tổng mômen
xung lợng của từng hạt. Và để đi đến đợc điều đó ta dùng quy tắc cộng
mômen xung lợng, cộng mômen spin nói riêng và cộng mômen nói chung.
Tuy nhiên, trong quá trình học tập và lĩnh hội phần lí thuyết nói chung
và vật lí lợng tử nói riêng thì việc giải bài tập vật lí giữ vai trò quan trọng bởi
lẽ chỉ có thể giải bài tập khi đã hiểu cặn kẽ phần lí thuyết về chúng.
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
1
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Vì những lý do trên đây, tôi đã chọn đề tài Cộng mômen trong cơ học
lợng tử. Sau đó áp dụng giải một số bài tập về cộng mômen.

)(

= riL
và các toán tử
hình chiếu mômen xung lợng của hạt có dạng :













==




















Còn toán tử bình phơng mômen xung lợng :
2222

zyx
LLLL ++=
Sau đây ta nêu lên một vài hệ thức giao hoán giữa các toán tử mômen
xung lợng với nhau và giữa bình phơng môen xung lợng với chúng:
0]

,

[]

,

[]

,

[

]

zzzz
z
z
LLLLLLLLL
LLL
LLL


],

[

2]

,

[
222



++=+=
=
=
++

+
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
3
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.







=


z
L
i

exp
Vậy
( )


,,r
là một hằng số nhân với hàm mũ trên, hằng số này nói
chung có thể phụ thuộc vào các tọa độ

&r
( ) ( )







; 2;1
Từ đó suy ra rằng trị riêng của
z
L

là một số nguyên lần

.
b. Trị riêng của bình phơng mômen xung lợng
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
4
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Vì hiệu
2222

yxz
LLLL +=
bằng toán tử của một đại lợng vật lí dơng xác
định
0
22
+
yx
LL
. Cho nên ứng với mỗi giá trị cho trớc của bình phơng mômen
xung lợng L
2
thì tất cả các giá trị riêng khả dĩ L
z
phải thỏa mãn bất đẳng thức:

1
=
+ l

Từ

== LLLLLLL
zzz

]

,

[
Nên

= LLLLL
zz


Tác dụng

LL
z

lên
m

ta đợc
mmzmz



là hàm riêng tơng ứng với trị riêng
( )
1m

của toán tử
z
L

.
Vì
m

là hàm riêng ứng với trị riêng
m
của
z
L

, cho nên:
mmz
mL

=

;
( )
11
1

L
lên
l

ta có :
( )
llllzlzll
llllLLLLL

222222
10

+=++=++=
+
Nh vậy trị riêng của toán tử bình phơng mômen xung lợng là l(l+1)
2

,
với l là các giá trị nguyên dơng, kể cả giá trị 0. Với một giá trị của l đã cho thì
m có nhiều giá trị. Nh trên đã nói l là giá trị lớn nhất của m, mặt khác hai h-
ớng giữa trục của z là tơng đơng nhau về mặt vật lí nên với mỗi giá trị của l lại
có một giá trị khác trái dấu. Nh vậy m có thể có các giá trị nguyên từ +l đến -l
:
m = +l, l-1, l-2, ,-l tất cả có (2l+1) giá trị.
1.1.3 Phép cộng mômen xung lợng.
Để hình dung một cách cụ thể về trị riêng của toán tử mômen
xung lợng ta có thể trình bày một cách thô sơ trên hình vẽ: z

( )


2;;0
61
=
=+=
z
L
llL
Trên mặt phẳng hình vẽ
L
chỉ có thể có 5 cách định hớng khác nhau (ở
nửa bên phải của trục z). Nếu ta quay hình vẽ quanh trục z thì đợc các hớng có
thể có của
L
trong không gian.
Bây giờ, ta xét hệ gồm hai hạt có mômen xung lợng lần lợt là
21
; LL

Nếu ta bỏ qua tơng tác của hai hạt làm thay đổi mômen xung lợng thì mômen
xung lợng của hệ
L
=
21
LL +
. Nếu biết số lợng tử l
1
, m

1
; của m
2
là l
2
. Nên giá trị cực đại của m là
(l
1
+l
2
). Ta có thể hiểu một cách thô sơ rằng đây là trờng hợp
21
; LL
cùng hớng.
Trờng hợp hai vectơ ấy ngợc hớng thì l =
21
ll
.
Còn trờng hợp khác l có giá trị nguyên trong khoảng giữa hai giá trị
trên. Tức là : l = l
1
+ l
2
; l
1
+ l
2
- 1 ; ;
21
ll


của
2

J
đợc gọi là một đa tuyến.
1.2.2 Quy tắc cộng mômen xung lợng.
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
8
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Xét một hệ gồm hai hạt và gọi các toán tử mômen xung lợng của chúng
là
)2()1(

,

JJ
. Giả sử giữa hai hạt không có tơng tác. Khi đó hạt thứ i (i =1,
2) Có thể đợc diễn tả bằng (2j
i
+1) hàm sóng
)(i
j
ii
à

với các giá trị xác định của
các bình phơng mômen xung lợng và hình chiếu của nó lên trục Oz:
)(2)()(2
)1(

. Tức là :
ii
j
à
Hệ hai hạt nh vậy đợc mô tả bằng (2j
1
+ 1) (2j
2
+ 1) tích trực tiếp của hai
hàm sóng
)2()1(
2211
àà

jj
.
Trong nhiều trờng hợp ngời ta lại quan tâm đến mômen xung lợng toàn
phần của hệ. Toán tử mômen xung lợng toàn phần và hình chiếu của nó lên
trục Oz là:
)2()1(

JJJ +=
)2()1(

z
zz
JJJ +=
Bình phơng mômen xung lợng toàn phần và hình chiếu của nó lên trục
Oz có trị riêng là j( j+1)
2

21
àà
+
Vì :
)2()1(
2211

àà

jjz
J
=
)

(
)2()1(
z
z
JJ +
)2()1(
2211
àà

jj
=
)

(
)1()1()2(
1122

jj
lại không phải là hàm riêng của
2

J
. Vì sự có
mặt của 2
)2()1(

JJ
làm cho
)2()1(2
2211

àà

jj
J


cosnt
)2()1(
2211
àà

jj
Tuy nhiên từ các tích
)2()1(
2211
àà

21
z
J

à

jjj
21
=

à
à

jjj
21
Vì giá trị lớn nhất của
21
,
àà
là j
1
, j
2
nên
21max
jj +=
à
khi và chỉ khi
{ }
2211

=
1
21
+
jj
, khi
{ }
1,
2211
== jj
àà
,
hoặc
{ }
2211
,1 jj ==
àà
. Hàm sóng hai hạt tơng ứng là
)2(
1
)1(
2211

jjjj

, hoặc
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
10
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
)2()1(

thêm hàm sóng mới cho tới khi
21
jj =
à
. Giá trị này của
à
có thể nhận đ-
ợc trong (2j
2
+1) trờng hợp
{ }
21
,
àà
=
{ }
21
, jj
;
{ }
1,1
21
+ jj
; ;
{ }
221
,2 jjj
, ứng với (2j
2
+1) hàm sóng hai hạt

,
1
21
+
jj
, ,j
1
- j
2
lần lợt ứng với
212121
jjjjjj +

,
212121
1 jjjjjj +

,,
212121
jjjjjj

.
Với các giá trị tiếp theo của
à
mà
à

12
jj
< j

{ }
1,1
21
+ jj

, ,
{ }
221
,2 jjj

, ứng với hàm sóng hai hạt là
)2()1(
2211
jjjj


,
)2(
1
)1(
1
2211
+ jjjj


,,
)2()1(
2
22211
jjjjj

,,
212121
jjjjjj

.
Giảm tiếp
à
một đơn vị ta có
1
12
=
jj
à
. Số trạng thái tơng ứng
giảm đi 1 so với trờng hợp
à
=
21
jj
vừa xét ở trên. Đó là 2j
2
trạng thái
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
11
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
có :
{ }
21
,
àà


,,
)2(
1
)1(
2211

jjjj

. Từ 2j
2
hàm sóng này có thể lập 2j
2
tổ hợp độc lập tuyến tính cho j =
21
jj
+
, ,
j
1
- j
2
+1, lần lợt ứng với
1
122121
+ jjjjjj

,
11
122121

=
)2()1(
2211
jjjj

.
Khi
.12
jj
, các lập luận ở trên vẫn đúng , ta chỉ cần làm phép hoán vị
j
1

j
2
Tóm lại, với j
1
, j
2
cho trớc ,từ các tích
)2()1(
2211
àà

jj
, ta có thể lập đợc các tổ
hợp độc lập tuyến tính là các hàm sóng
à

jjj

2121
, jjjj +
à
.
Số các hàm với tất cả giá trị khả dĩ của j là:
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
12
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.

( )( )
1212)12(
21
21
21
++=+

+=
=
jjj
jjj
jjj
chính bằng số các tích
)2()1(
2211
àà

jj
với giá trị khả dĩ của
21
,


jj
Các hệ số
à
àà
j
jj
C
2211
gọi là hệ số Clebsh-Gordan, các hệ số này xác định
phần đóng góp của các hàm khác nhau
)2()1(
2211
àà

jj
. Và các hệ số này cho bởi
bảng riêng.
Các kết quả trên đây gọi là quy tắc cộng mômen xung lợng.
Các lập luận trên cũng có thể áp dụng cho hàm sóng một hạt với hai bậc
tự do khác nhau : bậc tự do chuyển động quỹ đạo với mômen xung lợng quỹ
đạo và bậc tự do spin. Bây giờ,
L

đóng vai trò của
)1(

J
,
S

với
iii
SLJ


+=

Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
13
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Nếu ngợc lại thì :
J

=
L

+
S

với

=
=
1

i
i
LL
,


2
2
22
Toán tử mômen từ :
( )
JGJ
J
SJ
m
e
SJ
m
e
M



1



2


2

2
=



e
G
. Do đó tri riêng của
G

là :G =g.
m
e
2

trong đó:
1
)1(2
)1()1()1(
+
+
++++
=
jj
llssjj
g
Vậy trị riêng của toán tử mômen từ là:
)1( += jjgM
B
à

với:

m
e

3
=
B
à
2
1
Bài 2: Mômen từ của nguyên tử ở trạng thái
FD
54
,
bằng 0. Xác
định mômen của nó trong các trạng thái đó?
Bài giải:
Theo bài 1 ta có công thức tính mômen từ của nguyên tử :
M = g.
B
à
.
)1( +jj
= 0 (1)
trong đó :
1
)1(2
)1()1()1(
+
+
++++
=
jj
llssjj

,,
?
Bài giải:
+) Trạng thái
S
1
có nghĩa là s = 0, l = 0 .
Mômen xung lợng toàn phần :
)1( += jjJ
,
với j = l + s,l + s-1,,
sl
= 0
Vậy ta có trạng thái
0
1
S
.
+) Trạng thái
P
3
có nghĩa là s = 1, l = 1. tơng tự trên có j = 0, 1, 2
Vậy ta có trạng thái khả dĩ :
,
0
3
P
,
1
3

1
= l
2
= 0 ; s
1
= s
2
=
2
1

Nên: Mômen xung lợng quỹ đạo của hệ hai electron
21
LLL +=
Mômen xung lợng riêng của hệ hai electron
21
SSS +=
trong đó :
)1( += llL
; l = l
1
+ l
2
; l
1
+ l
2
-1;.;
21
ll

và
1
3
S

b) Tơng tự câu (a) ta có số lợng tử l và s của hệ hai electron trên là : l
=1,s = 0; 1
Nếu s = 0 thì j = 1 ,ứng với trạng thái
,
1
1
P
Nếu s = 1 thì j = 0; 1; 2 ,ứng với các trạng thái khả dĩ sau:
,
0
3
P
,
1
3
P
,
2
3
P
c) Làm tơng tự trên ta đợc kết quả:
,
2
1
D

,
0
3
P
,
1
3
P
,
2
3
P
,
1
3
D
,
2
3
D
,
3
3
D
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
17
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Bài 5: Xác định các giá trị khả dĩ của mômen xung lợng quỹ đạo
của hệ gồm 1 electron d và 1 electron f?
Bài giải :

1
+ l
2
-1;.;
21
ll
= 5; 4; 3; 2; 1
Vậy ta có các giá trị khả dĩ của
L
:
+) l = 5 thì
30=L
+) l =4 thì
52=L
+) l = 3 thì
32=L
+) l = 2 thì
6=L
+) l = 1 thì
2=L
Gọi là góc hợp bởi
21
, LL
thì

cos2
21
2
2
2

=
+ +

Với l =1 thì
0
5,160=


2
L

L

L

L

2
L
Với l =2 thì
0
135=


Với l =3 thì
0
7,1 10=


1















+



=









+


1
0
0
2
1
10
01
2
10
01
10
01
2
10
01






i
i
i
LSLJ
ZZzZ









−+
−
=


















−
+




Li
Li
L
L
LLLLSL
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆ
0
0
ˆ
0
ˆ
ˆ
0
0
ˆ
ˆ
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2









=+
22
22
2222
4
3
ˆ
0
0
4
3
ˆ
10
01
4
3
10
01
ˆ
ˆ
ˆ


3
ˆˆ
ˆˆ
4
3
ˆ
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆˆ
22
22
222


trong ®ã :
yx
LiLL
ˆˆˆ
±=
±
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Hêng-32A LÝ
20
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Hàm sóng

đợc viết dới dạng ma trận:



=
























+



2


=+



222
111
2
1
2
1




mi
mi














,

có dạng














2
1
exp mi
hoặc










1
exp mi
;
( )

,
22
rf
=












+

2
1
exp mi
trong đó f
1
, f
2





=
+






,
,
2
1
,
2
2
1
,
1
2
1
ml
ml
YrR
YrR
trong đó: R
1








2
1
2
2
1
2
1





jjJ

















+



,
,
2
1
,
2
2
1
,
1
ml
ml
YrR
YrR
=
( )
1
2
+jj
( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

,1,

,

4
3

2
1
,
1
2
2
1
,
2
2
1
,
1
22
+


+=+




+
+
+
+=+






+
mlmlml
z
YRjjYRLYRLL
Do
+
LL

,

không phụ thuộc vào r nên chúng chỉ tác động lên hàm
( )

,Y
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
22
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
Mặt khác :
( )( )
1,,


++
++=
mlml
YmlmlYL

( ) ( )( )
',1',
1'',

mlml
YmlmlYL ++=
+


Với m=m- 1/2 thì :
( )
2
1
,
2
2
2
1
,
2
1
,

+



=
mlml
z
YmYL
( ) ( )

,
2
1
,

2
1
,
2
1
, ++






+=
mlml
z
YmYL
( ) ( ) ( )






++++






+
=






++






++++
0
4

ta đợc :
0
2
1
2
1
2
1
21
=++++






+ RmlmlRml
0
2
1
2
1
2
1
12
=++++





R +=
++
+
=
Trong trờng hợp
2
1
= lj
. Tơng tự trên ta đợc:
Sinh viên: Nguyễn Thị Hờng-32A Lí
24
Khóa luận tốt nghiệp: Cộng mômen trong cơ học lợng tử.
2
1
1
+= mlR
R
(r)
;
2
1
2
++= mlR
R
(r)
Nh vậy thì hàm sóng
( )

,,
,,

2
1
,
2
1
,


ml
ml
Yml
Yml
)(),,(
,
,2
1
,
rRr
mll
=









++

J

thỏa
mãn các hệ thức giao hoán sau:

zxyyx
JiJJJJ

=
(1)

xyzzy
JiJJJJ

=
(2)
yzxxz
JiJJJJ

=
(3)
zyx
JJJ

,

,

là những toán tử Hermite
1) Chứng minh rằng: