CHƯƠNG 4 : QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG
Trong hai chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của môi
trường liên tục đó là mặt tĩnh học (trường ứng suất) và mặt hình học (trường
biến dạng), giữa hai mặt này có quan hệ với nhau. Sự phân bố ứng suất và
biến dạng của môi trường phụ thuộc vào quan hệ đó. Xét quan hệ giữa ứng
suất và biến dạng tức là xét về mặt vật lý của môi trường. Sự khác nhau về
mặt vật lý đã dẫn đến những nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vật
rắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến
và lý thuyết đàn hồi dẻo.
Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng :
σ
x
= f
1
(ε
x
, ε
y
, ε
z
, γ
xy
, γ
yz
, γ
zx
);
σ
y
= f
2

y
, );
T
zx
= f
6
(ε
x
, ε
y
, );
Trong môn học này ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính
tức quan hệ ứng suất và biến dạng là các quan hệ tuyến tính. Do đó (4.1) viết
thành :
σ
x
= a
11
ε
x
+ a
12
ε
y
+ a
13
ε
z
+ a
14

25
γ
yz
+ a
26
γ
zx
; (4.2)

T
zx
= a
61
ε
x
+ a
62
ε
y
+ a
63
ε
z
+ a
64
γ
xy
+ a
65
γ

σ
.dx, có
độ dài tương đối ε
x
, độ dãn dài tuyệt đối : ε
x
.dx.
Sau thời gian vô cùng bé δt, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia:
δε
x
. Số gia của độ dãn dài tuyệt đối của cạnh dx : δε
x
.dx.
Số gia của công do σ
x
sinh ra : (σ
x
.dydz)( δε
x
.dx)
Tương tự số gia của công σ
y
và σ
z
sinh ra : (σ
y
.dxdz)( δε
y
.dy) (a)
(σ

.dzdx.dy). δγ
xz
.
(b)
(T
zx
.dxdy.dz). δγ
zx
.
25
z
x
y
dx
dy
d
z
P(x,y+dy,z)
N(x+dx,y,z)
Q(x,y,z+dz)
dx
x
x
x
∂
∂
+
σ
σ
dx

y
. δε
y
+σ
z
. δε
z
+T
xy
δγ
xy
+ T
yz
δγ
yz
+ T
zx
δγ
zx
)dxdydz. (4.3)
Ta có: dV = dxdydz : Thể tích của phần tử trước biến dạng.
*Số gia của công của một đơn vị thể tích (công riêng) δA sẽ là :
δA =
V
T
δ
δ
= σ
x
. δε

W = f(ε
x
, ε
y
, ε
z
, γ
xy
, γ
yz
, γ
zx
).
Trong miền đàn hồi quá trình biến dạng là thuận nghịch nên δW là 1
vi phân toàn phần. Nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao khi khai triển số gia của
thế năng biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta được :
δW =
x
w
ε
∂
∂
.δε
x
+
y
w
ε
∂
∂

zx
. (4.7)
So sánh (4.4) và (4.7) : δA = δW : ta có :
σ
x
=
x
w
ε
∂
∂
; T
xy
=
xy
w
γ
∂
∂
;
σ
y
=
y
w
ε
∂
∂
; T
yz

Từ (4.2) ta có : σ
x
= a
11
ε
x
+ a
12
ε
y
+ a
13
ε
z
+ a
14
γ
xy
+ a
15
γ
yz
+ a
16
γ
zx
.
26
(4.8) ta có : σ
x

+ a
54
γ
xy
+ a
55
γ
yz
+ a
56
γ
zx
.
Từ (4.8) ta có: T
yz
=
yz
w
γ
∂
∂
⇒
yzx
w
εγ
∂∂
∂
2
= a
51

+ a
12
ε
y
+ a
13
ε
z
+ a
14
γ
xy
+ a
15
γ
yz
+ a
16
γ
zx
. (c)
Nhưng các biến dạng góc γ
xy
và γ
yz
đổi dấu vì khi đổi chiều
trục y thì góc trượt trước đây
làm góc vuông nhỏ lại nay làm
cho góc vuông lớn lên
⇒ σ

1414
==⇒





−=
−=
aa
aa
aa
Tương tự nếu đổi chiều trục z ta có a
16
= 0.
Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của
ba phương trình đầu trong hệ phương trình (4.2) đều bằng 0.
27
Do a
ij
= a
ji
nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ
phương trình (4.2) cũng bằng 0.
* Hệ phương trình (4.2) trở thành :
σ
x
= a
11
ε

32
ε
y
+ a
33
ε
z
(4.9)
T
yx
= a
44
γ
xy
+ a
45
γ
yz
+ a
46
γ
zx
T
yz
= a
54
γ
xy
+ a
55

- a
45
γ
yz
+ a
46
γ
zx
(e)
Nếu ta đổi chiều trục z thì T
xy
không đổi nhưng γ
yz
và γ
zx
sẽ đổi dấu:
T
yx
= a
44
γ
xy
- a
45
γ
yz
- a
46
γ
zx

= 0.
Hệ phương trình (4.9) có thể rút gọn như sau:
σ
x
= a
11
ε
x
+ a
12
ε
y
+ a
13
ε
z
σ
y
= a
21
ε
x
+ a
22
ε
y
+ a
23
ε
z

66
γ
xy

Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) của hệ phương trình (4.10), ta có:
x
y z
σ
z
= a
31
ε
x
+ a
32
ε
y
+ a
33
ε
z
Hoán vị vòng ta có: σ
x
= a
31
ε
y
+ a
32
ε

a
33
= a
11
Vì a
ij
= a
j i
⇒ a
12
= a
21
28
a
31
= a
13
a
32
= a
23
* Đặt a = a
11
= a
22
= a
33
b = a
12
= a

+ ε
z
)
σ
z
= aε
z
+ b(ε
x
+ ε
y
) (4.11)
T
xy
= cγ
xy
T
yz
= cγ
yz
T
zx
= cγ
zx
*Ta có: θ = ε
x
+ ε
y
+ ε
z

)(
2
1
ba
−

⇒ c = ν
→ T
xy
= νγ
xy
T
yz
= νγ
yz
(4.14)
T
zx
= νγ
zx
Các hệ phương trình (4.18) và (4.19) là quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng của vật thể đàn hồi và đẳng hướng được gọi là định luật Hooke tổng
quát viết dưới dạng ứng suất theo biến dạng. Đối với loại vật liệu này chỉ có
hai hằng số vật lý là λ và ν. Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê.
$4.3. MỘT DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT
Từ (4.18) ta có : σ
x
+ σ
y
+ σ

σσ
εε
σ
ε
σ
ε
−
−
=+⇒







−
=
−
=
2
2
2
zy
zy
z
z
y
y
(b)

zyx
σσσ
σσ
σσσ
νλν
λ
ννλ
=
ννλν
νλ
σσ
σσσ
2
)(
)23(
yx
zyx
+
−++
+
+
ε
x
=







[ ]
)(
1
zyx
E
σσσ
µ
+−
;
Tương tự :ε
y
=
[ ]
)(
1
zxy
E
σσσ
µ
+−
; (4.17)
: ε
z
=
[ ]
)(
1
yxz
E
σσσ

µν
νλ
λ
ν
νλ
νλ
νλ
λ
ν
νλ
νλν

⇒ ν =
)1(2
+
µ
E
Mà G =
)1(2
+
µ
E
⇔ ν = G
Lúc này (4.19) có dạng :
γ
xy
=
G
1
T

y
+ σ
z
) - 2µ(ε
x
+ ε
y
+ ε
z
) (*)
(*) ⇔ Eθ = S (1 - 2µ) ⇔ θ =
S
E
.
21
µ
−
(4.19)
Với: θ = ε
x
+ ε
y
+ ε
z
: Biến dạng thể tích tương đối.
S =σ
x
+ σ
y
+ σ