Biên soạn: Lê Đình Huy
1 Lời nói đầu

Tài liệu nhỏ này được biên soạn nhân dịp tôi và các bạn làm đề tài Toán rời
rạc. Nội dung chủ yếu của tài liệu này viết về lí thuyết đồ thị, và đi sâu về đồ thị
Halmilton. Xin nói rằng, tôi không lấy làm hãnh diện khi viết xong tài liệu này.
Đây chỉ là một chút sự góp nhặt nhỏ bé từ các tài liệu khác (chủ yếu là: Đại cương
về toán học hữu hạn – Hoàng Chúng) mà được tôi rút ra để tổng hợp lại những gì
đã được học.
Tất nhiên một mình tôi thì không thể biên soạn được tài liệu này. Trong quá
trình biên soạn, xin chân thành cám ơn nhóm đề tài toán rời rạc của lớp tôi gồm
các bạn: Cù Minh Khương; Phạm Thị Thu Hà; Phan Phương Dung; Nguyễn Thi
Thùy Dung; Phạm Thị Nâu. Cám ơn các thầy cô đã đón nhận. Chắc chắn tài liệu
sẽ có những sai sót không tránh khỏi, hi vọng được thầy cô, bạn đọc đón nhận và
góp ý.
Mùa xuân, Canh Dần, TP Hồ Chí Minh

Lê Đình Huy


Một đa graph G được xác định bởi:
Biên soạn: Lê Đình Huy
3

_ Tập hợp V những phần tử gọi là đỉnh của G.
_ Bộ E những phần tử gọi là cạnh của G; mỗi cạnh là một cặp không sắp thứ tự
của 2 đỉnh.
Giả thuyết rằng V là các tập hữu hạn, không rỗng và E là một bộ gồm hữu hạn
phần tử.
Một bộ (khác với một tập hợp) có thể chứa nhiều phần tử trùng nhau.Trong đa
graph, E có thể chứa nhiều cạnh cùng nối một cặp đỉnh.
Mỗi cạnh là một cặp không sắp (không sắp thứ tự) của 2 đỉnh không nhất thiết
khác nhau( như graph).
VD2: Đa graph G được xác định bởi:
V = {u,v,x,y}
E = {uv,uv,ux,xy,yy}
Đa graph G có 2 cạnh uv cùng nối 1 cặp đỉnh,ta gọi đó là những cạnh song
song (cạnh bội). Cạnh yy có 2 đầu mút trùng nhau, ta gọi là khuyên.
Một đa graph không có cạnh song song và không có khuyên (như VD1) gọi là
một graph.
(Các thuật ngữ về graph hiện chưa thống nhất. Có tác giả dùng đồ thị (đa đồ thị)
thay cho graph (đa graph). Có tác giả gọi đa graph và graph lần lượt là graph và
đơn graph. Có tác giả gọi đa graph là giả graph, một giả graph không có khuyên
gọi là đa graph, một đa graph không có cạnh song song gọi là graph. Vì vậy, khi
đọc các tài liệu người đọc cần chú ý đến thuật ngữ mà tác giả sữ dụng.)
II Biểu diễn graph:
Ta thường dùng biểu diễn hình học của graph như sau: biểu diễn các đỉnh của
graph bằng các điểm (vòng tròn nhỏ,ô vuông nhỏ) và nối 2 điểm bằng 1 đường
(cong hay thẳng) khi cặp điểm đó ứng với 1 cạnh của graph.
Đinh lí: Mọi graph G đều có thể biểu diễn bằng 1 hình trong không gian.

1
0
ij
ij
ij
khi v keà v
a
khi v khoâng keà v

Biên soạn: Lê Đình Huy
5 VD3:
Biểu diễn graph G trong VD1 như sau: 0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 0 0 1 1
1 1 1 0 0
1 0 1 0 0III Bậc của đỉnh:
Một đỉnh v của graph G là đỉnh bậc n nếu v kề với n đỉnh khác.


cũng kề nhau và ngược lại.
Dễ thấy rằng nếu 2 graph G và G’ là đẳng cấu thì chúng có:
_ số đỉnh bằng nhau.
_ số cạnh bằng nhau.
_ hai đỉnh tương ứng với nhau là 2 đỉnh cùng bậc.
Đó là những điều kiện cần để 2 graph là đẳng cấu. VD5: Chứng minh 2 graph G và G’ dưới hình sau là đẳng cấu.

Biên soạn: Lê Đình Huy
7

u
G'
G
s
t
v
y
x
w
z
e
b
h
g
f
c
d

G’ là graph con của G nếu V’ V và E’ E. Trong trường hợp V = V’ thì G’
là graph con bao trùm của G.
VD6:
G
5
G
4
G
3
G
2
G
1
G
b
a
d
c
e
b
c
d
a
b
c
e
d
a
c
b

Trong một graph G, một dãy cạnh liên tiếp
v
0
v
1
,v
1
v
2
,… , v
n-2
v
n-1
,v
n-1
v
n
(n 0)
được gọi là một đường đi từ v
0
(đỉnh đầu) đến v
n
(đỉnh cuối), chứa (qua) các đỉnh
v
0
, v
1
,

… , v

của đường đi thì ta viết:
Biên soạn: Lê Đình Huy
9

Đường đi v
0
- v
n
.
Đường đi qua n cạnh gọi là đường đi có độ dài n.
Một đường đi không qua cạnh nào lần thứ hai là một đường đi đơn giản.
Một đường đi không qua đỉnh nào lần thứ hai là một đường đi sơ cấp.
Một đường đi sơ cấp là một đường đi đơn giản nhưng một đường đi đơn giản có
thể không là đường đi sơ cấp.
Một đường đi khép kín (đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối) và có độ dài n 3 gọi là một
chu trình. Một chu trình không qua cạnh nào lần thứ hai là một chu trình đơn giản.
Một chu trình không qua đỉnh nào lần thứ hai, trừ đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng
nhau là một chu trình sơ cấp.
VD7:

z
x
y
u
v

Trong hình trên, uvyz là đường đi sơ cấp từ u đến z (độ dài 3); uyxvyz là đường đi
không sơ cấp (qua đỉnh y hai lần) từ u đến z (độ dài 5); yvxyv là đường đi không
đơn giản (chứa cạnh yv hai lần) từ y đến v (độ dài 4); vyxv là một chu trình đơn
giản và sơ cấp (độ dài 3); vv là một đường đi độ dài 0.


Cho graph G(V, E) và v là một đỉnh của G; gọi V’ là tập hợp các đỉnh của G liên
thông với v và E’ là tập hợp các cạnh của G nối 2 đỉnh của V’. Graph G’(V’, E’),
một graph con của G(V, E), gọi là thành phần liên thông của G chứa v.
Đương nhiên, nếu v và u liên thông trong G thì thành phần liên thông của G
chứa v cũng là thành phần liên thông của G chứa u.
Có thể thấy rằng mọi graph G đều có k thành phần liên thông: mỗi đỉnh của
G thuộc một và chỉ một thành phần liên thông; hai đỉnh liên thông với nhau thì
thuộc một thành phần liên thông, hai đỉnh không liên thông thì thuộc hai thành
phần liên thông khác nhau.
VD9:
Xét graph G
2
trong VD8 có 3 thành phần liên thông:
+ thành phần liên thông chứa a là G
1
(V
1
, E
1
), trong đó:
V
1
= {a, b, c, d} và E
1
= {ab, bc, cd, ca};
+ thành phần liên thông chứa e là G
2
(V
2

d)
c)
b)
a)

Hình trên cho ta thấy các graph 0 - đều (hình a), 1 - đều (hình b), 2 - đều (hình c,
d), 3 – đều (hình e).
2) Graph đầy đủ là 1 graph mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau. Một graph đầy đủ có
p đỉnh, kí hiệu là K
p
. K
p
là 1 graph (p -1) – đều, có
( 1)
2
pp
cạnh.
VD11:
K
5
K
4
K
3
K
2

Biên soạn: Lê Đình Huy
12



Một graph hai phe mà mỗi đỉnh của V
1
(có m đỉnh) đều kề với mọi đỉnh của V
2

(có n đỉnh) gọi là một graph hai phe đầy đủ, kí hiệu là K
m,n
.
VD13:
K
3,3
K
2,3

IX Một số phép biến đổi về graph:
1) Ta kí hiệu G – {v} là graph con của G, có được bằng cách xóa đỉnh v và các
cạnh của G, nối với v. Nếu xóa 2 đỉnh u, v của G, ta có graph con
G – {u,v}.
Ta kí hiệu G – uv là graph con của G, có được bằng cách xóa cạnh uv của G.
Nếu xóa hai cạnh uv, xy, ta có graph G – {uv, xy}.
v là một đỉnh cắt (hay khớp) của graph G nếu G liên thông, mà G – {v} thì
không liên thông.
uv là một cầu của G nếu G liên thông mà G - uv không liên thông.
VD14:
Biên soạn: Lê Đình Huy
13

G - de
G - ab

VD15:

G U cf
G + ce
G
b
c
d
e
f
a
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e

2) Graph G’ (V,E’) là graph bù của graph G(V,E) nếu G và G’ không có cạnh
chung(E E’= ) và G(V, E) + E’ là graph đầy đủ. Nói cách khác, G và G’ bù
nhau nếu chúng tập đỉnh và cạnh nào đã có trong G thì không có trong G’ và
ngược lại.
VD16:
Biên soạn: Lê Đình Huy
14


+ tập hợp cạnh được xác định như sau: Hai đỉnh (v
i
, v’
j
) và (v
k
, v’
p
) trong G x
G’ được nối bằng một cạnh khi chỉ khi
v
i
= v
k
và v’
j
v’
p
E’ (a)
hoặc v’
j
= v’
p
và v
i
v
k
E (b)
VD17:
Cho graph đầy đủ K


Để cho gọn, trong K
2
x K
2
ta kí hiệu các đỉnh 00, 01,… thay cho (0,0), (0,1)…
Dùng khái niệm graph tích, ta có khái niệm hình n – lập phương (siêu lập phương)
Q
n
như sau:
Q
1
= K
2

Q
n
= Q
n-1
x K
2
với n 2
VD18:
Q
4
0111
0010
0001
0110
0000

đường cong có mũi tên đi từ gốc tới ngọn. Ta cũng nói: cung uv đi ra khỏi u và đi
vào v.
Một đa graph có hướng, không có cạnh song song và không có khuyên gọi là
một graph có hướng.
Trong graph có hướng H, nếu đỉnh v là gốc của k cung thì ta nói v có bậc ra là
k; nếu v là ngọn của m cung thì ta nói v có bậc vào là m. Bậc của đỉnh v là k + m =
n.
Biên soạn: Lê Đình Huy
16

Đường đi trong graph có hướng cũng được định nghĩa tương tự như trong
graph vô hướng, nhưng chú ý là trên cung uv chỉ có thể đi từ u (gốc) đến v (ngọn).
Trong một graph có hướng H nếu ta thy mọi cung bằng một cạnh (hai cung uv
và vu, nếu có, cũng đều được thay bằng một cạnh uv) thì ta được graph G, gọi là
graph đối xứng của H.
Một graph có hướng H là liên thông yếu nếu graph đối xứng G của H liên
thông.
H là liên thông một chiều nếu với 2 đỉnh u, v khác nhau bất kì của H luôn có
đường đi u – v hoặc v – u.
H là liên thông hai (liên thông mạnh) chiều nếu với 2 đỉnh u, v khác nhau bất
kì của H luôn có đường đi u – v và v – u. ĐƯỜNG ĐI HAMILTON
VÀ GRAPH HAMILTON
Năm 1857, nhà toán học người Ailen là Hamilton (1805 – 1865) đưa ra trò
chơi “Đi vòng quanh thế giới” như sau.
Cho một hình thập nhị đều (có 12 mặt, 20 đỉnh và 30 cạnh), mỗi đỉnh của hình
mang tên một thành phố nổi tiếng, mỗi cạnh của hình (nối hai đỉnh) là đường đi lại
giữa hai thành phố tương ứng. Xuất phát từ một thành phố, hãy tìm đường đi thăm

Mọi graph đầy đủ (với số đỉnh không nhỏ hơn 3) cũng là graph Hamilton.
Đường đi Hamilton tương tự đường đi Euler trong cách phát biểu: đường đi
Euler qua mọi cạnh của graph đúng một lần, đường đi Hamilton qua mọi đỉnh của
Biên soạn: Lê Đình Huy
19

graph đúng một lần. Tuy nhin, nếu như bi tốn tìm đường đi Euler trong một graph
đ được giải quyết trọn vẹn, dấu hiệu nhận biết một graph Euler là khá đơn giản v
dễ sử dụng, thì cc bi tốn về tìm đường đi Hamilton và xác định graph Hamilton lại
khĩ hơn rất nhiều. Đường đi Hamilton và graph Hamilton cĩ nhiều ý nghĩa thực
tiễn v đ được nghin cứu nhiều, nhưng vẫn cịn những khĩ khăn lớn chưa ai vượt qua
được.
Người ta chỉ mới tìm được một vài điều kiện đủ để nhận biết một lớp rất nhỏ
các graph Hamilton và graph có đường đi Hamilton. Sau đây là một vài kết quả.
Định lý (Dirac, 1952): Nếu G l một graph có n đỉnh và mọi đỉnh của G đều cĩ
bậc khơng nhỏ hơn
2
n
thì G l một graph Hamilton.
Chứng minh: Định lý được chứng minh bằng phản chứng. Giả sử G khơng cĩ
chu trình Hamilton. Ta thêm vào G một số đỉnh mới và nối mỗi đỉnh mới này với
mọi đỉnh của G, ta được graph G’. Giả sử k (>0) là số tối thiểu các đỉnh cần thiết
để G’ chứa một chu trình Hamilton. Như vậy, G’ cĩ n + k đỉnh.

Gọi P l chu trình Hamilton ayb a trong G’, trong đó a và b là các đỉnh của
G, cịn y là một trong các đỉnh mới. Thế thì b khơng kề với a, vì nếu tri lại thì ta cĩ
thể bỏ đỉnh y và được chu trình ab a, mu thuẩn với giả thiết về tính chất nhỏ tối
thiểu của k.
Hơn nửa, nếu a’ là một đỉnh kề nào đó của a (khác với y) và b’ là đỉnh nối
tiếp ngay a’ trong chu trình P thì b’ khơng thể l đỉnh kề với b (vì nếu tri lại thì ta cĩ

d
a

Graph này có 8 đỉnh, đỉnh nào cũng có bậc 4. Vậy đây là graph Hamilton. Có
thể thấy một chu trình Hamilton l
a g c k d h b e a
Hệ quả: Nếu G l graph có n đỉnh và mọi đỉnh của G đều có bậc khơng nhỏ
hơn
1
2
n
thì G chứa một đường đi Hamilton.
Định lý (Ore, 1960): Nếu G l một graph có n đỉnh và bất kỳ hai đỉnh nào
không kề nhau cũng có tổng số bậc không nhỏ hơn n thì G l một graph Hamilton.
VD20:
Biên soạn: Lê Đình Huy
21 g
h
e
b
c
d
a

Graph này có 7 đỉnh, bất kì 2 đỉnh nào không kề nhau (a v c; a v g; b v h; d
v e;…) đều có tổng số bậc không nhỏ hơn 7. Vậy đây là graph Hamilton.
Định lý: Nếu G l một graph hai phe với hai tập đỉnh là V

VD22:
Biên soạn: Lê Đình Huy
22 3
6
1
2
3
1
z
y
x
v
u

Trong graph có trọng số ở hình trên ta có:
m(uv) = 3; m(vx) = 2; m(xy) = 1; …
Nếu đường đi u – y là uxy thì m(u, y) = m(ux) + m(xy) = 6+1 = 7
Đường đi u – y ngắn nhất ở đây là
d(u, y) = m(uz) + m(zx) + m(xy) = 1 + 3 +1 = 5
Có thể coi một graph G là một graph có trọng số mà mọi cạnh đều có chiều
dài 1. Lúc đó khoảng cách d(u, y) giữa 2 đỉnh u và y là chiều dài của đường đi u –
y ngắn nhất, tức là đường đi qua ít cạnh nhất.

BÀI TOÁN NGƯỜI DU LỊCH
Một khách du lịch đang ở thành phố A, muốn đi thăm một số thành phố khác,
mỗi thành phố chỉ một lần, rồi trở về A. Giữa bất kì 2 thành phố nào cũng có một
“đường thẳng” nối với nhau, không phải đi qua một thành phố nào khác. Phải