TRUNG TÂM ĐÀO TẠO VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
SỐ 1 VIỆT NAM TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG YÊN PHONG II
Địa chỉ :Yên Trung – Yên Phong - Bắc Ninh
ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CẤP TỐC
THEO CHỦ ĐỀ
I. PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm):
Câu 1 (2 điểm):
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ
thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng
và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có
tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong
hai đồ thị là đường thẳng)…
Câu 2 (2 điểm):
- Phương trình, bất phưong trình; hệ phương trình đại số
- Công thức lượng giác, phương trình lượng giác
Câu 3 (1 điểm):
- Tìm giới hạn
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể
tích khối tròn xoay
Câu 4 (1 điểm):
- Hình học không gian (tổng hợp): Quan hệ song song,
quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng; diện tích
xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể
tích của khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối
trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu 5 (1 điểm):
- Bài toán tổng hợp

- Sự tiếp xúc của hai đường cong
- Hệ phương trình mũ và lôgarit
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số
Phần thứ nhất:
NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ THEO CÁC CHUYÊN
ĐỀ

1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y =
g(x)
Số giao điểm của hai đường (C
1
) y= f(x) và (C
2
) y=g(x) là
số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của (C
1
),
(C
2
): f(x) = g(x) (1)
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong:
Hai đường cong (C
1
), (C
2
) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ
sau có nghiệm:
( ) ( )

0
x x−

Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của
tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng
(D) )
- Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x
0
( hoành
độ tiếp điểm)
- Tìm y
0
và thay vào dạng y = k(x – x
0
) + y
0
. ta
có kết quả
Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua
hay xuất phát từ A(x
A
;y
A
)
- Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
y – y
A
= k(x – x
A

⇔=•
BA
0B
BA
BA
0B
BA
2
2) Tổng quát:
- Phương pháp chung là bình phương, lập phương hai vế
của phương trình đã cho để khử dấu căn, sau khi đã đặt điều
kiện cho phương trình mới tương đương với hệ đã cho.
- Nếu phép bình phương, lập phương dẫn đến phương
trình bậc cao, phức tạp thì ta tìm cách biến đổi thành tích hoặc
dùng ẩn phụ.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Các kiến thức cần nhớ:
1) Dạng cơ bản:





≤
≥
≥
⇔≤•




- Một số ít bài có thể dùng tính đơn điệu
- Lưu ý: Xét các trường hợp về dấu của hai vế có thể thỏa
mãn trước khi bình phương
3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Hệ phương trình đối xứng
1) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2) Hệ phương trình đối xứng loại 1:
- Dạng:



=
=
0)y,x(g
0)y,x(f
trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức
đối xứng theo x và y
- Cách giải: Dùng ẩn phụ S = x + y, P = xy (điều kiện: S
2
-
4P
)0≥
- Chú ý: + Đôi khi phải sử dụng ẩn phụ trước khi tiến
hành đặt S, P
+ Do tính đối xứng nên nếu (x , y) là nghiệm thì
(y , x) cũng là nghiệm.
3) Hệ phương trình đối xứng loại 2:
- Dạng:




=+
=
0)x,y(f)y,x(f
0)y,x(g
(Hệ đối xứng loại
1)
Hệ phương trình đẳng cấp
- Dạng:



=
=
0)y,x(g
0)y,x(f
trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức
đẳng cấp cùng bậc (tổng số mũ của x và y trong cùng một hạng
tử bằng nhau)
- Cách giải: + Giải hệ với x = 0 (hoặc y = 0)
+ Với x khác 0 (hoặc y khác 0), đặt y = tx (hoặc
x = tx)
Ta được hệ phương trình 2 ẩn x và t.
+ Khử x, ta được phương trình 1 ẩn t.
Hệ phương trình mũ, lôgarit
Phương pháp chung thường hay được sử dụng là: Biến
đổi với các tính chất tương ứng, sau đó dưa về hệ phương trình
đại số (có thể phải qua bước dùng ẩn phụ).
Để ý: Trong hai phương trình của một hệ thường có một
phương trình có thể giúp chúng ta rút được một ẩn theo ẩn kia

x
2
π
−
) = sinx sin(
x
2
π
−
) = cosxtg(
x
2
π
−
) = cotgx
cotg(
x
2
π
−
) = tgx
* Cung hơn kém nhau
π
:
cos(
π
+ x) = - cosxsin(
π
+ x) = - sinx tg(
π

tga2
2
−
4) Công thức hạ bậc:
)a2cos1(
2
1
acos
2
+=
;
)a2cos1(
2
1
asin
2
−=
;
a2cos1
a2cos1
atg
2
+
−
=
5) Công thức tính sina, cosa, tga theo t =
2
a
tg
:

ba
sin
2
ba
sin2bcosacos
−+
−=−
2
ba
cos
2
ba
sin2bsinasin
−+
=+
;
2
ba
sin
2
ba
cos2bsinasin
−+
=−
bcos.acos
)basin(
tgbtga;
bcos.acos
)basin(
tgbtga

+
α=
+
sin
ba
b
;cos
ba
a
2222
- Điều kiện có nghiệm:
222
cba ≥+
4) Phương trình đẳng cấp:
0ucos.cucosusinbusina
22
=++
- Xét cosu = 0
- Trường hợp cosu
0
≠
, chia hai vế của phương trình cho
cos
2
u
5) Phương trình theo
ucosusin
±
và sinu.cosu:
- Đặt t =

- Nếu trong phương trình chỉ chứa tgx và sin2x, cos2x,
tg2x, cotg2x hoặc chỉ chứa toàn bộ các hàm lượng giác của
cùng góc x thì đặt t = tgx. (Nếu Pt bậc n thu được giải được)
Lưu y: Các nhận xét trên chỉ mang tính chất tương đối,
nhiều phương trình phải dựa vào đặc trưng riêng của phương
trình đó mà đưa ra cách giải thích hợp.
5. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ,
LÔGARIT
Phương trình, bất phương trình mũ
1) Hàm số mũ y = a
x
: - TXĐ: R, a
x
> 0 với mọi x.
- Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1,
nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1.
- Các tính chất của lũy thừa.
2) Dạng cơ bản:
)x(glog)x(f
0)x(g,1a0
)x(ga
);x(g)x(f
1a0
aa
a
)x(f)x(g)x(f
=⇔




==
)
- Dùng ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản - Đoán nghiệm và
dùng tính đơn điệu chứng minh duy nhất
Phương trình, bất phương trình lôgarit
- Định nghĩa:
y
a
axxlogy =⇔=
- Hàm số: y = log
a
x có tập xác định: x > 0,
1a0
≠<
. Tập giá
trị: R
- Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu
1a0
≠<
- Các công thức biến đổi:
1alog
a
=
01log
a
=
xa
xlog
a
=

a
=
c
a
c
log b
log b
log a
=
|N|logNlog
aa
α
α
=
Nlog
1
Nlog
a
α
=
α
a
- Phương trình và bất phương trình cơ bản:



>=
≠<
⇔=
0)x(g)x(f

trình cơ bản.
6. TÍCH PHÂN
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến:
Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
•
22
xa −
Đặt x = asint, t
]
2
;
2
[
ππ
−∈
hoặc x =
acost, t
];0[
π
∈
•
22
xa +
Đặt x = atgt, t
)
2
;
2
(
ππ

xa
+
+
Đặt x = atgt, t
)
2
;
2
(
ππ
−∈
Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:

Chú ý: Một số dạng tích phân sử dụng phương pháp tích
phân từng phần:
P(x)lnx, P(x)e
ax
, P(x)sinax, P(x)cosax, e
ax
cosax, e
ax
sinax
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
∫
−=
∫
b
a
vdu
a

Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay.[ ]
dxxfV
b
a
2
)(
∫
=
π
[ ]
dyyfV
b
a
2
)(
∫
=
π
6. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Quy tắc cộng :
Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y,
và nếu cách chọn đối tượng x không trùng với bất kỳ cách
chọn đối tượng y nào, thì có m + n cách chọn một trong các đối
tượng đã cho.




=∆
=
=
by
ay
ygxC
yfxC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
a
b
0=y
)(:)( xfyC =
b
ax =
bx =
x
y
O
b
a
x

ygxC =
ay =
by =
O
Quy tắc nhân :
Nếu có m cách chọn đối tượng x, và sau đó, với mỗi cách
chọn x như thế, có n cách chọn đối tượng y, thì có m x n cách
chọn đối tượng (x ; y).
Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
P
n
= n!
(n ≥ 1)
≤ ≤
k
n
n!
A =
(n -k)!
(1 k n)
≤ ≤
k
n
n!
C =
k!(n - k)!
(0 k n)
n! = 1.2.3…n
k k
n n

thứ tự
Số cách chọn ra tập
hợp con k phần tử trong
tập hợp n phần tử không
thứ tự
Công thức khai triển Niutơn
∑
n
n k n-k k 0 n 1 n-1 2 n-2 2 3 n-3 3 n n
n n n n n n
k=0
(a+ b) = C a b = C a + C a b + C a b + C a b + + C b
Các tính chất :
- Trong khai triển (a + b)
n
ta được (n+1) số hạng.
- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số là n.
- Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển (a + b)
n
là
k n-k k
k+1 n
T = C a b
Các dạng bài tập
- Dạng 1 : Tìm hệ số của xn trong khai triển nhị thức
Niutơn
- Dạng 2 : Tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức, áp
dụng giải bài toán khác
Phương pháp
Phương pháp :

2. Số phức (dạng đại số) :
z = a + bi (a, b
R∈
, i là đơn vị ảo, i
2
= -1); a là phần thực,
b là phần ảo của z
• z là số thực
⇔
phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
• z là phần ảo
⇔
phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3. Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’i
)',',,(
'
'
Rbaba
bb
aa
∈



=
=
⇔
4. Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b
)R∈
được biểu

biaz −=
−
a)
'.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+=
b) z là số thực
zz =⇔
; z là số ảo
zz −=⇔
8. Môđun của số phức : z = a + bi
a)
OMzzbaz ==+=
22
b)
00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz
c)
Czzzzzzzzzz ∈∀+≤+= ','',''.
9. Chia hai số phức :
a) Số phức nghịch đảo của z (z
)0≠
:
z
z
z
2
1
1
=
−
b) Thương của z’ chia cho z (z
)0≡

'
'
,
''
==






10. Căn bậc hai của số phức : z là căn bậc hai của số phức
ω
ω
=⇔
2
z
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi







=
++
=
⇔


2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số phức
cho trước, A
0
≠
).
ACB 4
2
−=∆
a)
0
≠∆
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
A
B
2
δ
±−
, (
δ
là
1 căn bậc hai của
)∆
b)
0
=∆
: Phương trình có 1 nghiệm kép là
A
B
2

1 1
k.u (kx ;ky )=
r
1 2
1 2
x x
u v
y y
=

= ⇔

=

r r

B) Điểm: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm
A(x
A
; y
A
), B(x
B
;y
B
), C(x
C
; y
C
)

M
A B
M
x x
x
2
y y
y
2
+

=



+

=


,trọng tâm G
của tam giác ABC:
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y

= +

và
phương trình chính tắc
0 0
x x y y
a b
− −
=
2. PTTQ của đường thẳng có dạng: ax + by + c = 0
Đường thẳng qua M(x
0
;y
0
) và nhận véctơ
r
n
(a;b) làm VTPT có
PTTQ: a(x- x
0
) + b(y - y
0
) = 0
3. Khoảng cách từ M(x
0
;y
0
) đến
∆
:ax + by + c = 0 là:

1 2
u .u
a a b b
cos d ,d cos u ,u
u . u
a b . a b
+
= = =
+ +
uur uur
uur uur
uur uur
Đường tròn
1. Đường tròn tâm I(a,b), bán kính R có phương trình chính
tắc:(x- a)
2
+ (y - b)
2
= R
2
2. Phương trình x
2
+y
2
+ 2ax + 2by + c = 0 (a
2
+ b
2
- c > 0) là
phương trình của đường tròn với tâm I(-a ; -b), bán kính R =

= M F
1
, r
2
= MF
2
bán kính qua tiêu tại M.
1
2
c
F M a
a
c
F M a
a
1
2
r x
r x
= = +
= = −
2. Phương trình chính tắc:
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
(


± =
9. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Kệ toạ độ trong không gian
1. Tọa độ vectơ: Cho
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
a a ,a ,a ,b b , b ,b= =
r r
. Ta có

( )
1 1 2 2 3 3
a b a b ;a b ;a b
± = ± ± ±
r r

( )
1 2 3
k.a ka ; ka ;ka=
r

1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=




( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a b a b a b
cos a,b
a a a . b b b
+ +
=
+ + + +
r r
y
M(x,y)
F
1
F
2

-c O c x

2. Tọa độ điểm: Cho
A; A A B; B B C; C C
A(x y ;z ),B(x y ;z ),C(x y ; z )

( )
B A B A B A

1 2 3 1 2 3
a a ,a ,a ,b b , b ,b= =
r r
Tích có hướng của hai vec tơ
a
r
và
b
r
là một vectơ, k/h:
3
1 2
3
2 1
2 3 1
3 1 2
a
a a
a
a a
a,b ; ;
b b b
b b b
 
 
=
 ÷
 
 ÷
 

2
 
=
 
uuur uuur
- Thể tích tứ diện ABCD :
ABCD
1
V AB,AC .AD
6
 
=
 
uuur uuur uuur
- Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' :
ABCD.A 'B'C ' D '
V AB,AD .AA '
 
=
 
uuur uuur uuuur
Phương trình mặt phẳng
1) Vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng:
*
→→
≠ 0n
là VTPT của mp(
α
) nếu:
α⊥


0
≠
)
+ Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = 0 thì
có VTPT:
)C;B;A(n =
→
+ Mặt phẳng qua M(x
0
; y
0
; z
0
) và có một VTPT là
)C;B;A(n =
→
thì có pt:
A(x - x
0
) + B(y - y
0
) + C(z - z
0
) = 0
+ Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm
(a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) là:
1
c
z

, với
1 2 3
a (a ;a ;a )=
r
là vectơ
chỉ phương của đường thẳng.
-Phương trình chính tắc:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
.
2) Cách xác định vị trí tương đối, tìm giao điểm của hai đường
thẳng:
3) Cách viết phương trình đường thẳng:
Tìm một điểm và một VTCP (hoặc cặp VTPT) của đường
thẳng.
→
PTTS
Một số dạng toán viết phương trình đường thẳng
ST
T
Bài toán
Hình vẽ Cách giải
1
Viết
phương
trình

và
2
MM
uuuuur
cùng phương => t =>
M
1
B
3
: Viết phương trình MM
1
chính là
phương trình đường thẳng ∆
2
Viết
phương
trình
đường
thẳng ∆
song song
với d và cắt
cả ∆
1
và ∆
2
B
1
: - Gọi M
1
(toạ độ có chứa tham số t) ∈

chính là
phương trình đường thẳng ∆
3 Viết
phương
trình
đường
thẳng ∆ đi
qua điểm
M vuông
góc và cắt
đường
Phương pháp 1
B
1
: Gọi N (toạ độ có chứa tham số t)
∈
d
B
2
: MN
⊥
d
⇔

.
d
MN a
uuuur uur
= 0 => t => M
Phương trình ∆ chính là phương trình

M
d
β
ra
α
ra
N


thẳng d
B
2
: Tìm H = (α )
∩
d
B
3
: phương trình ∆ là phương trình
đường MH
4
Viết
phương
trình
đường
thẳng ∆ đi
qua điểm
M vuông
góc với
đường
thẳng ∆

2 đường
thẳng ∆
1
,
∆
2
B
1
: Tìm M
1
= ∆
1

∩
(α )
B
2
: Tìm M
2
= ∆
2

∩
(α )
B
3
: ∆ là đường thẳng M
1
M
2

1
a
uur
2
a
uur
∆
1
M
M
2
∆
2
∆
α
1
α
2
∆
α
β
A
d
M
1

∆
1

α

), có VTCP
u '
ur
= ( a’; b’; c’)
(d) và (d
’
) đồng phẳng ⇔
'
0 0
u,u ' .M M 0
 
=
 
uuuuuur
r ur
(d) và (d’) cắt nhau ⇔
'
0 0
u, u ' .M M 0
 
=
 
uuuuuur
r ur
và a:b:c ≠
a’:b’:c’
(d) // (d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’≠ (x’
0
– x
0

 
uuuuuur
r ur
Vị trí tương đối của đường thẳng và của mặt phẳng :
Cho đường thẳng (d) qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) , có VTCP
u
r
= ( a;
b; c).
và mặt phẳng (α ): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT
n (A; B;C)
=
r

(d) cắt (α ) ⇔
n.u 0≠
r r
⇔ Aa +Bb +Cc ≠ 0
0
n u
(d) / /( )
M ( )

⇔
0 0 0
Aa Bb Cc 0
Ax By Cz 0
+ + =


+ + =

Khoảng cách
- Khoảng cách từ M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (α): Ax + By +
Cz = 0 là:
( )
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
d M ,( )
A B C
+ + +
α =
+ +
- Khoảng cách từ điểm M
1

u
r
,
∆
' đi qua
điểm M
0
' và có vectơ chỉ phương
u '
ur
( )
0 0
u,u ' .M M '
d , '
u, u '
 
 
∆ ∆ =
 
 
r ur uuuuuuur
r ur
Mặt cầu – Phương trình đường tròn trong không gian
1) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b; c), bán kính R:
2 2 2 2
(S) : (x a) (y b) (z c) R
− + − + − =
- Phương trình: x
2
+ y

(x a) (y b) (z c) R
+ + + =


− + − + − =

với d =
2 2 2
Aa Bb Cc D
R
A B C
+ + +
<
+ +
Nguyễn Duy Thành_lớp cơ điện tử 9
Khoa Hàng Không Vũ Trụ_Học Viện Kĩ Thuật Quân
Sự.
MILITARY TECHNICAL ACADEMY
LE QUY DON TECHNICAL UNIVERSITY

Cựu học sinh là một phần quan trọng và không thể tách rời của Yên Phong II.
Chúng tôi luôn mong muốn được cung cấp thông tin từ chính các bạn cũng như gửi
lời chúc mừng về những thành công mà bạn đã đạt được trên con đường sự nghiệp.
Chúng tôi cũng luôn cố gắng và nỗ lực hết sức để giữ vững, duy trì cũng như tiếp tục
phát huy sự liên kết chặt chẽ giữa chúng tôi và các bạn – những cựu học sinh trường
THPT Yên Phong II .