Tng hp kin thc toỏn THCS Thy giỏo: Phm Vn nh
A. Các tập hợp số cơ bản
N =
Z =
Q =
R =
1. Biểu diễn trên trục số
- Trục nằm ngang
- Trục thẳng đứng
2. Quan hệ giữa các tập hợp số
N

Z

Q

R
I

R
Tập hợp các số thực lấp đầy trục số
Ngoài ra còn các kí hiệu: N
*
, Z
*
, Q
*
, R
*
, Z
+

,
yxyx ++
,
yxyx
,
yxyx =
,
yxyx :: =
c. các phép tính và tính chất của các phép tính
1. Phép cộng:
- Cộng 2 số cùng dấu
- Cộng 2 số khác dấu
Tính chất: Giao hoán, KH, cộng với 0, cộng với số đối.
2. Phép trừ: Là phép tính ngợc của phép tính cộng a - b = a + (-b)
3. Phép nhân:
- Nhân 2 số cùng dấu
- Nhân 2 số khác dấu
Tính chất: Giao hoán, KH, nhân với 1, nhân với số nghịch đảo, phân phối.
4. Phép chia: Là phép tính ngợc của phép tính nhân a : b = a .
b
1
( b

0).
Tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ
5. Phép nâng lên lũy thừa
* Định nghĩa:
* Các công thức:
6. Phép khai căn (bậc hai)
* Định nghĩa:

A A=
, (
A
)
2
= A (A
0
)
Nm hc: 2010 - 2011
1
Phần I:
Các tập hợp số cơ bản và các phép tính
Số học và đại số
Tng hp kin thc toỏn THCS Thy giỏo: Phm Vn nh
2)
.AB A B=
(với A
0

và B
0

)
3)
A A
B
B
=
( với A
0


và B
0

)
6)
=
1A
AB
B b
(với A.B

0 và B

0 )
7)
=
A A B
B
B
( với B > 0 )
8)
( )
=


m
2
C A B
C

- Quy tắc đa vào trong dấu ngoặc
f. Quy tắc chuyển vế:
a. tính chất chia hết của tổng và hiệu
Tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng (hiệu) đều chia hết cho cùng
một số thì tổng (hiệu) chia hết cho số đó.
Tính chất 2: Nếu chỉ có một số hạng không chia hết cho môt số, còn các số
hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng (hiệu) không chia hết cho số đó.
Một số tính chất khác:
a

m; a + b

m

b

m
a

m; a - b

m

b

m
a

m


a.
d. số nguyên tố và hợp số (trong N)
Nm hc: 2010 - 2011
2
Phần II:
tính chất chia hết, dấu hiệu chia hết
Tng hp kin thc toỏn THCS Thy giỏo: Phm Vn nh
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ớc là 1 và chính nó.
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ớc.
e. ƯC, BC, ƯCLN, BCNN.
1. Ước chung của 2 hay nhiều số là ớc của tất cả các số đó.
2. BC của 2 hay nhiều số là B của tất cả các số đó.
3. ƯCLN của 2 hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ƯC
Cách tìm ƯCLN:
- Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
- Lập tích các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất
4. BCNN của 2 hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các BC
Cách tìm BCNN:
- Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
- Lập tích các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất
5. Hai số a và b là nguyên tố cùng nhau khi ƯCLN(a, b) = 1
6. Số chính phơng là số bằng bình phơng của môt số tự nhiên.
1. Định nghĩa:
b
a
/ a, b

Z; b

0

=
(n

ƯC(a, b))
4. Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho một ƯC khác
1
của chúng.
5. Quy đồng mẫu (với mẫu dơng)
Tìm BC (BCNN) làm MC
Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu
Nhân cả tử và mẫu của mỗi PS với TSP tơng ứng.
6. So sánh 2 phân số
- Cùng mẫu dơng
- Không cùng mẫu
7. Cộng 2 phân số
- Cùng mẫu
- Không cùng mẫu
8. Tính chất của phép cộng
9. Phép trừ: Là phép toán ngợc của phép toán cộng
10. Phép nhân phân số:
bd
ac
d
c
b
a
=.
11. Tính chất của phép nhân
12. Phép chia phân số: Là phép toán ngợc của phép toán nhân
c

n
m
cđa nã
b»ng a, ta tÝnh a:
n
m
* T×m tØ sè cđa 2 sè: Mn t×m tØ sè cđa 2 sè a vµ b, ta tÝnh a:b
Bài tập
Bài 1/ Tính :
a)
3 7
5 5
 
+ −
 ÷
 
; b)
7 1 16
4
3 3 3
 
− + −
 ÷
 
; Đáp số : a)
4
5
−
; b)
10

4 2 10
 
− − −
 ÷
 
; e)
3 4 1 5
2 7 2 8
 
   
− − − +
 ÷  ÷
 
   
 
Đáp số : a)
284
105
−
; b)
23
12
−
; c)
91
60
−
; d)
81
20

; f)
2 1 4
x
3 2 5
 
− − − = −
 ÷
 
; g)
4 2 3 5
x 1 2
7 3 4 6
−
   
− − − + =
 ÷  ÷
   
Đáp số : a)
32
15
; b)
43
28
−
; c)
124
21
; d)
93
20

c)
1 3 3 1 1 1 2
3 4 5 2007 36 15 9
− + + − + −
d)
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 2006.2007
+ + + +
Đáp số : a) 6; b)
1
2006
; c)
1
2007
; d)
1 2006
1
2007 2007
− =
Bài 5/ Điền số nguyên thích hợp vào ô vuông sau:
Năm học: 2010 - 2011
4
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
a)
1 3 2 1 2 1
1 2
3 4 5 7 5 4
   
+ − < < + − −

7
được kết quả bao nhiêu
đem trừ cho
22
5
thì được kết quả là 5,75.
Đáp số :
901
140
Bài 8/ Tính:
a)
4 21
.
7 8
 
−
 ÷
 
; b) 1,02.
10
3
 
−
 ÷
 
; c) (-5).
4
15
−
;

; d)
14
15
; e) 0.
Bài 9/ Tính:
a)
1 1 1 1 143
2 1 . 2 1 :
4 3 3 4 144
   
− −
 ÷  ÷
   
; b)
17 3 1 4 22
. :
5 4 2 3 5
− −
   
+ +
 ÷  ÷
   
c)
1 9 12 8
. . : 2
3 8 11 11
−
   
−
 ÷  ÷

   
; b)
1 25 26
. .
5 13 45
   
− −
 ÷  ÷
   
c)
9 5 17 5
. .
13 17 13 17
−
   
− +
 ÷  ÷
   
; d)
7 2 2 2
. 2 1 .
5 3 5 3
− −
     
−
 ÷  ÷  ÷
     
Đáp số: a) -10; b)
2
9

Bài 12/ Tìm x ∈ Q, biết:
a)
7 3 3
x
12 5 4
−
 
− + =
 ÷
 
; b)
2006
2007.x x 0
7
 
− =
 ÷
 
c) 5(x-2) + 3x(2-x) = 0; d)
2 5 3
: x
3 2 4
+ =
Đáp số: a) x=
29
15
−
; b) x= 0 hoặc x =
2006
7

7 5 6 2
   
− + −
 ÷  ÷
   
Tìm tỉ số của A và B.
Đáp số: A:B =
17
80
:
39
35
=
119
624
Bài 15/ Tính nhanh:
a)
2006 2006 13
: .
2007 2007 17
 −
   
−
 ÷  ÷
 
   
 
; b)
252 173 2006
. :

2006
2007
; b)
2008
2007
−
1. §Þnh nghÜa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai tỉ số:
d
c
b
a
=
(a:b = c:d)
a, d gọi là Ngoại tỉ. b, c gọi là trung tỉ.
2. TÝnh chÊt:
Năm học: 2010 - 2011
6
PhÇn IV:
tØ lƯ thøc. tÝnh chÊt dÉy tØ sè b»ng nhau
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
TÝnh chÊt 1 (tÝnh chÊt c¬ b¶n):
bcad
d
c
b
a
=⇔=
TÝnh chÊt 2: ad = bc (a, b, c, d
≠
0)

1
5
và
3
5
.
Bài 3: Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số sau đây không? Nếu có hãy viết các tỉ lệ
thức đó: 3; 9; 27; 81; 243.
Bài 4: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
a)
x 0,15
3,15 7,2
=
; b)
2,6 12
x 42
- -
=
; c)
11 6,32
10,5 x
=
; d)
41
x
10
9
7,3
4
=

b b d
+
=
+
.
Bài 8 : Tìm x, y biết :
a)
x 17
y 3
=
và x+y = - 60 ; b)
x y
19 21
=
và 2x-y = 34 ; c)
2 2
x y
9 16
=
và x
2
+ y
2
=100
Bài 9 : Ba vòi nước cùng chảy vào một bĨ cã dung tích 15,8 m
3
từ lúc không có nước
cho tới khi ®Çy bĨ. Biết rằng thời gian chảy được 1m
3
nước của vòi thứ nhất là 3 phút,

x
y
x
y
====
3
3
2
2
1
1
- TØ sè 2 gi¸ trÞ bÊt k× cđa ®¹i lỵng nµy b»ng tØ sè 2 gi¸ trÞ t¬ng øng
cđa ®¹i lỵng kia:
2
1
2
1
y
y
x
x
=
;
3
1
3
1
y
y
x

y
y
x
x
=
; …………
Bài tập
Bài : Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, hoàn thành bảng sau:
x 2 5 -1,5
y 6 12 -8
Bài : Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận và khi x = 5, y = 20.
a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x và hãy biểu diễn y theo x.
b) Tính giá trò của x khi y = -1000.
Bài tập 3: Cho bảng sau:
x -3 5 4 -1,5 6
Năm học: 2010 - 2011
8
PhÇn VI:
§¹i lỵng tlt. ®¹i lỵng tln
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
y 6 -10 -8 3 -18
Hai đại lượng x và y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận không? Vì
sao?.
Bài tập 4: Tìm ba số x, y, z, biết rằng chúng tỉ lệ thuận với các số 5, 3, 2 và x–y + z =
8.
Bài tập 5: Cho tam giác ABC. Biết rằng
µ
µ
µ
A,B,C

x ta luôn xác đònh được chỉ một giá trò tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x
và x gọi là biến số (gọi tắt là biến).
* Nếu x thay đổi mà y không thay đổi thì y được gọi là hàm hằng.
Năm học: 2010 - 2011
9
PhÇn VII:
Hµm sè vµ ®å thÞ cđa hµm sè
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
* Hµm sè có thể được cho bằng b¶ng hc b»ng c«ng thøc
* KÝ hiƯu: y = f(x), cßn f(a) lµ …
2. MỈt ph¼ng täa ®é:
* MỈt ph¼ng täa ®é lµ g×?
* MỈt ph¼ng täa ®é dïng ®Ĩ x¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm trªn mỈt ph¼ng
* Täa ®é cđa ®iĨm trong mỈt ph¼ng täa ®é
3. §å thÞ cđa hµm sè
+ Tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn hệ thức y = f(x) thì được gọi là đồ thò
của hàm số y = f(x).
+ Đồ thò hàm số y = f(x) = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và
điểm (1; a).
+ Để vẽ đồ thò hàm số y = ax, ta chỉ cần vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm là
O(0; 0) và A(1; a).
Bài tập
Bài 1 : Hàm số f được cho bởi bảng sau:
x -4 -3 -2
y 8 6 4
a) Tính f(-4) và f(-2)
b) Hàm số f được cho bởi công thức nào?
Bài 2 : Cho hàm số y = f(x) = 2x
2
+ 5x – 3. Tính f(1); f(0); f(1,5).

3. Bậc của đơn thức có hệ số khác 0: là tổng số mũ của tất cả các biến có trong
đơn thức đó. Muốn xác đònh bậc của một đơn thức, trước hết ta thu gọn đơn thức
đó.
Số 0 là đơn thức không có bậc. Mỗi số thực kh¸c 0 coi là một đơn thức bËc 0.
4. Nh©n 2 ®¬n thøc: Ta nh©n hƯ sè víi nhau vµ nh©n c¸c phÇn biÕn víi nhau.
5. Đơn thức đồng dạng: là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến. Mọi
số thực đều là các đơn thức đồng dạng với nhau.
6. Cộng (trừ ) các đơn thức đồng dạng: ta cộng (trừ) các hệ số với nhau và giữ
nguyên phần biến.
Bài tập
* BIỂU THỨC ĐẠI SỐ. GÍÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bài 1 : Tính giá trò biểu thức
a. A = 3x
3
y + 6x
2
y
2
+ 3xy
3
tại
1 1
;
2 3
x y= = −
HD: Thay
1 1
;
2 3
x y= = −

.
2 3
−
   
 ÷  ÷
   
= -
1
8
+
1
6
-
1
18
=
1
72
−
Vậy
1
72
−
là giá trị của biểu thức trên tại
1 1
;
2 3
x y= = −
b. B = x
2


HD: Thay x = 5 ; y = 1 vào biểu thức x
2
+ 4xy - 3y
3
Ta được 5
2
+ 4.5.1 -3.1
3
= 25 + 20 - 3 = 42
Vậy 42 là giá trị của biểu thức trên tại x = 5 ; y = 1
Năm học: 2010 - 2011
11
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
Bài 3 : Giá trị của biểu thức 2x
2
y + 2xy
2
tại x = 1 và y = –3
HD: Thay x = 1 ; y = -3 vào biểu thức 2x
2
y + 2xy
2
Ta đđược 2.1
2
.(-3) +2.1(-3)
2
= -6 + 18 = 12
Vậy 12 là giá trị của biểu thức trên tại x = 1 ; y = -3
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức

2
−
+
; b/
1x
1x
2
+
−
;
HD: a) Để biểu thức
2x
1x
2
−
+
có nghĩa khi x
2
– 2
≠
0 => x
≠

2±
b) Để biểu thức
1x
1x
2
+
−

2
; -15x; 55; -14; 12x+3; -8x
4
y
6
z
5
;
2 4
3x y 2x
5x 1
+
+
.
HD: Đơn thức : 3x
2
; -15x; 55; -14; -8x
4
y
6
z
5
Khơng là đơn thức : 12x+3;
2 4
3x y 2x
5x 1
+
+
Bài 2 : Thu gọn và chỉ ra phần hệ số, phần biến và bậc của các đơn thức sau :
a/ -5x

4
.y.z
5
.z
2
= 15x
3
y
5
z
7
Hệ số : 15 ; biến : x
3
y
5
z
7
; bậc : 15
b) 12xy
3
z
5
(
1
4
x
3
z
3
) = 12.

. .
4 5
x x y x y
   
−
 ÷  ÷
   
; B=
( )
5 4 2 2 5
3 8
. .
4 9
x y xy x y
   
− −
 ÷  ÷
   
HD: A=
3 2 3 4
5 2
. .
4 5
x x y x y
   
−
 ÷  ÷
   
=
2 3 3 4 8 5

 
− −
 ÷
 
=
8 11
2
. .
3
x y
Hệ số :
2
3
; phÇn biến : x
8
y
11
; bậc : 19
Bài 4 : Tìm tích của các đơn thức rồi chỉ ra phần biến, phần hệ số, bậc của đơn thức kết
quả :
a/ 5x
2
y
3
z và -11xyz
4
; b/ -6x
4
y
4

3
y
4
z
5
; bậc : 12
b/ Tích -6x
4
y
4
và
2
3
-
x
5
y
3
z
2
. = -6x
4
y
4
.(
2
3
-
x
5

HD: a) A.B = -120x
3
y
4
z
5
.( -
5
18
xyz.) = 33
1
3
x
4
y
5
z
6
Hệ số : 33
1
3
; biến : x
4
y
5
z
6
; bậc : 15
b) Thay x = -2 ; y= 1 ; z = -1 vào biểu thức 33
1

( ) ( )
3
242323
yxaxaxz
2
1
ybx5axy
11
6
.yx
9
7
C
+






−−+






=

HD:

D
−−
−+






=
(với axyz ≠ 0)10 7
5 4 2
3
. 16
2
6
x y
D
ax y z
−
=
Bài 7: Tính tích các đơn thức rồi cho biết hệ số và bậc của đơn thức đối với tập hợp các
biến số (a, b, c là hằng)
a)
5
243
zyx)1a(

2
b
2
xy
2
z
n-1
) .(-b
3
cx
4
z
7-n
) = - a
2
b
5
cx
5
y
2
z
6
Hệ số : - a
2
b
5
c ; phÇn biến : x
5
y

9 125
.
10 27
a a x x yy z
 
 
− −
 ÷
 ÷
 
 
=
6 17 7 3
1
4
6
a x y z

Hệ số :
6
1
4
6
a
; biến :
17 7 3
x y z
; bậc : 27
* ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG. TỔNG VÀ HIỆU CÁC ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG
Bài tập 8 : Phân thành nhóm các đơn thức đồng dạng trong các đơn thức sau :

4
và -7x
2
y
3
z
4
; b/ -5x
2
y ; 8x
2
y và 11x
2
y.
HD: a) 12x
2
y
3
x
4
+ (-7x
2
y
3
z
4
) = (12 – 7 ) x
2
y
3

x
4
y
5
z
6
;
2
3
x
4
y
5
z
6
Tổng = -7x
4
y
5
z
6
+
1
3
x
4
y
5
z
6

y
4
; B= -6 x
2
y
4
; C = 9 x
2
y
4
.
a) Tính A.B.C và A+B ; A+C ; B+C ; A-B ; A-C ; B-C.
b) Tính giá trò của biểu thức B-A và C-A biết x = -2; y = 3.
Giải :
a) A.B.C = -12x
2
y
4
.( -6 x
2
y
4
) .( 9 x
2
y
4
) = 648. x
6
y12.
A+B = -12x

2
y
4
= 3 x
2
y
4
A - B = -12x
2
y
4
+ 6 x
2
y
4
= -6x
2
y
4
A - C = -12x
2
y
4
- 9 x
2
y
4
= -21x
2
y

3
z
2
; b/ - 6x
3
yz
5
- =
3
2
x
3
yz
5
.
I. ®a thøc.
1. Định nghĩa: Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng được
gọi là một hạng tử của đa thức đó.
Năm học: 2010 - 2011
15
PhÇn IX:
®a thøc. céng, trõ, nh©n, chia ®a thøc
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
2. Thu gọn đa thức: là viết đa thức dưới dạng khơng còn 2 đa thức nào đồng dạng.
3. Bậc của đa thức: là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn.
* Một số khác 0 là đa thức bậc 0.
* Số 0 là đa thức khơng có bậc.
4.Đa thức một biến: là tổng của các đơn thức của cùng một biến. Do đó mỗi một số
cũng được coi là đa thức của cùng một biến.
+ Người ta thường sắp xếp đa thức 1 biến theo lũy thừa tăng hoặc giảm.


Vậy
1
3
−
là nghiệm của đa thức g(x)
b) h(x) = f(x) - g(x) = 5x – 7 - 3x - 1 = 2x - 8
Cho 2x - 8 = 0 => x = 4
Vậy 4 là nghiệm của đa thức h(x)
c) Vậy với x = 4 thì f(x) = g(x)
Bài 2: Cho đa thức f(x) = x
2
+ 4x - 5
Số -5 có phải là nghiệm của f(x) khơng?
Giải :
Ta có f(-5) = 25 – 20 - 5 = 0
Vậy -5 là nghiệm của đa thức f(x)
Năm học: 2010 - 2011
16
Tổng hợp kiến thức toán THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định

Bài 3: Thu gọn rồi tìm nghiệm của các đa thức sau:
a/ f(x) = x(1-2x) + (2x
2
-x + 4)
b/ g(x) = x (x - 5) - x ( x +2) + 7x
c/ h(x) = x (x -1) + 1
Giải :
f(x) = x( 1 - 2x ) + (2x
2

+ m nên 1 - 3 + m = 0 => m = 2
Bài 5: Cho đa thức f(x) = x
2
+mx + 2
a/ Xác định m để f(x) nhận -2 làm một nghiệm
b/ Tìm tập hợp các nghiệm của f(x) ứng với giá trị vừa tìm được của m
Giải :
a/ Để f(x) nhận -2 làm một nghiệm thì 4 - 2m + 2 = 0 => m = 3
b/ x
2
+ 3x + 2 = 0 => x
2
+ x + 2x + 2 = 0 => x( x + 1 ) + 2(x + 1)
( x + 1)( x + 2 ) = 0 => x = -1 hoặc x = -2
Bài 6 Cho đa thức P(x) = 5x −
1
2

a. Tính : P(1) , P(−
3
10
)
b. Tìm nghiệm của đa thức trên
Giải :
a) P(1) =
9
2
; P(−
3
10

M(x) = P(x) + Q(x) = ( x
4
− 5x + 2x
2
+ 1 ) + (5x +
3
2
x
2
+ 5+
1
2
x
2
+ x
4
)
= 2x
4
+ 4x
2
+ 5 + 6
Năm học: 2010 - 2011
17
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
Vì 2x
4

≥
0 => 4x

2
. d) k(x) = ax + b (với a, b là các hằng số)
II. céng, trõ, nh©n, chia ®a thøc
1. Cộng, trừ đa thức:
+ Muốn cộng hai đa thức, ta viết liên tiếp các hạng tử của hai đa thức cùng với dấu của
chúng rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu có).
+ Muốn trừ hai đơn thức, ta viết các hạng tử của đa thức thứ nhất cùng với dấu của
chúng rồi viết tiếp các hạng tử của đa thức thứ hai với dấu ngược lại. Sau đó thu gọn
các hạng tử đồng dạng của hai đa thức (nếu có).
Bài tập
• ĐA THỨC. CỘNG VÀ TRỪ ĐA THỨC
Bài 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức:
3x
2
; 5x
2
-4xy; 18; -9xy + 3y
3
;
2
2
4x y 2xy
y 5
+
+
; 0; -2
1
5
HD: Đa thức : 3x
2

2
– y
9
+ (-5 + 3 )
= 5x
2
y
4
– 2x
2
– y
9
– 2
Bậc của đa thức là 9
Bài 3 : Tính giá trò của các đa thức :
a) 5x
2
y – 5xy
2
+ xy tại x = -2 ; y = -1.
Năm học: 2010 - 2011
18
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
b)
1
2
xy
2
+
2

2
+
2
3
x
2
y – xy + xy
2
-
1
3
x
2
y + 2xy
= (
1
2
xy
2
+ xy
2
) + (
2
3
x
2
y -
1
3
x

.
1
2
.1
2
-
1
3
.(
1
2
)
2
.1 +
1
2
.1 =
3
4
-
1
12
+
1
2
=
14 7
12 6
=
Vậy

y + x
3
– 5xy
2
+ xy + 11
Bài 5 : Cho đa thức A = 5xy
2
+ xy - xy
2
-
1
3
x
2
y + 2xy + x
2
y + xy + 6.
a) Thu gọn rồi xác đònh bậc của đa thức kết quả.
b) Tìm đa thức B sao cho A + B = 0
c) Tìm đa thức C sao cho A + C = -2xy + 1.
HD:
a) A = (5xy
2
- xy
2
) + ( xy + 2xy + xy ) + (-
1
3
x
2

2
3
x
2
y + 6 + C = -2xy + 1.
C = -2xy + 1. – (4 xy
2
+ 4xy +
2
3
x
2
y + 6 )
Năm học: 2010 - 2011
19
Tổng hợp kiến thức toán THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
= -6xy - 4 xy
2
-
2
3
x
2
y - 5
Bài 6. Cho hai đa thức: P(x) = 2x
4
− 3x
2
+ x −
3

+ 2xy - y
2
)
= (4x
2
+ 3x
2
) + (-5xy + 2xy ) +( 3 y
2
- y
2
)
= 7x
2
- 3xy + 2y
2

A - B = (4x
2
– 5xy + 3y
2
) - (3x
2
+ 2xy - y
2
)
= (4x
2
- 3x
2

+- 7xy - 4y
2

Baøi 8 : Tìm ña thöùc M,N bieát :
a. M + (5x
2
– 2xy) = 6x
2
+ 9xy – y
2
b. (3xy – 4y
2
)- N= x
2
– 7xy + 8y
2
ĐS : M = x
2
+ 11xy - y
2

N = -x
2
+10xy -12y
2

Bài 9 : Cho ña thöùc
A(x) = 3x
4
– 3/4x

- 9x +17/5
Bài 10 : Hãy viết các đa thức dưới dạng tổng của các đơn thức rồi thu gọn.
a/ D = 4x(x+y) - 5y(x-y) - 4x
2
b/ E = (a -1) (x
2
+ 1) - x(y+1) + (x +y
2
- a + 1)
ĐS : D = 5y
2
- xy
E = ax
2
- x
2
+ y
2
- xy

Bài 11: Xác định a, b và c để hai đa thức sau là hai đa thức đồng nhất
Năm học: 2010 - 2011
20
Tổng hợp kiến thức tốn THCS Thầy giáo: Phạm Văn Định
A = ax
2
- 5x + 4 + 2x
2
– 6 = (a + 2 )x
2

C = 5x
3
y + 3x
2
y
2
+ 17y
4
+ 1.Tính A+B-C
HD: A + B – C = x
4
- 10x
3
y - x
2
y
2
- 32y
4
- 1
Bài 13: Cho đa thức M(x) = -9x
5
+ 4x
3
– 2x
2
+ 5 x – 3. Tìm đa thức N(x) là đa thức
đối của đa thức M(x).

HD: N(x) = 9x

2
( x – y ) + y
2
(x – y ) + 3 = 3
Bài 15 : Tìm đa thức A biết: A+ (3x
2
y −2xy
3
) = 2x
2
y − 4xy
3
A = ( 2x
2
y − 4xy
3
) – ( 3x
2
y −2xy
3
) = (2x
2
y - 3x
2
y) + (-4xy
3
+ 2xy
3
)
A = -x

3
2
- 4 + 1 = -
3
2
Vậy -
3
2
là giá trò của biểu thức trên tại 3xy
2
+ 8xy + 1
Bài 17: Cho đa thức f(x) = 2x
3
– x
5
+ 3x
4
+ x
2
-
1
2
x
3
+ 3x
5
– 2x
2
– x
4

+ 3x
5
) + (3x
4
– x
4
) + (2x
3
-
1
2
x
3
) +( x
2
– 2x
2
) + 1
= 2 x
5
+ 2x
4
+
3
2
x
3
- x
2
+ 1 Bậc 5

+ 3x
3
– 2x
2
+ x
3
– 3x + 2 – 3x
4
.
a) Thực hiện thu gọn (nếu có) các đa thức trên.
b) Tính A(x) + B(x); A(x) – B(x).
HD:
a) B(x) = -x
4
+ 3x
3
– 2x
2
+ x
3
– 3x + 2 – 3x
4
.
= (-x
4
– 3x
4
) + ( 3x
3
+ x

b) P(x) – Q(x) = -x
3
– 5
2
+ 3x + 6
Bài 20 (2 điểm) Cho đa thức M = x
2
+ 5x
4
− 3x
3
+ 4x
2
+ x
4
+3x
3
−x + 5
và đa thức N=x −5x
3
− 2x
2
−8x
4
+ 4x
3
−x+5.
a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến;
b. Tính M + N, M − N ;
HD:

3
− 2x
2
+ 5.
b) M + N = −2x
4
- x
3
+ 3x
2
- x + 10
M – N = 14x
4
+ x
3
+ 7x
2
- x
Năm học: 2010 - 2011
22
Tng hp kin thc toỏn THCS Thy giỏo: Phm Vn nh
Baứi 21 : Tớnh ủa thửực h(x) sao cho h(x) = g(x) f(x):
a) f(x) = x
2
+ 2x 1 vaứ g(x) = x + 3.
b) f(x) = x
4
3x
3
+ 2x 1 vaứ g(x) = - 5x

HD:
Ta cú f(x) + g(x) + f(x) - g(x) = 10x
4
- 6x
3
+ 4x
2
+ 8x 14
2f(x) = 10x
4
- 6x
3
+ 4x
2
+ 8x 14
f(x) = 5x
4
- 3x
3
+ 2x
2
+ 4x 7
g(x) = ( 6x
4
- 3x
2
5 ) - (5x
4
- 3x
3

3
- 4x(bx +1) + c- 3 = x
3
4bx
2
- 4x + c- 3
f(x) = g(x) thỡ a + 4 = 1 => a = -3
4b = 4 => b = 1
c - 3 = 8 => c = 11
2. Nhân đa thức:
* Nhân đơn thức với đa thức:
+ Nhõn n thc vi a thc ta ly n thc nhõn vi tng hng t ca a thc.
+ Chú ý: Từng hạng tử của đa thức là các đơn thức do vậy khi nhân lu ý đến dấu của
hệ số các đơn thức.
+ Ví dụ: - 2a
2
b.( 3ab
3
- 4a
2
b) = -2a
2
b.3ab
3
- 2a
2
b.(- 4a
2
b) = - 6a
3

2
y) =
e/ (2x + y)(2x - y) = f/ (xy - 1)(xy + 5) =
3. Chia đa thức:
* Chia hai luỹ thừa cùng cơ số:
Nm hc: 2010 - 2011
23
Tng hp kin thc toỏn THCS Thy giỏo: Phm Vn nh
Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ.
a
m
: a
n
= a
m - n
ví dụ: x
3
: x
2
= x
* Chia đơn cho đơn thức :
+ Chia n thc cho n thc , ta chia h s cho h s , chia luỹ thừa cùng cơ số
vi nhau.
+ Ví dụ: 15x
3
y : (-3x
2
) = 15:(-3).x
3
:x

+ 11x - 3
2x
4
- 8x
3
- 6x
2
- 5x
3
+ 21x
2
+ 11x - 3
- 5x
3
+ 20x
2
+ 10x
- x
2
- 4x - 3
- x
2
- 4x - 3
0
x
2
- 4x - 3
2x
2
- 5 x + 1

3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
-LP PHơNG CA MT TNG : (A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
-LP PHNG CA MT HIU : (A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
Bài tập áp dụng: ( hằng đẳng thức)
a/ (x + 4y)

+ 27 =
n/ ( x +1)
3
= p/ ( x - 2)
3
=
IV. Phõn tớch a thc thnh nhõn t :
1. Phng phỏp t nhõn t chung
Nm hc: 2010 - 2011
24
Tng hp kin thc toỏn THCS Thy giỏo: Phm Vn nh
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích.
+ Tìm nhân tử chung.
+ Viết nhân tử chung ngoài dấu ngoặc,các hạng tử còn lại trong ngoặc là thơng của
các hạng tử tơng ứng với nhân tử chung
Ví dụ: a/ 12x
2
- 4x = 4x. 3x - 4x = 4x(3x - 1).
b/ x(y-1) +3(y-1) = (y - 1)(x +3)
2. Phng phỏp dựng hng ng thc
+ Dùng các hằng đẳng thức để phân tích theo các dạng sau:
Dạng 3 hạng tử: A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
A
2
- 2AB + B

2
)
Chú ý: Bình bình phơng thiếu của hiệu
Ví dụ: x
3
+ 1 = (x +1)(x
2
- x +1)
Dạng hai hạng tử với phép tính trừ, mỗi hạng tử là lập ph ơng của một biểu thức
A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
Ví dụ: x
3
- 1 = (x - 1)(x
2
+ x + 1).
3. Phng phỏp nhúm nhiu hng t
(Thờng dùng cho loại đa thức có bốn hạng tử trở lên)
+ Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm
+ áp dụng liên tiếp phơng pháp đặt nhân tử chung.hoặc hằng đẳng thức.
Ví dụ: 2x
3
- 3x

3
- 1 3/ -3xy
3
- 6x
2
y
2
+18y
2
x
3
4/ 18(a- b) - 15a(b - a) 5/ 12x - 9- 4x
2
6/ 1- 2y + y
2

7/ x
2
- 4 8/ 10x-25 - x
2
9/ x
2
+2x+1- y
2
10/ 2xy- x
2
- y
2
+16 11/ 25x - x
3