CHƯƠNG 5 : PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TOÁN
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
§5.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN-
CÁC CÁCH GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH
5.1.1. Các phương trình cơ bản :
Trong ba chương trên ta đã lần lượt xác định ba mặt tĩnh học, hình học
và vật lý của môi trường đàn hồi tuyến tính và đưa ra 15 hàm ẩn gồm :
- Sáu thành phần ứng suất : σ
x
, σ
y
, σ
z
, T
xy
, T
yz
, T
zx
.
- Ba thành phần chuyển vị : u, v, w.
- Sáu thành phần biến dạng : ε
x,
ε
y
, ε
z
, γ
xy
, γ
yz

+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
t
w

σ

b. Các phương trình điều kiện biên theo ứng suất: Hệ (2.3)
2. Về mặt hình học :
a. Hệ phương trình biến dạng Cauchy-Navier : Hệ (3.1)









∂
∂
+
∂
∂
=γ
∂
∂
=ε
∂
∂
+
∂
∂
=γ
∂

x
v
;
x
u
zxz
yzy
xyx
b. Các phương trình liên tục của biến dạng : Hệ (3.12) và (3.13).
3.Về mặt vật lý :
32
a. Biểu thức biến dạng biểu diễn qua ứng suất :

[ ]
)(
1
zyx
E
x
σσσ µε
+−=
; γ
xy
=
Txy
E
Txy
G
)1(2
1

[ ]
)(
1
yxz
E
σσσ µ
+−
; γ
zx
=
Tzx
E
Tzx
G
)1(2
1
µ
+
=
.
b. Biểu thức ứng suất biểu diễn qua biến dạng :
σ
x
= λθ + 2Gε
x
; T
xy
= Gγ
xy
;

ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng một phần các hàm ẩn chính là chuyển vị
và một phần các hàm ẩn chính là ứng suất.
§5.2. CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐH THEO CHUYỂN VỊ
Chọn u, v, w là hàm ẩn cơ bản :
5.2.1.Về mặt vật lý:
Từ định luật Hooke tổng quát : σ
x
= λθ + 2Gε
x

T
xy
= Gγ
xy
(a)
T
zx
= Gγ
zx

5.2.2. Về mặt hình học:
Từ phương trình quan hệ hình học Cauchy :
33
ε
x
=
x
u
∂
∂

x
u
∂
∂
+ G
x
u
∂
∂
T
yx
= G








∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
v
(c)

2
2
∂
∂
ρ=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂σ
(d)
Thay (c) vào (d) ta có:






∂
∂
ρ=+
∂
∂
+
∂∂
∂
+

G
zx
w
G
y
u
G
yx
v
G
x
u
G
x
u
G
x
(*)
t
u
0fx
z
w
y
v
x
u
x
Gu
zyx

+
∂
∂
∂
∂
+








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
θ∂
λ⇔
Với ∇
2
=
2

x
+ε
y
+ε
z
=θ : Biến dạng thể tích tương đối
(*)⇔ (λ + G)
x
∂
∂
θ
+ G∇
2
u + fx = 0








∂
∂
2
2
t
u
ρ
;

2
w + fz = 0








∂
∂
2
2
t
w
ρ
;
34
Hệ (5.1): Hệ phương trình LaMê :
Khi thiết lập (5.1) xuất phát từ điều kiện cân bằng và quan hệ giữa
ứng suất và biến dạng nên hệ (5.1) vẫn chứa các hằng số LaMê λ và G.
Phương trình LaMê tổng hợp được các yêu cầu về tĩnh học, hình học
và vật lý. Giải (5.1) ta tìm được u, v, w sau đó xác định các biến dạng theo
phương trình quan hệ hình học Cauchy và xác định các ứng suất theo định
luật Hooke.
4.Hệ quả: Từ phương trình LaMê trong bài toán tĩnh, khi các lực thể tích là
hằng số ta có các hệ quả sau:
a. Hệ quả 1 : Đạo hàm các phương trình của hệ (5.1) lần lượt theo các
biến x, y, z ta có :

∂
θ
+ G∇
2
z
w
∂
∂
= 0 .
(λ + G). ∇
2
θ + G∇
2
θ = 0
⇔ ∇
2
θ = 0 (5.2)
Do θ tỷ lệ với hàm tổng ứng suất S nên ta cũng có :
∇
2
S = 0 (5.3)
Phát biểu hệ quả 1: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng
hướng, khi các lực thể tích là hệ số thì hàm biến dạng thể tích và hàm ứng
suất tổng là những hàm điều hòa.
b. Hệ quả 2 : Xét phương trình 1 của (5.2) :
(λ + G)
x
∂
∂
θ

2
2
2
y
u
∂
∂
= 0 ;
35
(λ + G)
2
3
zx
∂∂
∂
θ
+ G∇
2
2
2
z
u
∂
∂
= 0 .
(λ + G).
x
∂
∂
∇

nêu trên.
5.3. GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI THEO ỨNG SUẤT
Chọn các ứng suất σ
x
, σ
y
, σ
z
, T
xy
, T
yz
, T
zx
làm hàm ẩn chính.
I. Trường hợp các lực thể tích là hằng số:
1. Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke
ε
y
=
[ ]
)(
1
zxy
E
σσσ µ
+−
(*)
Có S = σ
x

=
E
)1(2
µ
+
T
yz
2. Về mặt hình học :Dựa vào phương trình liên tục của biến dạng :
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
y
z
z
y
ε
ε
zy
yz
∂∂
∂
γ
2

∂
∂
= 2(1 + µ)
zy
Tyz
∂∂
∂
2
36
⇔ (1 +µ)






∂
∂
+
∂
∂
−






∂
∂

0=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
fx
z
Tzx
y
Tyx
x
yσ
; ⇒
fx
x
x
z
Tzx
y
Tyx
−
∂
∂
−=
∂
∂

∂
∂
−
∂
∂
−=
∂
∂
σ
(2)
0=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
fz
z
z
y
Tyz
x
Txz σ
; ⇒
fz
x
Txz

∂
2
2
22
σ

zx
Txz
z
z
zy
Tyz
∂∂
∂
−
∂
∂
−=
∂∂
∂
2
2
2
2
σ






y
Txy
xzy
y
yz
Tzy zz
22
2
2
2
22
2
σσ
(4)
Thay (1) vào (4) ta có :
(4) ⇔






+
∂
∂
∂
∂
+



2
⇔








∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
=
∂∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
z








∂
∂
+
∂
∂
−








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+







∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+








∂
∂
+
∂
∂
+
∂

2
2
2
2
2
2
2
z
x
z
x
z
x
y
x
y
x
y
x
z
x
y
x
x
x
σσσσσσσσσ
- µ




∂
+
∂
∂
+
∂
∂

S = σ
x
+ σ
y
+ σ
z
.
37
+
(**) ⇔ (1 + µ)
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=


S
z
S
y
S
x µσ
⇔ - (1 + µ)∇
2
σ
x
+
2
2
2
2
z
S
y
S
∂
∂
+
∂
∂
+
0
2
2
2
2

z
S
z
S
y
S
µµ
⇔ - (1 + µ)∇
2
σ
x
+
2
2
2
2
y
S
x
S
∂
∂
+
∂
∂
+
2
2
2
2

σ
x
+
2
2
x
S
∂
∂
= 0
(1 + µ)∇
2
σ
y
+
2
2
y
S
∂
∂
= 0 (5.5)
(1 + µ)∇
2
σ
z
+
2
2
z

+
zx
S
∂∂
∂
2
= 0
Hệ phương trình (5.5) và (5.6) là phương trình để giải bài toán đàn hồi
theo ứng suất, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học và vật lý
của môi trường. Giải (5.5) và (5.6) có được các ứng suất sau đó tìm các biến
dạng theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị theo hệ phương trình biến
dạng Cauchy.
Hệ (5.5) và (5.6) gọi là hệ phương trình Beltrmi
II. Khi lực thể tích không phải là hằng số: ta cũng nhận được các phương
trình tương tự nhưng có vế phải khác 0 :
∇
2
σ
x
+
x
x
z
fz
y
fy
x
fx
x
S

µ
µ
µ
;
∇
2
σ
y
+
y
y
z
fz
y
fy
x
fx
y
S
∂
∂
−









z
z
fz
y
fy
x
fx
z
S
∂
∂
−








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
−

+
2
2
x
S
∂
∂
= 0 (1)
Lấy đạo hàm bậc 2 phương trình (1) lần lượt theo x,y,z ta có :
(1 + µ)∇
2
2
2
x
x
∂
∂
σ
+
4
4
x
S
∂
∂
= 0
+ (1 + µ)∇
2
2
2

(1 + µ) ∇
2
∇
2
σ
x
+
2
2
x
S
∂
∂
∇
2
S = 0 Theo hệ quả 1 ∇
2
S = 0
Ta có : ∇
2
∇
2
σ
x
= 0.
Tương tự ta có : ∇
4
σ
ij
= 0.

ε
ij
= 0. (5.8)
5.4. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Phương pháp thuận : là phương pháp trực tiếp tính tích phân các
phương trình Lamê (5.1) khi giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami
39
(5.5) và (5.6) hay Beltrami Michell (5.7) khi giải theo ứng suất với các điều
kiện biên xác định . Phương pháp này rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học
nhưng phức tạp khi thực hiện.
2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp này ta cho trước chuyển
vị hay ứng suất thỏa mãn các phương trình cơ bản, rồi bằng các điều kiện
biên (2.3) tìm các ngoại lực tương ứng với các chuyển vị hay ứng suất cho
trước. Phương pháp này để tìm được nghiệm đúng thì phải thử nhiều hàm
chọn, rất cồng kềnh và có khi không thực hiện được.
3. Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp này
ta cho trước một phần các ngoại lực và một phần các chuyển vị, tìm các yếu
tố còn lại từ các điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn các phương trình cân
bằng. Phương pháp này mềm dẻo, khắc phục được những khó khăn mang
tính toán học của phương pháp thuận và sự cồng kềnh của phương pháp
ngược.
4. Nguyên lý Saint-Venant :
Nhiều bài toán của lý thuyết đàn hồi khi giải hoàn toàn thỏa mãn điều
kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải bài toán về thanh,
tấm, vỏ. Khi giải ta có thể sử dụng nguyên lý Saint-Venant đó là nguyên lý
về hiệu ứng cần bằng cục bộ của ngoại lực.theo nguyên lý này, nếu trên 1
phần nhỏ nào đó của vật thể có tác dụng của 1 hệ lực cân bằng thì ứng suất
phát sinh sẽ tắt dần khá nhanh ở những đểm xa miền đặt lực.
Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy trên sợi dây tại
chổ cắt tác dụng 1 hệ lực cân bằng.

f
. Lực thể tích f
x
, f
y
, f
z
đã cho. Giả thiết ta
nhận được 2 hệ nghiệm ứng suất khác nhau.
σ
x
, σ
y
, σ
z
, T
xy
, T
yz
, T
zx
σ
x
, σ
y
, σ
z
, T
xy
, T

*
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
x
zx
yx
x
f
z
T
y
T
x
σ
(a)

∗
x
f
= σ
x
.l + T
yx

z
∂
∂
(T
zx
- T
zx
)= 0
(σ
x
- σ
x
).l + (T
yx
- T
yx
).m + (T
zx
- T
zx
).n = 0 (c)
Theo nguyên lý cộng tác dụng ta có thể xem các ứng suất trong hệ
phương trìnhh (c) là một hệ ứng suất mới khi không có lực thể tích và lực bề
41
mặt. Theo giả thiết về trạng thái tự nhiên của vật liệu, các ứng suất này phải
bằng 0. Do đó :
σ
x
- σ
x