TÀI LIỆU
ÔN THI VÀO CÁC LỚP CHUYÊN
MÔN TOÁN
Năm học
Giáo viên biên soạn và giảng dạy :
Chuyên đề 1:
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
A.Tóm tắt giáo khoa
I. Phương trình bậc hai:
2
0ax bx c+ + =
(1) (
0a
≠
)
1. Cách giải:
Tính biệt số
2
4b ac∆ = −
( hoặc
' 2 '
' với b
2
b
b ac∆ = − =
)
Nếu
0
∆ <
1,2
b
x
a
− ± ∆
=
)
2. Trường hợp đặc biệt:
Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a+b+c = 0 thì pt (1) có hai nghiệm là
1 2
1 và x
c
x
a
= =
Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a-b+c = 0 thì pt (1) có hai nghiệm là
1 2
1 và x
c
x
a
= − = −
3. Điều kiện về nghiệm số của bậc hai:
Đònh lý : Xét phương trình :
2
0ax bx c+ + =
(1) (
0a ≠
)
a
+ = −
=
Đònh lý đảo : Cho hai số bất kỳ
,
α β
. Khi đó chúng là nghiệm của phương trình
x
2
- Sx + P = 0 với S =
α β
+
và P =
.
α β
Ý nghóa của đònh lý VIÉT:
Cho phép tính giá trò các biểu thức đối xứng của các nghiệm và xét dấu các nghiệm mà không cần
giải phương trình .
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x
1
và x
2
của phương trình ax
2
10
110
1
4
4521
4
2
4
1
4
2
4
1
5
2
5
1
9
2
9
19
42
4
4
2
4
1
24
2
1
23
2
3
1
6
2
6
16
1
2
2321
2
2
2
1
2
2
2
1
3
2
3
1
5
2
5
15
22
2
SPSS)xx(xx)xx)(xx(xxS
P2Sxx2)xx(xxS
SPSS)xx(xx)xx)(xx(xxS
P2Sxx2)xx(xxS
SPSS)xx(xx)xx)(xx(xxS
P2Sxx2)xx(xxS
PS3S)xx(xx3)xx(xxS
P2Sxx2)xx(xxS
SxxS
−=−+=+=
−=+−++=+=
−=−+=+=
−=+−++=+=
−=−+=+=
−=+−++=+=
−=−+=+=
−=+−+=+=
−=−+=+=
=+=
Tính tương tự cho: S
11
, S
12
,
Ví dụ 1:
Cho x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình:
d) D =
5
2
5
1
xx +
; e) E =
6
2
6
1
xx +
f) F =
7
2
7
1
xx +
Ví dụ 2: Cho phương trình:
02x5x
2
=++
Gọi
21
x,x
là các nghiệm. Tính giá trò của các biểu thức:
a)
6
2
+
++
=
Ví dụ 4: Cho x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình :
)0a ( 0cbxax
2
≠=++
a) Tính giá trò của biểu thức :
4
2
4
1
x
1
x
1
A +=
theo a, b, c
b) Chứng minh rằng :
2
7
)31(
1
)31(
1
44
∆
⇔
Pt (1) có hai nghiệm trái dấu
P < 0⇔
b. Mọi tam thức bậc hai f(x)=
2
ax bx c+ +
(
0a
≠
) điều có thể biểu diển thành
2 2
( ) ( )
2 4
b
f x ax bx c a x
a a
∆
= + + = + −
c. Công thức phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử:
Nếu tam thức bậc hai f(x)=
2
ax bx c+ +
(
0 ( a 0 )ax bx c+ + = ≠
Đặt ẩn phụ : t = x
2
2. Dạng II.
( )( )( )( ) ( k 0 )x a x b x c x d k+ + + + = ≠
trong đó a+b = c+d
Đặt ẩn phụ : t = (x+a)(x+b)
3.Dạng III:
4 4
( ) ( ) ( k 0 )x a x b k+ + + = ≠
Đặt ẩn phụ : t =
2
a b
x
+
+
4.Dạng IV:
4 3 2
0ax bx cx bx a+ + ± + =
Chia hai vế phương trình cho x
2
Đặt ẩn phụ : t =
1
x
x
±
III . PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
3 2
Bước 3: Giải phương trình (2) tìm các nghiệm còn lại ( nếu có).
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
1.Phương pháp 1: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình đã biết cách giải.
2.Phương pháp 2: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số : A.B = 0; A.B.C = 0.
Đònh lý:
0
. 0
0
A
A B
B
=
= ⇔
=
;
0
. . 0 0
0
A
A B C B
C
=
= ⇔ =
=
Đònh lý 3:
Với
và B KA K≤ ≥
( K là hằng số ) thì
A K
A B
B K
=
= ⇔
=
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
Bài 1: Cho phương trình có ẩn số x :
2
x 2(m 1)x 3 m 0− − − − =
1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
2) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x
2
của phương trình thỏa mãn điều kiện:
2 2
1 2
x x 10+ ≥
Bài 2: Cho phương trình bậc hai ẩn x :
2
thỏa 1 < x
1
< x
2
< 6.
Bài 4: Cho phương trình :
2
(m 2)x (2m 1)x 3 m 0+ − − − + =
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m
b) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia
Bài 5: Cho phương trình :
2
x 4x m 1 0− + + =
a) Đònh m để phương trình có nghiệm.
b) Đònh m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa :
2 2
1 2
x x 10+ =
Bài 6: Cho phương trình :
2
x 2mx m 2 0− + + =
a) Xác đònh m để phương trình có hai nghiệm không âm
b) Tính giá trò của biểu thức
1 2
E x x= +
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 9: Cho phương trình :
2 2
x 4x (m 3m) 0− − + =
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Xác đònh m để :
2 2
1 2 1 2
x x 4(x x )+ = +
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y
1
, y
2
thỏa mãn :
y
1
+y
2
= x
1
+ x
2
và
1
,x
2
thoả mãn :
1 2
1x x− =
( TS10.PTNKĐHQG.TPHCM 2003)
Bài 12:Cho phương trình :
2
2( 1) 2 4 0x m x m− − + − =
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1)
Tìm giá trò nhỏ nhất của
2 2
1 2
y x x= +
(TS10.PTCLHP.TPHCM 2002 )
Bài 13: Giải các phương trình sau:
1.
4 2
10 9 0x x− + =
2.
( 1)( 2)( 3)( 4) 3x x x x+ + + + =
3.
2 2
( 3 4)( 6) 24x x x x+ − + − =
với mọi m
2. Xác đònh m để biểu thức P =
1 2 3
x x x+ −
đạt giá trò nhỏ nhất. Tìm giá trò nhỏ nhất đó và các nghiệm
x
1
,x
2
,x
3
tương ứng .
Bài 16: Giải các phương trình sau:
1.
2
2 1 7 6
3 2 1 6
x x x
x x
+ −
+ =
−
2.
4 3 2
2 5 4 12 0x x x x+ + + − =
3.
2 3 4
( 2) ( 3) ( 4) 2x x x+ + + + + =
4. (x+9)(x+10)(x+11) -8x = 0 (TS10.ĐHSPVINH.2002)
(TS10.ĐHKHTNHN.2003)
Chuyên đề 2:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng :
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
a.Cách giải : Phép thế , phép cộng .
b. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình :
( 1) 3 1
2 5
m x my m
x y m
− − = −
− = +
Xác đònh tất cả các giá trò của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S=x
2
+y
2
2 2
7
3 3 16
x y xy
x y x y
+ + = −
+ − − =
2. Hệ phương trình đối xứng loại II:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì phương trình
nầy trở thành phương trình kia của hệ.
b. Cách giải:
• Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.
• Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ .
c. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x y y
y x x
+ = −
+ = −
=
.
Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau:
Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm của hệ hay không ?
Bước 2: Với y
≠
0 ta đặt x = ty. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y .Từ 2 phương trình ta
khử y để được 1 phương trình chứa t .
Bước 3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x,y.
b. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
3 2 11
2 5 25
x xy y
x xy y
+ + =
+ + =
IV. Các hệ phương trình khác:
Ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
a. Đặt ẩn phụ:
Ví dụ : Giải các hệ phương trình :
1.
2 2
3 2 2 3
6 7
x x y
y xy
+ =
+ =
2.
2 2
2 2
2 3 0
2 0
xy y x
y x y x
− + =
+ + =
c. Biến đổi về tích số:
Ví dụ : Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
2 5 2 0
4 0
2.
2 2
2 2 2
2 2
3 28
x y
x y x
− = −
− =
3.
2 3 2
2 3 2
3 2
3 2
y x x x
x y y y
= − +
= − +
4.
2
Gọi (x
1
;y
1
) và (x
2
;y
2
) là hai nghiệm của hệ phương trình trên.
Hãy tính giá trò của biểu thức:
2 2
1 2 1 2
( ) ( )M x x y y= − + −
Bài 3:
Cho x; y thoả mãn :
3 2
2 2 2
2 4 3 0
2 0
x y y
x x y y
+ − + =
+ − =
. Tính
2 2 2 2
( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +
3 3 3 2 2 2
3 ( )( )a b c abc a b c a b c ab ac bc+ + − = + + + + − − −
1 2 1
( )( )
n n n n n
a b a b a a b b
− − −
− = − + + +
0 1 1 2 2 2
( )
n n n n n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
− −
+ = + + + +
trong đó
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
x a
x
+ =
là một hằng số . Tính theo a các biểu thức :
3
3
1
A x
x
= +
;
6
6
1
B x
x
= +
;
7
7
1
C x
x
= +
Bài 4: Cho ba số x,y,z thỏa mãn đồng thời :
2
2
2
2 1 0
4 8 16 16
a
M
a a a a
−
=
− + − +
. Tìm các giá trò nguyên của a để M có giá trò nguyên
Bài 7: Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau thì :
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
b c c a a b
a b a c b c b a c a c b a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
III. MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG :
1. Phương pháp dự đoán và quy nạp:
Phương pháp chứng minh quy nạp toán học:
a. Quy nạp không hoàn toàn :là sự suy luận đi từ những sự kiện riêng lẻ đến một kết luận tổng
quát. Phương pháp này không phải là phép chứng minh nhưng là phương pháp tìm tòi quan trọng,
nó giúp ta dự đoán những giả thiết có thể đúng hoặc sai.
b. Quy nạp hoàn toàn :là phép suy luận sau khi đã xem xét tất cả mọi trường hợp có thể xảy ra
mới rút ra kết luận tổng quát.
Để chứng minh một mệnh đề toán học P(n) đúng, với mọi n là số tự nhiên, bằng quy nạp hoàn tòan
ta qua 3 bước sau:
Bước 1: Chứng minh P(0) đúng
Bước 2: Giả sử P(k) đúng . Chứng minh P(k+1) đúng
Bước 3: Kết luận P(n) đúng với mọi n
n
+ +
+ + + + =
c.
3
3 3 3
( 1)
1 2
2
n n
n
+
+ + + =
2. Phương pháp khử liên tiếp: ( phương pháp sai phân hữu hạn)
Ví dụ 1: Tính tổng :
1 1 1 1
10.11 11.12 12.13 2003.204
S = + + + +
Ví dụ 2: Tính tổng :
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)
n
S
n n n
= + + + +
2 1
. .
k k
k
A B A B
+ +
+
=
•
2 1
2 1
2 1
(B 0)
k
k
k
A A
B
B
+
+
+
= ≠
•
2 1
2 1
2 1
. .
k
k
B
B
= ≥ ≠
•
2
2
2
. . (B 0)
k
k
k
A B A B= ≥
•
(A 0)
m
n mn
A A= ≥
Trong đó : k, m, n là những số nguyên dương
Chú ý:
2k
A
có nghóa khi
0A
≥
II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1: Chứng minh đẳng thức :
2 3 5 13 48
1
2
2 2
1 ( 1)
1 1
a a a a
a a
a a a a
− +
− + + = −
+ + − +
Bài 5: Xét biểu thức
3 9 3 2 1
1
2 1 2
a a a
P
a a a a
+ − −
= − + −
+ − − +
. Tìm a để
1P =
Bài 6: Rút gọn biểu thức :
5 3 29 12 5A = − − −
Bài 7: Thu gọn biểu thức :
2 3 6 8 4
2 3 4
P
+ + + +
=
6 19 6 10
−
= +
+ −
Bài 11: Tính giá trò của biểu thức :
3 2 2003
A (3x 8x 2)= + +
với
3
( 5 2) 17 5 38
x
5 14 6 5
+ −
=
+ −
Bài 12: Cho số
3 3
x 9 4 5 9 4 5= + + −
1) Chứng tỏ x là nghiệm của phương trình
3
x 3x 18 0− − =
.
2) Tính x.
Bài 13: Chứng minh rằng
3 3
125 125
x 3 9 3 9
27 27
= + + − − + +
là một số nguyên.
−
− + + −
≥ ≠ ≠
1. Thu gọn biểu thức P
2. Tìm giá trò x để P=1
Bài 17: Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trò không phụ thuộc vào x
3 6
4
2 3. 7 4 3
9 4 5. 2 5
x
A x
x
− + −
= +
− + +
Chuyên đề 5:
BẤT ĐẲNG THỨC
A. Tóm tắt giáo khoa:
I. Đònh nghóa:
Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B
" A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B
" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu
A B≥
" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu
A B≤
>
⇒ + > +
>
5. Tính chất 5:
nếu c > 0
nếu c < 0
ac bc
a b
ac bc
>
> ⇔
<
Hệ quả 1:
a b a b
> ⇔ − < −
Hệ quả 2:
nếu c > 0
nếu c < 0
a b
c c
a b
a b
c c
n n
a b a b> > ⇒ > ∈¥
10. Tính chất 10:
2 1 2 1
với mọi n
n n
a b a b
+ +
> ⇔ > ∈¥
11. Tính chất 11:
0
0
a b
ac bd
c d
> >
⇒ >
> >
III. Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối :
1. Đònh nghóa:
nếu x 0
( x )
nếu x < 0
x
x
x
≥
a b c a b− < < +
•
a b c A B C
> > ⇔ > >
V . Các bất đẳng thức cơ bản :
1. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho hai số không âm a; b ta có :
2
a b
ab
+
≥
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Tổng quát :
Cho n số không âm a
1
,a
2
, a
n
ta có :
1 2
1 2
.
n
n
n
a a a
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2
n
n
a
a a
b b b
= = =
với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0
VI . CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC :
Ta thường sử dụng ba phương pháp sau :
1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng .
Ví dụ:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
với mọi số thực a,b,c
2.
2 2
1a b ab a b+ + ≥ + +
với mọi a,b
3.
+ + +
+ + ≥ + + +
2. Cho a,b,c,d > 0 và
2 2 2 2 3
( )c d a b+ = +
. Chứng minh rằng :
3 3
1
a b
c d
+ ≥
3. Phương pháp 3: Phương pháp chứng minh phản chứng
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai từ đó dùng suy luận toán học để suy ra điều mâu thuẩn với
chân lý đã biết.
Ví dụ:
Cho a,b,c thoả mãn :
0
0
0
a b c
ab bc ca
abc
+ + >
+ + >
>
Cho hai số dương a,b và a + b = 5
Chứng minh rằng :
1 1 4
5a b
+ ≥
Bài 4:
Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực dương thoả mãn : abc = ab + bc + ca
thì:
1 1 1 3
2 3 2 3 3 2 16a b c a b c a b c
+ + <
+ + + + + +
Bài 5:
Cho a,b là các số dương thoả ab=1
Chứng minh rằng :
2 2
4
( 1)( ) 8a b a b
a b
+ + + + ≥
+
Bài 6:
a. Chứng minh :
2
2 2
( )
2
x y
x y
+
2.
2 2 2 2 2
( )a b c d a b c d− + − ≥ − + −
Bài 9:
x,y là các số thực thoả mãn điều kiện : x+y+z+xy+yz+zx-6
Chứng minh rằng :
2 2 2
3x y z+ + ≥
Bài 10:
Cho a,b,c
[0;2]∈
có tổng a + b + c = 2
Chứng minh rằng :
2 2 2
5a b c+ + ≤
Chuyên đề 6:
ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Phương pháp:
Để tìm GTLN của biểu thức A (phụ thuộc vào một hay nhiều biến) ta có thể thực hiện như sau:
Bước 1: Chứng minh :
hằng số MA ≤
Bước 2: Chỉ ra các biến để
MA =
Bước 3: Kết luận GTLN của A là M.
Để tìm GTNN của biểu thức A (phụ thuộc vào một hay nhiều biến) ta có thể thực hiện như sau:
Bước 1: Chứng minh :
hằng số mA ≥
Bước 2: Chỉ ra các biến để
4x y+ =
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 1
( ) ( )T x y
x y
= + + +
Bài 5:
Cho x,y là hai số dương có tổng bằng 1.Tìm giá trò nhỏ nhất của các biểu thức
a.
2 2
1 1
( ) ( )A x y
x y
= + + +
b.
4 4
1
2( )
4
B x y
xy
= + +
c.
1 1
(1 )(1 )C
x y
= + +
Bài 6:
Cho hai số dương x,y thay đổi và thoả x+y=5. Tìm giá trò nhỏ nhất của tổng
1. Các công thức và tính chất cơ bản:
•
A
có nghóa khi
0A ≥
•
0 với A 0A ≥ ≥
•
2
nếu A 0
và A
nếu A < 0
A
A A
A
≥
= =
−
•
2
( ) với A 0A A= ≥
•
. . khi A,B 0A B A B= ≥
•
. . khi A,B 0A B A B= − − ≤
2. Các đònh lý cơ bản:
1. Đònh lý 1: Với A,B bất kỳ thì :
5. Đònh lý 5:
2 2
A=0
0
B=0
A B
+ = ⇔
6. Đònh lý 6:
A=K
Với A K và B K ( K là hằng số ) thì : A=B
B=K
≤ ≥ ⇔
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC:
1. Phương pháp 1: Nâng luỹ thừa khử căn thức
Ví dụ : Giải phương trình :
1.
1 2 2 3x x x− + − = −
2.
( 2) ( 5) ( 3)x x x x x x− + − = +
3.
1
1x x
x
2 1 1x x− + − =
3.
3 2
5 1 2( 2)x x+ = +
4. Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về hệ phương trình
Ví dụ : Giải phương trình :
1.
2
2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − +
2.
2
4 5 2 2 3x x x+ + = +
5. Phương pháp 5: Biến đổi phương trình về dạng tích số
Ví dụ : Giải phương trình :
2
( 5 2)(1 7 10) 3x x x x+ − + + + + =
6. Phương pháp 6: Biến đổi phương trình về phương trình có chứa giá trò tuyệt đối
Ví dụ : Giải phương trình :
1.
3 4 1 8 6 1 5x x x x+ + − + + − − =
2.
2 3 2 5 2 2 5 2 2x x x x+ + − + − − − =
II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1: Cho phương trình :
2
2 1 6 11 0x x m m+ − − + − =
a. Giải phương trình khi m=2
b. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m
Bài 2: Cho phương trình :
1 (1) trong đó m là tham sốx x m− + =
’
,B’,C’lần lượt thuộc ba cạnh BC, CA, AB . Khi đó
' ' '
' ' '
' ' '
A
, , đồng quy tại một điểm I . . 1
B B C C A
AA BB CC
A C B A C B
⇔ =
3. Tỉ số diện tích :
Cho hai điểm M, N nằm trên hai đường thẳng chứa hai cạnh AB và AC của tam giác ABC ta luôn có hệ
thức :
( )
.
( )
dt AMN AM AN
dt ABC AB AC
∆
=
∆
4. Đẳng thức Ptolémée:
= SB.SC
B. Các bài toán luyện tập:
Bài 1: Chứng minh rằng trong một tam giác ABC, nếu có ba đường thẳng AA
’
,BB
’
,CC
’
cắt nhau
tại một điểm K nằm trong tam giác (
' ' '
, ,A BC B AC C AB∈ ∈ ∈
) thì
a)
' ' '
' ' '
1
KA KB KC
AA BB CC
+ + =
b)
' ' '
2
AK BK CK
AA BB CC
+ + =
c)
' '
Bài 7: Cho đường tròn O và một dây AB của đường tròn đó . Các tiếp tuyến vẽ từ A và B của
đường trò cắt nhau tại C . Kẻ dây CD của đường tròn có đường kính OC (D khác A và B ).
CD cắt cung
»
AB
của đường tròn (O) tại E ( E nằm giữa C và D ) . Chứng minh :
a.
· ·
BED DAE=
b.
2
.DE DA DB=
Bài 8: Giả sử H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Trên đoạn HB và HC lấy hai điểm M,N sao
cho
·
·
0
90AMC ANB= =
. Chứng minh rằng AN=AM.
Bài 9: Cho tam giác ABC có
µ
0
45A =
. Gọi M và N lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của
tam giác ABC .
1. Tính tỷ số
MN
BC
2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng
OA MN
Bài 12: Cho tam giác ABC có đường cao BD . Giả sử (C) là một đường tròn có tâm O nằm trên
đoạn AC và lần lượt tiếp xúc với BA, BC tại M và N
1. Chứng minh rằng 4 điểm B, M, D, N nằm trên mộ đường tròn
2. Chứng minh rằng góc ADM = góc CDN
Bài 13: Cho tứ giác lồi ABCD , có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau và bằng nhau .
Giả sử
3CD;6BC;3AB ===
. Trên nữa mặt phẳng với bờ là đường thẳng AC
không chứa điểm B , dựng hình vuông ACMN . Trên nữa mặt phẳng với bờ là đường
thẳng MD không chứa điểm N , dựng tia Mx vuông góc với MD và lấy điểm E thuộc tia
Mx sao cho ME =MD
1. Chứng minh rằng 4 điểm C, D, M, N thuộc một đường tròn
2. Tính các góc của tứ giác ABCD.
Copyright: Tài liệu đại học ©